基于绝对节点坐标法的变截面梁动力学建模与运动变形分析
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(1. 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室 上海 200240； 2. 上海交通大学上海市复杂薄板结构数字化制造重点实验室 上海 200240)
摘要：复杂变截面梁结构在运动过程中产生柔性变形对其运动精度与动力学性能有很大影响，因此建立准确的数学模型描述 其柔性变形十分重要。基于绝对节点坐标法，考虑变截面梁单元边界特性，建立单元边界非线性函数关系，通过改变积分上 下限， 将其引入到单元质量矩阵、 刚度矩阵的计算模型中。 基于牛顿方程， 建立变截面梁系统的柔体动力学模型。 利用 Matlab 数值仿真，对不同单元数目、不同变截面参数的单摆梁进行动力学仿真分析。结果表明梁结构的刚度计算值与划分的单元数 目相关，不同单元数目会影响系统仿真计算的效率和精度，使得运动变形仿真产生较大偏差。在保证梁体积相同的情况下， 改变梁单元边界函数，可提高梁的刚度，减小其末端的运动变形，提高梁的动力学性能。在不影响梁刚度的前提下，通过改 变梁截面参数，可有效降低梁的质量。 关键词：绝对节点坐标法；变截面梁；动力学模型；运动变形 中图分类号：TH113
Dynamic Modeling and Kinematic Behavior of Variable Cross-section Beam Based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation
ZHAO Chunzhang1, 2 YU Haidong1 WANG Hao1, 2 ZHAO Yong 1
和低质量已经成为梁结构设计的关键因素，特别在 是航天结构的大尺寸梁截面设计中。随着拓扑优化
国家自然科学基金 (51275292)和国家重点基础研究发展计划 (973 计划， 2013CB035403)资助项目。20130808 收到初稿，2014 收到修改稿
梁结构的柔性大变形对结构的动力学特性影响 明显，考虑结构变形研究系统的动力学特性目前主 要有三种方法。 其中运动弹性动力学[1-3]是一种完全 解耦的方法，该方法假设柔性体位移为其刚性位移 和柔性变形的简单叠加， 忽略二者之间的耦合关系。 浮动坐标法[4-6]一般采用两种坐标系， 其中刚性位移 在全局坐标系中描述，柔性变形在浮动坐标系下描 述。由于浮动坐标与柔性体固连，其原点位置会随 柔性体的变形发生变化，导致该方法仅适用于小转 动小变形条件问题，对于大范围转动、大变形问题 具有很大局限性。1996 年，SHABANA 提出了绝对 节点坐标法，该方法仅使用一个全局坐标系，柔性 体的所有坐标均在该坐标系下描述。同时，绝对节 点坐标法利用节点的斜率坐标代替有限转动角来描 述节点的方向， 因此该方法同时对求解大范围转动、 大变形问题具有较高的精度。该方法自出现便引起 了许多研究者的重视，研究主要集中在单元模型的 建立、 弹性力的描述和仿真计算效率和精度等问题。 OMAR 等[7-12]分别研究了二维、三维梁单元模型和 三维板单元模型的建模方法。 BERZERI 等[13-15]基于 不同本构模型，建立了适用于不同条件的弹性力计 算模型。 YAKOUB 等[16-18]研究了提高动力学方程仿 真计算效率和精度的方法。但是，目前这些研究主 要是在于梁、 板结构的变形的描述和动力学构建上， 对于变截面梁的刚度特性描述涉及很少。 本文基于绝对节点坐标法，考虑变截面梁单元 边界特性，计算了变截面梁单元的质量矩阵、刚度 矩阵。 基于牛顿方程建立了变截面梁的动力学模型， 并利用 Matlab 进行案例仿真计算， 分析单元数目对 系统动力学仿真的效率和精度的影响，以及截面参 数对系统运动变形的影响。
(1. Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240; 2. Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-walled Structures, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240)
Abstract：The mathematical model of flexible deformation and its coupling effect with dynamic behavior are very important for the kemematic behavior of variable cross-section beams. The nonlinear functions are employed to describe the boundary features of variable cross section beams. The model to calculate the mass matrix and the stiffness matrix of element of beam is proposed based on the absolute nodal coordinate formulation, in which upper and lower limits in the integral formula is considered as nonlinear function. The dynamic model of the variable cross-section beam is established by using Newton formulation. The dynamic behavior