工程制图圆锥截交线

工程上不将平面与圆锥相切的情况列入截交线的范畴。
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工程制图 圆锥截交线
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下面从工程的角度分析圆锥截交线。根据截平面与圆锥轴线不同的相对位置，可产 生五种不同形状的截交线。
等腰三角形
圆
椭圆
抛物线和直线 双曲线和直线
截交线为三角形
截交线为圆
截交线为椭圆
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工程制图 圆锥截交线——圆锥的投影
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圆锥三面投影分析：圆锥的正面投影和侧面投影均为等腰三角形，其中的点画 线是回转轴的投影。圆锥的水平投影为圆，是圆锥底面圆的实形，圆心是圆锥 顶点的投影。
正面投影 说明
侧面投影 说明
正面投影的轮廓线s’a’和s’c’为 前、后圆锥面可见性分界线。
如：已知圆锥面上的点M
的正面投影m’，可利用纬
圆法或素线法，求出点M
m’
的其他两面投影。
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工程制图
圆锥截交线——圆锥表面求点的方法（纬圆法）
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纬圆法作图原理：
作过点M的纬圆，点M的三面投影 分别在该纬圆的三面投影上。
()
在轴线垂直的投影面上，纬圆投影
截交线投影分析
a’ d’
a” 求a’、b’ d” 求c’
求特殊位置点
c’
c”
求一般位置点 绘制截交线
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e”
e’
b’
b”
点A、B是位于圆锥底面圆周上的点，a’和b’在底面圆的积聚投 影上。
点C是截交线上离锥顶最近的点，用纬圆法求其正面投影c’。
用纬圆法求截交线上一般位置点D、E的两面投影。 按顺序连接a’、d’、c’、e’、b’，绘制出截交线的正面投影。
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工程制图 圆锥截交线——举例2
例2 完成被截切圆锥的水平投影和侧面投影。
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截交线分析
求截交线圆弧上 点A
求两截平面交线CD
d’
Q
e’(f ’)
P
a’ c’(b’)
d”
f”
e”
b” a” c”
求截交线椭圆弧上 点D
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圆锥截交线
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工程制图 圆锥截交线——回转体
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回转体由回转面、或回转面与平面所围成。回转面由母线绕回转轴旋转一周而形 成。回转面上都有纬圆和素线。
圆锥是常见的回转体。形成圆锥面的母线与回转轴相交。
纬圆：母线上任意一 点（如点A）绕回转 轴旋转一周的轨迹。
素线：母线在回转过 程中的任意位置。
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工程制图 圆锥截交线——举例1
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本例中，截交线上的一般位置点D、E也可以用素线法求作，作法如下图所示。
作图说明： 1. 在侧面投影中作素线s”m”和s”n”，与截交线侧面投影分别交于d”和e”。 2. 画出素线的正面投影s’m’和s’n’，根据点在直线上的投影规律，求出d’和e’。
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绘制回转体截交线的方法：截交线上 的点在回转体的表面上，利用回转体 表面取点的方法，求截交线上能确定 其形状和范围的特殊位置点，然后再 根据需要求一些一般位置点，最后将 这些点顺序光滑连接，绘制出截交线 的投影。 例如：要绘制左图所示圆锥表面的截 交线，可先用纬圆法或素线法求出截 交线上的点，然后将这些点顺序光滑 连接。
侧面投影的轮廓线s”b”和s”d” 为左、右圆锥面可见性分界线。
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工程制图 圆锥截交线——圆锥表面求点的方法
第6页
圆锥面的三面投影都没有积聚性，欲求圆锥表面上的点的投影，需要借助圆锥 表 面 的 辅 助 线 。 素线和纬圆是圆锥面上最容易绘制的辅助线，因此，纬圆法和素线法是两 种最常用的求圆锥表面上点的方法。
闭合的平面 曲线
平面曲线 与直线
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工程制图 截交线——求作截交线的方法
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不同形状的回转体，被不同位置的平面截切，会产生很多种形状的截交线。但是回转体被截 切有一个共同的特点，即当截平面垂直于回转体轴线时，所有回转体的截交线都是圆。
截交线上的点
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工程制图 圆锥截交线
从几何的角度去认识圆锥截交线：
圆锥截交线在几何学中被称为圆锥曲线。 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果。其中一位名叫阿波罗尼阿斯最 先采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面 渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆 锥的一条素线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一 些就可以得到双曲线。 严格来讲，圆锥曲线还包括一种退化情形：平面过锥 顶时，得到两条直线。更特殊的情况下，平面过锥顶 并与圆锥面相切，圆锥曲线为一条直线。
为实形圆，在另两个投影面上，纬
圆积聚为直线。
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工程制图 圆锥截交线——圆锥表面求点的方法（素线法）
第8页
()
素线法作图原理：
过锥顶S作素线经过点M，并延长交底面圆 于点A。点M在素线SA上，则点M的三面投 影分别在素线SA的三面投影上。
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截交线为抛物线 和直线
截交线为双曲线 和直线
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工程制图 圆锥截交线——举例1
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例1 圆锥被平行于轴线的正平面截切，求截交线的正面投影。
侧垂圆锥被正平面截切，截交线为双曲线。侧面投影有积聚性，正面投 影为实形，根据其侧面投影，求正面投影。本例用纬圆法求解。
圆锥面的素线与回转 轴交于锥顶。
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工程制图 截交线——截交线的性质
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平面与立体表面相交产生的交线，称为截交线。截切立体的平面称为截平面。
截交线是截平面与立体表面的共有线。截交线的形状由立体的形状以及截平面与立体的 相对位置而定。
常见截交线的形状
由折线围成 的多边形
工程制图
工程制图 圆锥截交线——概述
“圆锥截交线”是《工程制图》课程的一个知识点， 教学目标是理解圆锥的三面投影的含义，掌握应用纬 圆法或素线法求圆锥截交线上的点，并正确画出截交 线的投影。 相关知识点包括：回转体；截交线的性质及求作截交 线的方法。
截交线的性质 求作截交线的方法
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回转体 圆锥的投影 圆锥表面求点的方法