26-2统计物理学基础一
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其中，第一个粒子可以占据能级 i上i 个简并态中任何一个 第二个也可以占据
共有i Ni 种占据方式
N1，N 2， Ni， 个可分辨粒子占据1， 2， i， 各能级上量子态总方式数为 i Ni
子空间 为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知 道分子在这些子空间的分布，就知道了系统在这个精度下的统计性 质。例：二项分布里子空间个数为2。
为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。
二、等概率原理 （统计物理的最基本假设） 对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的 概率都相等。 —— Boltzmann 如果平衡态下孤立系统的相空间体积为，则粒子在子空间 的概率均为：
事件的机会或可能性。
对事件组合{Ai} (i=1,2,…k)，事件总数为N, 出
现事件Ai的次数为N(Ai)，则事件Ai 的概率为
P( Ai ) lim
N
N ( Ai ) N
必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果0<P(Ai)<1。 互不相容事件：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。 独立事件：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币 对于独立事件： P( Ai , Aj ) P( Ai ) P( Aj )
分子施于器壁的冲量: 2mvix
z
x
两次碰撞间隔时间: 单位时间碰撞次数:
单个分子单位时间施 于器壁的冲量:
2 x vix
vix 2x
2 mvix x
8
大量分子总效应
单位时间 N 个粒子对器壁总冲量:
2 2 mvix m Nm 2 vix Nm 2 vix vx N x x i x i x i
例二：Copernican principle
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.
例一、醉汉问题
一个最初站在一个路灯下醉汉忽然想起来走一走， 我们想知道他走了 M 步后离路灯的距离。
基本假设：醉汉走的方向完全不可预计。 设 Xi, Yi 是醉汉第 i 步位移在 X, Y 方向上
的投影，在第 M 步后，他离路灯距离 R
为：
R X i Yi i 1 i 1
冲量：动量的改变量，传递的动量（流）。
' m(v v ) Ft
计算方法：
先求出在t时间内通过面元S的动量，然后对
t和S 求平均，即可确定压强。
一种不严格的推导方式
设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中 有 N 个全同的质量为 m 的气体分子，计 算 A1 壁面所受压强.
器壁 A1 所受平均冲力: 气体压强 统计规律 分子平均平动动能 气体压强公式
9
F v 2 Nm x x
p F Nm 2 vx yz xyz N 1 2 n vx v2 xyz 3
1 k mv2 2
p 2 n k 3
压强的物理意义
统计关系式
2 p n k 3
微观量的统计平均值
相空间 微观粒子运动状态的经典描述 广义坐标
q,
广义动量
p,
哈密顿量
H
相空间与相轨道 广义坐标
q {q1 , q2 , , qd }
和 广义动量 p { p1 , p2 , , pd }
构成的 2d 维直角坐标空间称为相空间。粒子运动时，其代表点在
相空间中的轨道称为相轨道。例：质点的相空间维数为6。 当粒子在相空间中的分布确定时，系统的统计性质就确定了。
宏观可测量量
10
分析：
2 p n k 3
系统总粒子数增高 碰撞频率增高 体系压强增高。
粒子平均动能增高
运动速度增高
碰撞频率增高
冲量增高，
对于非理想气体，系统压强既和分子平均动能有关，也和分子 平均势能有关。由于分子势能形式与物质有关，所以没有普适 性公式。
温度的统计意义与微观本质
理想气体状态方程：
统计规律：微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）
有一定数值和规律的现象为统计规律。
如：理想气体的压强、温度、等等。 伽尔顿板实验 过程： （重复）两步：
(1) 单个小球下落
(2) 多个同时下落 结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。
二
概率论简介
一、事件及其概率 事件： 随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。 概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一
vx v y vz 0
v2Βιβλιοθήκη Baidux 1 2 vix N i
各方向运动概率均等
x
方向速度平方的平均值
各方向运动概率均等
7
v2 x
v2 y
v2 z
1 2 v 3
单个分子遵循力学规律.