of a classic pendulums with different number of elements and different kinds of cross-sections are numerical investagation by using Matlab. The results show that the beam stiffness depends on the number of elements. Various numbers of elements could influence the efficiency and accuracy of numerical simulation as well as result in deviation to the simulation. The stiffness of beam increases and the deformation decreases with the derease of element number of beam. The variation of boundary of beam may improve the stiffness and decrease its flexible deformation when the volume of beam is constant. In addition, it may light the weight of beam structures when the stiffness is constant. Key words：absolute nodal coordinate formulation；variable cross-section beam；dynamic model；kinematic behavior
变截面梁单元示意图
(6)
利用单元节点坐标式(4)，带入式(2)、(3)中，可 得到代数多项式的各项系数，进而得到单元的型函 数
对于此类梁单元，将节点 A 、 B 取在梁单元的 下端点， P 为梁上任意一点。根据变截面梁边界的 变化特点，可将
S s1I s2 I s3I s4I s5I s6I
e (e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 )T
(4)
e1 、 e2 、 e7 、 e8 为节点绝对位移
e1 r1 x0 e7 r1 xl e2 r2 e8 r2
x0 xl
(5)
式中 l ——梁单元未变形时长度。 e3 、 e4 、 e5 、 e6 、 e9 、 e10 、 e11 、 e12 为节点斜率坐标
中的坐标； r1 , r2 ——点 P 在绝对坐标系下沿 X 轴和 Y 轴方向的坐标；
S ——单元形函数，是关于 x 和 y 的函
数，不随时间变化；
e ——单元节点坐标列阵，为时间的函
数。 对于梁单元，每个节点取 6 个节点坐标，则每 个梁单元共包含 12 个节点坐标
1
1.1
梁单元的变形描述
梁单元质量矩阵
以平面梁单元为对象，同时考虑其在平面内的 拉压变形和剪切变形。图 1 所示为变形后的梁单元 模型示意图。图 1 中， OXY 为绝对(全局)坐标系， 梁单元的所有坐标(位置坐标 e 和斜率坐标 oxy 为与 e x , e y )都是在该坐标系下进行描述。 梁单元固连的浮动坐标系。每个单元包含 A 和 B 两 个节点， 分别位于端点处。P 为梁单元上任意一点， r 为其在绝对坐标系下的位置坐标， r1 和 r2 为点该 坐标在绝对坐标系下沿 X 轴和 Y 轴方向的投影。该 坐标可利用对节点 A 和 B 的插值来进行求解，如式 (1)所示 T r x, y,t r1 r2 S x, yet (1)
式中， I 为 22 的单位矩阵， si 定义为
(7)
Hale Waihona Puke Baidu
y f x 。则变截面梁的质量矩阵的计算公式为
y 坐标表示为 x 坐标的函数，即
l f2 x
s1 13 2 2 3 s2 l 2 2 3 s3 l s4 3 2 2 3 s5 l 3 2 s6 l
Y
y o
e y
A
P
B
rA
O
图1
e x x
X r1
r
r2
变形后的梁单元模型示意图
插值函数一般利用代数多项式来表示，多项式 的阶数会影响位置坐标的求解精度，阶数越高，精 度也越高。同时，多项式中项的选取则会影响单元 变形的描述。本文采用三次差值多项式描述单元绝 对位移，在 x 方向采用三次项进行差值，而在 y 方 向采用一次项进行差值。同时为了描述单元的剪切 应变，多项式中需要包含 xy 乘积项
r1 x x0 r e5 1 x0 y r1 e9 x xl r e11 1 xl y e3
r2 x x0 r e6 2 x0 y r e10 2 xl x r e12 2 xl y e4
B Y A r O r1
图2
P r2 X
0
前言
梁结构广泛应用于机械系统中，高强度、刚度
等技术的不断发展， 为了满足梁结构力学性能要求， 复杂变截面将成为梁结构设计的发展趋势。但是在 服役过程中，变截面梁结构非线性变形与整体结构 的动力学特性之间的相互耦合，使得系统的动力学 特性分析十分复杂， 严重情形下甚至出现结构失稳。 因此，发展新的方法研究具有复杂变截面梁结构的 动力学特性十分必要。
网络出版时间：2014-05-28 10:25 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2187.TH.20140528.1025.095.html
基于绝对节点坐标法的变截面梁 动力学建模与运动变形分析*
赵春璋 1, 2 余海东 1 王 皓 1, 2 赵 勇1
2 3 r 1 a0 a 1x a2 y a3 xy a4 x a5 x
(2) (3)
