论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想
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可 以完 成 量 变 ，而且 为新 的 量 变 开 辟 道 路 。在 高 等 数 学 极 限 概 念 的引 入 中 ，为
完善 的过程反 映了哲学 中否定之否 定规
律 。否 定 之 否 定 经 过 一 个 周 期 的运 动 回
到 了起 点 ， 义高 于起 点 。
率 ，毕竟是近似值 ，而不 是精确值 ，只
掌握 高 等数 学 有 着 极 其 重 要 的 意 义 。 关 键 词 ：高 等 数 学 ；极 限 ；哲 学思 想
高 等数 学属于 自然科学 ，但其 中蕴 涵着 丰富的哲学思想 。在教学 中 ，教师 如果能 充 分 挖 掘高 等 数 学 中 的哲 学 思 想 ，用哲学 的观点和思维方法来 指导高
教 育 理 论
— 于 论 高等 数 学 极 限思 想 中所 蕴 涵 的 哲
，
田
想
张
敏
张道 振
陈宇剑
（ 中 国人 民解 放 军 武 汉 军械 士 官 学 校 基 础 部 ，湖 北 武 汉 ４ ３ ０ ０ ７ ５ ）
摘
要 ：高等数 学 中重要 的概念均建立在极 限基础之 上 ，而极 限思想蕴涵着丰富的辩证 法思想 ，深 刻领悟这 些哲 学思想对
唯物主义思 想 ，提高学 生 的哲 学素 养 ，
还 可以使学生 从新 的角 度来 认识 数 学 、
与无 限 、近 似 与 精 确 的对 立 统 一 。例
如 ，对 于 数 列 ａ ＝ ｛ ｌ ／ ｎ｝ ，其 极 限 为 ０ 。数 列 中 的 每 一 项 ｎ 的 值 在 不 断 变
理解 数学 、感受数学 。
率 ，首 先在 曲线 上另取一 点 Ｑ，并 求割
线Ｐ ｐ的斜率 ；然后让点 Ｑ沿 曲线 无 限 地趋 近点 Ｐ，割线 的极限位 置 即是 曲线 在点 Ｐ处的切线 ，而割 线 Ｐ ９斜 率的极
限就是 切线 的斜 率。在 点 Ｑ沿 曲线 无 限 趋 近 点 Ｐ的 动 态 过 程 中 ，割 线 Ｐ （ ） 的 斜 率 在 不 断 地 发 生 变 化 ，越 来 越 接 近 切
一
运动变化的结果是一个数值 ，因此在极
限 思 想 中无 限 是 有 限 的发 展 ，有 限 是 无 限 的 结 果 ，是 对 立 统 一 的 。再 例 如 ，刚
、
量 变 引 起 质 变 规 律
度。为了排除 极 限概 念 中的直 观 痕迹 ， ｌ ８世纪 维 尔 斯 特 拉 斯 提 出 丫 极 限 的 精 确 定 义 ，即 ￡ 一 Ｎ 定 义 ，给 微 积 分 提 供 了严 密 的 理 论 基 础 。极 限概 念 不 断 发 展
极 限 思 想 体 现 了量 变 引 起 质 变 的 规
才所说的割线 斜 率 的极 限是切 线斜 率 ， 也体现 了过程与结果 、变 与不 变 的对立 统一 。割线斜率在不 断变 化 ，且不 断接 近切线斜率 ，但不管 多么接近于切 线斜
律 。量变引起质变规律揭示 了事物 发展 变化形式上具有 的特 点 ，当量 的变 化达 到一定程度会 引起 质的变化 。质变 不仅
学 方法 ，体现 了辩证法思想 。理解极 限
概 念 和 其 思 想 中所 蕴 涵 的哲 学 思 想 ，对
使之 收敛到极 限 ０ ，就 说这 个变 量为 无 穷小 。柯 两的极限概念仍然 是初步 的和
不 清 楚 的 ， 没 有 达 到 彻 底 严 密 化 的 程
掌握高等数学有着极其重要 的意义。
三 、否 定 之 否 定 规 律
任何事物的 内在矛盾都可 以归结为
肯 定 和 否定 两个 方 面 ，当 由肯 定 达 到 对
哲学 的深度 ，两者 相互依存 。还应 特别
指 出 ．如 果 既 没 有 数 学 又 无 哲 学 ，则 不
能认识任 何事 物。 ”数 学 与哲 学关 系 紧 密 ，因此在 高等数 学的教学 中 ，不能忽