y
A2
o
- mv x mv x
v
A1
x方向动量变化: pix 2mvix
y
z x
364 363 ... (365 n 1) n 个朋友生日不同的概率为： （独立事件） n 1 365
n 各朋友至少有两个同生日的概率： 1
364 363 ... 365 n 1 （不相容事件） n 1 365
24 个同学中至少有两个同生日的概率为 53.8%。 60 个同学中至少有两个同生日的概率为 99.4%。
l
P(l ) l / , l 1...... k
P( ) 1
l 1 l
k
三类系统的分布和微观态数
粒子数N,
能量E ,
体积V
以 i 表示第i个能级，i 表示能级 i的简并度， 必须满足 Ni N , Ni i E
i i
Ni 表示能级 i上的粒子数,{Ni }表示数列N1 , N 2 , N i , , 称为一个分布。
With 95% likelihood, the future of a thing will between 1/39 and 39times as long as its past. Homo sapiens (200,000 years) We should last at least 5100 years but less than 7.8 million years.
i 1
M
设醉汉的步长为1。
R M
讨论 统计性质。计算只能给出醉汉最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在 R
M 的位置上找到醉汉，
而只意味着在这些位置上找到他的
几率最大。这并不排除在其他位置
上找到醉汉的可能性。 各态历经。如果有一群醉汉同时开始游动，在
M 位置上找到
醉汉的数目最多。它与一个醉汉重复多次游走的结果一致。 统计误差。只用平均值不能反映醉汉的行为，必须在计算中引入 计算的不确定性。
M M 2
2
2
2 2 ( X1 X 2 ... X M )2 X12 X1 X 2 X1 X 3... X 2 X1 X 2 ... X M
Xi 完全随机，Xi 与 Xj 完全独立。 X i 0,
X i X j 0
R 2 ( X i2 Yi 2 ) M
1961
Berlin Wall Story In 1969, Dr. Gott visit Berlin wall and begin to use Copernican principle. Result: in 50% chance the wall will have at least 8/3 years but not more than 24 year. The wall came down on Nov. 1989.
pV RT
记
R N Ak B
N A 则有： p k BT nkBT V
n
N A
V
粒子数密度。
比较压强公式
2 p n k 3
3 k kBT 2
2 T k 3kB
理想气体的温度正比于组成系统的微观粒子无规则运 动的平均动能。
平均来讲，碰撞将动能大的粒子的能量转移给动能小的粒子。
为 m 的质点，它的行为服从牛顿运动定律。
2。粒子间无相互作用。粒子至于容器发生碰撞，所有碰撞都 是弹性碰撞。 弹性碰撞
' mv mv
3。组成理想气体的粒子的运动是完全无序的、各向同性的。 完全无序 体系无宏观运动。
三、理想气体的压强公式 压强：单位时间内作用在单位面积上的冲量的平均值。
三
近独立子系统的最概然分布
统计物理的基础。所有物理系统 的统计规律都以它为出发点。
一、基本概念 以二项式分布 为例（掷钱币，分配小球）
体积为 V 的容器由隔板分为左右两部分，左边有 n1 个分子，右边 有n2个分子，n1+n2=N。 微观状态。 分子微观可分，若将分子编号以区分哪 n1 个在左边， 则共有 2N 中可能分布。我们说这个系统的微观状态数有 2N 个。 宏观状态（分布）。将任意一对分子调换一下位置，系统的宏观状 态不发生变化。从这个意义上说，分子是宏观不可分的。系统的宏 观状态数为 N+1 个。共有 N+1 种宏观分布方式：{N, 0}, {N-1, 1}, …, {1, N-1}, {0, N}。 每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。
y
A2
o
6
- mv x mv x
v
vy
A1
y
o
v vx
z
z x
x
vz
热动平衡的统计规律（ 平衡态 ）
（1）分子按位置的分布是均匀的.