r2 b0 b1x b2 y b3 xy b4 x2 b5 x3
式中 知节点坐标求解；
ai , bi ——代数多项式待定系数，可利用已
x , y ——未变形时点 P 在单元浮动坐标系
摘要：复杂变截面梁结构在运动过程中产生柔性变形对其运动精度与动力学性能有很大影响，因此建立准确的数学模型描述 其柔性变形十分重要。基于绝对节点坐标法，考虑变截面梁单元边界特性，建立单元边界非线性函数关系，通过改变积分上 下限， 将其引入到单元质量矩阵、 刚度矩阵的计算模型中。 基于牛顿方程， 建立变截面梁系统的柔体动力学模型。 利用 Matlab 数值仿真，对不同单元数目、不同变截面参数的单摆梁进行动力学仿真分析。结果表明梁结构的刚度计算值与划分的单元数 目相关，不同单元数目会影响系统仿真计算的效率和精度，使得运动变形仿真产生较大偏差。在保证梁体积相同的情况下， 改变梁单元边界函数，可提高梁的刚度，减小其末端的运动变形，提高梁的动力学性能。在不影响梁刚度的前提下，通过改 变梁截面参数，可有效降低梁的质量。 关键词：绝对节点坐标法；变截面梁；动力学模型；运动变形 中图分类号：TH113
Dynamic Modeling and Kinematic Behavior of Variable Cross-section Beam Based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation
ZHAO Chunzhang1, 2 YU Haidong1 WANG Hao1, 2 ZHAO Yong 1
和低质量已经成为梁结构设计的关键因素，特别在 是航天结构的大尺寸梁截面设计中。随着拓扑优化
国家自然科学基金 (51275292)和国家重点基础研究发展计划 (973 计划， 2013CB035403)资助项目。20130808 收到初稿，2014 收到修改稿
梁结构的柔性大变形对结构的动力学特性影响 明显，考虑结构变形研究系统的动力学特性目前主 要有三种方法。 其中运动弹性动力学[1-3]是一种完全 解耦的方法，该方法假设柔性体位移为其刚性位移 和柔性变形的简单叠加， 忽略二者之间的耦合关系。 浮动坐标法[4-6]一般采用两种坐标系， 其中刚性位移 在全局坐标系中描述，柔性变形在浮动坐标系下描 述。由于浮动坐标与柔性体固连，其原点位置会随 柔性体的变形发生变化，导致该方法仅适用于小转 动小变形条件问题，对于大范围转动、大变形问题 具有很大局限性。1996 年，SHABANA 提出了绝对 节点坐标法，该方法仅使用一个全局坐标系，柔性 体的所有坐标均在该坐标系下描述。同时，绝对节 点坐标法利用节点的斜率坐标代替有限转动角来描 述节点的方向， 因此该方法同时对求解大范围转动、 大变形问题具有较高的精度。该方法自出现便引起 了许多研究者的重视，研究主要集中在单元模型的 建立、 弹性力的描述和仿真计算效率和精度等问题。 OMAR 等[7-12]分别研究了二维、三维梁单元模型和 三维板单元模型的建模方法。 BERZERI 等[13-15]基于 不同本构模型，建立了适用于不同条件的弹性力计 算模型。 YAKOUB 等[16-18]研究了提高动力学方程仿 真计算效率和精度的方法。但是，目前这些研究主 要是在于梁、 板结构的变形的描述和动力学构建上， 对于变截面梁的刚度特性描述涉及很少。 本文基于绝对节点坐标法，考虑变截面梁单元 边界特性，计算了变截面梁单元的质量矩阵、刚度 矩阵。 基于牛顿方程建立了变截面梁的动力学模型， 并利用 Matlab 进行案例仿真计算， 分析单元数目对 系统动力学仿真的效率和精度的影响，以及截面参 数对系统运动变形的影响。
(1. Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240; 2. Shanghai Key Laboratory of Digital Manufacture for Thin-walled Structures, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240)
Abstract：The mathematical model of flexible deformation and its coupling effect with dynamic behavior are very important for the kemematic behavior of variable cross-section beams. The nonlinear functions are employed to describe the boundary features of variable cross section beams. The model to calculate the mass matrix and the stiffness matrix of element of beam is proposed based on the absolute nodal coordinate formulation, in which upper and lower limits in the integral formula is considered as nonlinear function. The dynamic model of the variable cross-section beam is established by using Newton formulation. The dynamic behavior of a classic pendulums with different number of elements and different kinds of cross-sections