有 无 限接 近 时 ，才转 化 为 精 确 值 ，这 个
求 曲线 Ｙ ＝ 厂（ ）在 点 Ｐ处 的切线 的斜
精确值是个不变量 ，充分 体现 了近 似与 精确 、变与不变 的对立统 一。
数学家波尔达斯指 出 ：“ 没来自哲学 ， 难 以得 知 数 学 的深 度 ，当 然 也 难 以 得 知
等 数 学 教学 ，不 仅 可 以 培 养 学 生 的 辩 证
二 、对 立 统 一 规 律
极 限 是 从 有 限 到 无 限 的 工 具 和 桥 梁 ，无 论 是 概 念 的 引 入 还 是 概 念 本 身 ， 都 体 现 了 变 与 不 变 、过 程 与 结 果 、有 限
量 的 极 限 是 变 量 所 能最 大 程 度 逼 近 的 一
极 限 是 一 种 研 究 变 量 变 化 趋 势 的数
化 ，这个 过程是动态的 ，项数也 是有 限 的 ，但是 ，当项数 ｎ无 限增 大时 ，ａ 无
限趋近于一个确 定 的常数 ０ ，这 个 无 限
做所有其 他值 的极限值 。特 别地 ，当一
个 变 量 的数 值 （ 绝 对值 ） 无 限地减 少 ，
视哲 学 思 想 的 渗 透 ，这 样 才 能 更 好 地 发
自身 的否 定 ，并 再 由否 定 达到 新 的肯 定 ，则称之为否定之否定 。高 等数学 的 理论 发展都符合否定之否定 的规律 。在 理论形成之初 ，理论得到 肯定 ，但 随着 研究的深入 ，理论就会不 完善 ，从而被 否定 ，进而 被研 究完 善得 到新 的肯 定 。
就极限 概念 而 言 ，１ ６世 纪 英 国 数 学 家
展数 学 ，保 持数学之树 常青 。当然 ，引 导学 生领 悟数学思维 中的哲学思 想和在
个常数 ，使得它们 的差 能够小 于任 何给
定的量 。 ”这是 极限 概念 的雒形 。１ ７世 纪 法 国数 学 家柯 两 首 次 较 完 整 地 阐 述 了
极限概念 。他用描述性语 言给 出极限概
念 ： 当一 个 变 量 逐 次所 取 得 的值 无 限 趋 近 一 个 定 值 ，最 终 使 变 量 的 值 和 该 定 值 之 差 要 有 多小 就有 多 小 ，这 个定 值 就 叫
完善 的过程反 映了哲学 中否定之否 定规
律 。否 定 之 否 定 经 过 一 个 周 期 的运 动 回
到 了起 点 ， 义高 于起 点 。
率 ，毕竟是近似值 ，而不 是精确值 ，只
掌握 高 等数 学 有 着 极 其 重 要 的 意 义 。 关 键 词 ：高 等 数 学 ；极 限 ；哲 学思 想
高 等数 学属于 自然科学 ，但其 中蕴 涵着 丰富的哲学思想 。在教学 中 ，教师 如果能 充 分 挖 掘高 等 数 学 中 的哲 学 思 想 ，用哲学 的观点和思维方法来 指导高
教 育 理 论
— 于 论 高等 数 学 极 限思 想 中所 蕴 涵 的 哲
，
田
想
张
敏
张道 振
陈宇剑
（ 中 国人 民解 放 军 武 汉 军械 士 官 学 校 基 础 部 ，湖 北 武 汉 ４ ３ ０ ０ ７ ５ ）
摘
要 ：高等数 学 中重要 的概念均建立在极 限基础之 上 ，而极 限思想蕴涵着丰富的辩证 法思想 ，深 刻领悟这 些哲 学思想对
唯物主义思 想 ，提高学 生 的哲 学素 养 ，
还 可以使学生 从新 的角 度来 认识 数 学 、
与无 限 、近 似 与 精 确 的对 立 统 一 。例
如 ，对 于 数 列 ａ ＝ ｛ ｌ ／ ｎ｝ ，其 极 限 为 ０ 。数 列 中 的 每 一 项 ｎ 的 值 在 不 断 变
理解 数学 、感受数学 。
率 ，首 先在 曲线 上另取一 点 Ｑ，并 求割
线Ｐ ｐ的斜率 ；然后让点 Ｑ沿 曲线 无 限 地趋 近点 Ｐ，割线 的极限位 置 即是 曲线 在点 Ｐ处的切线 ，而割 线 Ｐ ９斜 率的极
限就是 切线 的斜 率。在 点 Ｑ沿 曲线 无 限 趋 近 点 Ｐ的 动 态 过 程 中 ，割 线 Ｐ （ ） 的 斜 率 在 不 断 地 发 生 变 化 ，越 来 越 接 近 切