dN N n dV V
（2）分子各方向运动概率均等. 分子运动速度
vi vix i viy j viz k
使得原来动能大的粒子能量减少，原来动能小的粒子能量增
加。多次碰撞的结果是粒子的平均动能一致，这就是热力学 第 0 定律的微观机制。
平衡态系统的统计分布率
一，基本概念 热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性 的物理语言去描述。（例：三体问题）
如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好 能用另外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统 计。
例一：生日问题 计算 n 个朋友同一天生日的概率。 分析：（1）平均分布；（2）独立事件。
将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为 364/365（平均分 布）；第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为 363/365....，第 n 各朋友与
前面的朋友生日都不同的概率为（365-n+1）/365。
rd
rd
苏则朗势 (Sutherland)
, (r ) d 6 0 ( r ) ,
rd
rd
林纳德—琼斯势 (Lennard-Jones)
(r ) 4 0 ( d )12 ( d )6 r r
二、理想气体的微观模型 基本假设 1。理想气体由大量运动的微观粒子组成。每个粒子都是质量
实验证据：布朗运动。1827年R. Brown 布朗运动是布朗粒子在其周围分子无规则撞击下所作的无规则跳动
分子之间存在相互作用力
固体、液体很难压缩——分子之间存在排斥力 自旋相关 库仑力
气体冷却或压缩可以形成液体——分子之间存在吸引力
常见的分子之间的相互作用的形式有
刚球势
, (r ) 0,
分布 {Ni}
• 能级 • 简并度 • 粒子数 1, 2, …, i, … 1, 2, …, i, … N1, N2, …, Ni, …
两个约束条件
S Ni = N S i Ni = E
1，玻尔兹曼系统
（可分辨的全同近独立粒子）
能级 i，存在i个简并态, 一共有Ni个粒子处于能级 i
统计物理学基础
理想气体的微观图像
一、物质的微观结构 原子分子学说。所有“物质”都由“分子、原子”组成，它们的线
性尺度~0.1 nm。 无序运动。物质分子处于不停顿的无规则运动状态。 不停顿：分子动量不为0；无规则：整体质心动量为０。
例：空气中汽油分子的运动，整体：随风而动；热运动：各个方向、杂乱无章。
共有i Ni 种占据方式
N1，N 2， Ni， 个可分辨粒子占据1， 2， i， 各能级上量子态总方式数为 i Ni
子空间 为了确定系统的宏观统计性质，将相空间划分为若干个子空间。知 道分子在这些子空间的分布，就知道了系统在这个精度下的统计性 质。例：二项分布里子空间个数为2。
为了使用微积分，将子空间的体积减小到适合于进行微分运算。
二、等概率原理 （统计物理的最基本假设） 对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的 概率都相等。 —— Boltzmann 如果平衡态下孤立系统的相空间体积为，则粒子在子空间 的概率均为：
事件的机会或可能性。
对事件组合{Ai} (i=1,2,…k)，事件总数为N, 出
现事件Ai的次数为N(Ai)，则事件Ai 的概率为
P( Ai ) lim
N
N ( Ai ) N
必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果0<P(Ai)<1。 互不相容事件：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。 独立事件：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币 对于独立事件： P( Ai , Aj ) P( Ai ) P( Aj )
分子施于器壁的冲量: 2mvix
z
x
两次碰撞间隔时间: 单位时间碰撞次数:
单个分子单位时间施 于器壁的冲量:
2 x vix
vix 2x
2 mvix x
8
大量分子总效应
单位时间 N 个粒子对器壁总冲量:
2 2 mvix m Nm 2 vix Nm 2 vix vx N x x i x i x i
例二：Copernican principle
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.
例一、醉汉问题
一个最初站在一个路灯下醉汉忽然想起来走一走， 我们想知道他走了 M 步后离路灯的距离。
基本假设：醉汉走的方向完全不可预计。 设 Xi, Yi 是醉汉第 i 步位移在 X, Y 方向上
的投影，在第 M 步后，他离路灯距离 R
为：
R X i Yi i 1 i 1
冲量：动量的改变量，传递的动量（流）。
' m(v v ) Ft
计算方法：
先求出在t时间内通过面元S的动量，然后对
t和S 求平均，即可确定压强。
一种不严格的推导方式
设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中 有 N 个全同的质量为 m 的气体分子，计 算 A1 壁面所受压强.
