寿险精算现值保险精算课程讲义

k 0
k 0
它相当于以计算趸缴净保费息力的两倍计算的趸缴净保费。
Var Z 2 Ax Ax 2
Z的方差反映赔付现值随机变量的变动程度，用于衡量保险公司 承担的风险赔付程度。
2、定期寿险
假设在x岁时有lx人参加定期寿险，保险人给付的所 有保险金的现值为：
vdx v2dx1 L vndxn1
人每人每年1单位元赔付在0岁的现值。
Cx vx1dx，x : x 1岁死亡的人数每人1单位元赔 付在0岁的现值；
M x Cxt，从x岁起到生命最大值 1岁上每人 t0
1单位元赔付在0岁的现值。
则
Ax
Mx Dx
对于赔付现值随机变量Z , 计算方差：
Var Z E Z 2 [E Z ]2
2 Ax E Z 2 v2k1 k qx e2 k1 k qx
或Ax vk1gk qx. k 0
从概率的角度来看，我们可以得出这样的结论：
设 x的整值余寿为K x,简记为K,则对 x的赔付款的现值就
是一个随机变量 : Z vK1.
更一般,如果赔付额也依赖于余寿K ,以bK 1表示,则Z bK 1vK 1. 赔付现值的随机变量Z的期望值就是保险的精算现值.
K的概率分布函数为: P K k k px qxk k qx.
故
Ax E Z vk1gk qx.
k 0
在上式两边同乘lx ,得到
lx Ax vk1gdxk . k 0
给出直观解释.
引入转换函数：
Dx vxlx , x岁存活人数每人1单位元在0岁的现值；
Nx Dxt ,从x岁起到生命最大值 1岁上存活 t0
保费是投保人购买保险产品支付的价格，它是由保险公司 的精算师根据保险产品的成本、利润目标、市场竞争因素等制 定的。理论上，保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净保 费和附加保险费两部分。
净保费：补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分；
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需要 的缴费部分。
n1
A A1 A 1
x:n
x:n
x:n
vk1gk qx vn n px
k 0
M x M xn Dxn
Dx
Dx
两全寿险现值随机变量可以分解为定期寿险现值随机变 量和纯生存保险现值随机变量两部分。
设Z为两全寿险现值随机变量，
Z1为n年定期寿险现值随机变量, Z 2为n年纯生存保险现值随机变量, 则
Z Z1 Z2
Var Z Var Z1 Z2
Var Z1 +Var Z2 2Cov Z1 Z2 又 Cov Z1 Z2 E Z1Z2 E Z1 E Z2 Z1和Z2不会同时发生，即Z1Z2 0, E Z1Z2 0,故
Var Z Var Z1 Z2
Var Z1 +Var Z2 2E Z1 E Z2
where
Var Z2 E Z22 E Z2 2
v2
n n
px
vnn px
2
v
2
n n
px n qx .
4、延期n年的终身寿险
延期n年的终身寿险：用n Ax表示，某人x岁开始投保，延期n年 后死亡年末给付1单位元的延期终身寿险的现值。 现值随机变量为：
vn Z
0
K n, n 1,... K 0,1,..., n 1
其精算现值以A 1表示，有 x:n
A 1 E x:n
Z
vn n px .
把n年定期寿险与n年纯生存保险组合在一起，两全保险 现值随机变量为：
vK 1
Z
vn
K 0,1,..., n 1 K n, n 1,...
其精算现值以A 表示，有 x:n
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
m n Ax E
Z
m n 1
vk 1 k qx
k m
A1 x:m n
A1 x:m
M xm M xmn1 Dx
注：有的书上记 m
n
Ax为m
A1 。 x:n
例1 某人在25岁投保了定期35年的人寿保险， 保险金于 死亡年末给付，利率为0.06，问（1）若保险金额为 100000元，求起趸缴净保费。
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vdx v2dx1 L
vnd xn1
所以： A1 vdx v2dx1 L vndxn1
x:n
lx
v 0 qx v2 1 qx L vn q n1 x
n1
vt 1 t
t0
qx
n1
vt1d xt
t0
/
lx
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
均衡净保费
6.1 寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险
精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
6.1.1 死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
/
lx
Hale Waihona Puke v d xk 1 xk/
lxvx
k0
k0
其中实质上是一个有限的数 x 1。
0 Z vK 1
K 0,1,..., n 1 K n, n 1,.......
n Ax E
Z
vk 1 k
k n
qx
M xn Dx
证明：n Ax vn n px Axn
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
vk 1gk qx .
k 0
Z的方差为：
2
Var Z 2 A1 A1 , where
x:n
x:n
n1
2 A1 x:n
e2 k 1 k qx
k 0
3、两全寿险
两全寿险是定期寿险和生存保险的合险。对(x)的1 单位元n年两全寿险，是对（x）的n年定期寿险和n年 纯生存保险的合险。
后者是以n年期满被保险人仍然存活为给付条件的 生存保险，其现值随机变量为：
n1
v d xt1 xt
t0
/
lx
v
x
1 Dx
t0
Cxt
t0
Cxnt
1 Dx
(M x
M xn )
从概率的角度来看，我们的结论：
设 x的1单位元赔付n年定期寿险,则对 x的赔付款的现值随
机变量 :
vK 1 Z
0
K 0,1,..., n 1. k n, n 1,...
n1
故
A1 E Z x:n