一
运动变化的结果是一个数值 ，因此在极
限 思 想 中无 限 是 有 限 的发 展 ，有 限 是 无 限 的 结 果 ，是 对 立 统 一 的 。再 例 如 ，刚
、
量 变 引 起 质 变 规 律
度。为了排除 极 限概 念 中的直 观 痕迹 ， ｌ ８世纪 维 尔 斯 特 拉 斯 提 出 丫 极 限 的 精 确 定 义 ，即 ￡ 一 Ｎ 定 义 ，给 微 积 分 提 供 了严 密 的 理 论 基 础 。极 限概 念 不 断 发 展
极 限 思 想 体 现 了量 变 引 起 质 变 的 规
才所说的割线 斜 率 的极 限是切 线斜 率 ， 也体现 了过程与结果 、变 与不 变 的对立 统一 。割线斜率在不 断变 化 ，且不 断接 近切线斜率 ，但不管 多么接近于切 线斜
律 。量变引起质变规律揭示 了事物 发展 变化形式上具有 的特 点 ，当量 的变 化达 到一定程度会 引起 质的变化 。质变 不仅
学 方法 ，体现 了辩证法思想 。理解极 限
概 念 和 其 思 想 中所 蕴 涵 的哲 学 思 想 ，对
使之 收敛到极 限 ０ ，就 说这 个变 量为 无 穷小 。柯 两的极限概念仍然 是初步 的和
不 清 楚 的 ， 没 有 达 到 彻 底 严 密 化 的 程
掌握高等数学有着极其重要 的意义。
三 、否 定 之 否 定 规 律
任何事物的 内在矛盾都可 以归结为
肯 定 和 否定 两个 方 面 ，当 由肯 定 达 到 对
哲学 的深度 ，两者 相互依存 。还应 特别
指 出 ．如 果 既 没 有 数 学 又 无 哲 学 ，则 不
能认识任 何事 物。 ”数 学 与哲 学关 系 紧 密 ，因此在 高等数 学的教学 中 ，不能忽
有 无 限接 近 时 ，才转 化 为 精 确 值 ，这 个
求 曲线 Ｙ ＝ 厂（ ）在 点 Ｐ处 的切线 的斜
精确值是个不变量 ，充分 体现 了近 似与 精确 、变与不变 的对立统 一。
数学家波尔达斯指 出 ：“ 没来自哲学 ， 难 以得 知 数 学 的深 度 ，当 然 也 难 以 得 知
等 数 学 教学 ，不 仅 可 以 培 养 学 生 的 辩 证
二 、对 立 统 一 规 律
极 限 是 从 有 限 到 无 限 的 工 具 和 桥 梁 ，无 论 是 概 念 的 引 入 还 是 概 念 本 身 ， 都 体 现 了 变 与 不 变 、过 程 与 结 果 、有 限
量 的 极 限 是 变 量 所 能最 大 程 度 逼 近 的 一
极 限 是 一 种 研 究 变 量 变 化 趋 势 的数
化 ，这个 过程是动态的 ，项数也 是有 限 的 ，但是 ，当项数 ｎ无 限增 大时 ，ａ 无
限趋近于一个确 定 的常数 ０ ，这 个 无 限
做所有其 他值 的极限值 。特 别地 ，当一
个 变 量 的数 值 （ 绝 对值 ） 无 限地减 少 ，
视哲 学 思 想 的 渗 透 ，这 样 才 能 更 好 地 发
自身 的否 定 ，并 再 由否 定 达到 新 的肯 定 ，则称之为否定之否定 。高 等数学 的 理论 发展都符合否定之否定 的规律 。在 理论形成之初 ，理论得到 肯定 ，但 随着 研究的深入 ，理论就会不 完善 ，从而被 否定 ，进而 被研 究完 善得 到新 的肯 定 。
就极限 概念 而 言 ，１ ６世 纪 英 国 数 学 家
展数 学 ，保 持数学之树 常青 。当然 ，引 导学 生领 悟数学思维 中的哲学思 想和在
个常数 ，使得它们 的差 能够小 于任 何给
定的量 。 ”这是 极限 概念 的雒形 。１ ７世 纪 法 国数 学 家柯 两 首 次 较 完 整 地 阐 述 了
极限概念 。他用描述性语 言给 出极限概
念 ： 当一 个 变 量 逐 次所 取 得 的值 无 限 趋 近 一 个 定 值 ，最 终 使 变 量 的 值 和 该 定 值 之 差 要 有 多小 就有 多 小 ，这 个定 值 就 叫