are numerical investagation by using Matlab. The results show that the beam stiffness depends on the number of elements. Various numbers of elements could influence the efficiency and accuracy of numerical simulation as well as result in deviation to the simulation. The stiffness of beam increases and the deformation decreases with the derease of element number of beam. The variation of boundary of beam may improve the stiffness and decrease its flexible deformation when the volume of beam is constant. In addition, it may light the weight of beam structures when the stiffness is constant. Key words：absolute nodal coordinate formulation；variable cross-section beam；dynamic model；kinematic behavior
变截面梁单元示意图
(6)
利用单元节点坐标式(4)，带入式(2)、(3)中，可 得到代数多项式的各项系数，进而得到单元的型函 数
对于此类梁单元，将节点 A 、 B 取在梁单元的 下端点， P 为梁上任意一点。根据变截面梁边界的 变化特点，可将
S s1I s2 I s3I s4I s5I s6I
e (e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 )T
(4)
e1 、 e2 、 e7 、 e8 为节点绝对位移
e1 r1 x0 e7 r1 xl e2 r2 e8 r2
x0 xl
(5)
式中 l ——梁单元未变形时长度。 e3 、 e4 、 e5 、 e6 、 e9 、 e10 、 e11 、 e12 为节点斜率坐标
中的坐标； r1 , r2 ——点 P 在绝对坐标系下沿 X 轴和 Y 轴方向的坐标；
S ——单元形函数，是关于 x 和 y 的函
数，不随时间变化；
e ——单元节点坐标列阵，为时间的函
数。 对于梁单元，每个节点取 6 个节点坐标，则每 个梁单元共包含 12 个节点坐标
1
1.1
梁单元的变形描述
梁单元质量矩阵
以平面梁单元为对象，同时考虑其在平面内的 拉压变形和剪切变形。图 1 所示为变形后的梁单元 模型示意图。图 1 中， OXY 为绝对(全局)坐标系， 梁单元的所有坐标(位置坐标 e 和斜率坐标 oxy 为与 e x , e y )都是在该坐标系下进行描述。 梁单元固连的浮动坐标系。每个单元包含 A 和 B 两 个节点， 分别位于端点处。P 为梁单元上任意一点， r 为其在绝对坐标系下的位置坐标， r1 和 r2 为点该 坐标在绝对坐标系下沿 X 轴和 Y 轴方向的投影。该 坐标可利用对节点 A 和 B 的插值来进行求解，如式 (1)所示 T r x, y,t r1 r2 S x, yet (1)
式中， I 为 22 的单位矩阵， si 定义为
(7)
Hale Waihona Puke Baidu
y f x 。则变截面梁的质量矩阵的计算公式为
y 坐标表示为 x 坐标的函数，即
l f2 x
s1 13 2 2 3 s2 l 2 2 3 s3 l s4 3 2 2 3 s5 l 3 2 s6 l
Y
y o
e y
A
P
B
rA
O
图1
e x x
X r1
r
r2
变形后的梁单元模型示意图
插值函数一般利用代数多项式来表示，多项式 的阶数会影响位置坐标的求解精度，阶数越高，精 度也越高。同时，多项式中项的选取则会影响单元 变形的描述。本文采用三次差值多项式描述单元绝 对位移，在 x 方向采用三次项进行差值，而在 y 方 向采用一次项进行差值。同时为了描述单元的剪切 应变，多项式中需要包含 xy 乘积项
r1 x x0 r e5 1 x0 y r1 e9 x xl r e11 1 xl y e3
r2 x x0 r e6 2 x0 y r e10 2 xl x r e12 2 xl y e4
B Y A r O r1
图2
P r2 X
0
前言
梁结构广泛应用于机械系统中，高强度、刚度
等技术的不断发展， 为了满足梁结构力学性能要求， 复杂变截面将成为梁结构设计的发展趋势。但是在 服役过程中，变截面梁结构非线性变形与整体结构 的动力学特性之间的相互耦合，使得系统的动力学 特性分析十分复杂， 严重情形下甚至出现结构失稳。 因此，发展新的方法研究具有复杂变截面梁结构的 动力学特性十分必要。
网络出版时间：2014-05-28 10:25 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2187.TH.20140528.1025.095.html
基于绝对节点坐标法的变截面梁 动力学建模与运动变形分析*
赵春璋 1, 2 余海东 1 王 皓 1, 2 赵 勇1
2 3 r 1 a0 a 1x a2 y a3 xy a4 x a5 x
(2) (3)
r2 b0 b1x b2 y b3 xy b4 x2 b5 x3
式中 知节点坐标求解；
ai , bi ——代数多项式待定系数，可利用已
x , y ——未变形时点 P 在单元浮动坐标系