器壁 A1 所受平均冲力: 气体压强 统计规律 分子平均平动动能 气体压强公式
9
F v 2 Nm x x
p F Nm 2 vx yz xyz N 1 2 n vx v2 xyz 3
1 k mv2 2
p 2 n k 3
压强的物理意义
统计关系式
2 p n k 3
微观量的统计平均值
相空间 微观粒子运动状态的经典描述 广义坐标
q,
广义动量
p,
哈密顿量
H
相空间与相轨道 广义坐标
q {q1 , q2 , , qd }
和 广义动量 p { p1 , p2 , , pd }
构成的 2d 维直角坐标空间称为相空间。粒子运动时，其代表点在
相空间中的轨道称为相轨道。例：质点的相空间维数为6。 当粒子在相空间中的分布确定时，系统的统计性质就确定了。
宏观可测量量
10
分析：
2 p n k 3
系统总粒子数增高 碰撞频率增高 体系压强增高。
粒子平均动能增高
运动速度增高
碰撞频率增高
冲量增高，
对于非理想气体，系统压强既和分子平均动能有关，也和分子 平均势能有关。由于分子势能形式与物质有关，所以没有普适 性公式。
温度的统计意义与微观本质
理想气体状态方程：
统计规律：微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）
有一定数值和规律的现象为统计规律。
如：理想气体的压强、温度、等等。 伽尔顿板实验 过程： （重复）两步：
(1) 单个小球下落
(2) 多个同时下落 结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。
二
概率论简介
一、事件及其概率 事件： 随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。 概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一
vx v y vz 0
v2Βιβλιοθήκη Baidux 1 2 vix N i
各方向运动概率均等
x
方向速度平方的平均值
各方向运动概率均等
7
v2 x
v2 y
v2 z
1 2 v 3
单个分子遵循力学规律.
y
A2
o
- mv x mv x
v
A1
x方向动量变化: pix 2mvix
y
z x
364 363 ... (365 n 1) n 个朋友生日不同的概率为： （独立事件） n 1 365
n 各朋友至少有两个同生日的概率： 1
364 363 ... 365 n 1 （不相容事件） n 1 365
24 个同学中至少有两个同生日的概率为 53.8%。 60 个同学中至少有两个同生日的概率为 99.4%。
l
P(l ) l / , l 1...... k
P( ) 1
l 1 l
k
三类系统的分布和微观态数
粒子数N,
能量E ,
体积V
以 i 表示第i个能级，i 表示能级 i的简并度， 必须满足 Ni N , Ni i E
i i
Ni 表示能级 i上的粒子数,{Ni }表示数列N1 , N 2 , N i , , 称为一个分布。
With 95% likelihood, the future of a thing will between 1/39 and 39times as long as its past. Homo sapiens (200,000 years) We should last at least 5100 years but less than 7.8 million years.
i 1
M
设醉汉的步长为1。
R M
讨论 统计性质。计算只能给出醉汉最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在 R
M 的位置上找到醉汉，
而只意味着在这些位置上找到他的
几率最大。这并不排除在其他位置
上找到醉汉的可能性。 各态历经。如果有一群醉汉同时开始游动，在
M 位置上找到
醉汉的数目最多。它与一个醉汉重复多次游走的结果一致。 统计误差。只用平均值不能反映醉汉的行为，必须在计算中引入 计算的不确定性。
M M 2
2
2
2 2 ( X1 X 2 ... X M )2 X12 X1 X 2 X1 X 3... X 2 X1 X 2 ... X M
Xi 完全随机，Xi 与 Xj 完全独立。 X i 0,
X i X j 0
R 2 ( X i2 Yi 2 ) M
1961
Berlin Wall Story In 1969, Dr. Gott visit Berlin wall and begin to use Copernican principle. Result: in 50% chance the wall will have at least 8/3 years but not more than 24 year. The wall came down on Nov. 1989.
pV RT
记
R N Ak B
N A 则有： p k BT nkBT V
n
N A
V
粒子数密度。
比较压强公式
2 p n k 3
3 k kBT 2
2 T k 3kB
理想气体的温度正比于组成系统的微观粒子无规则运 动的平均动能。
平均来讲，碰撞将动能大的粒子的能量转移给动能小的粒子。
为 m 的质点，它的行为服从牛顿运动定律。
2。粒子间无相互作用。粒子至于容器发生碰撞，所有碰撞都 是弹性碰撞。 弹性碰撞
' mv mv
3。组成理想气体的粒子的运动是完全无序的、各向同性的。 完全无序 体系无宏观运动。
三、理想气体的压强公式 压强：单位时间内作用在单位面积上的冲量的平均值。
三
近独立子系统的最概然分布
统计物理的基础。所有物理系统 的统计规律都以它为出发点。
一、基本概念 以二项式分布 为例（掷钱币，分配小球）
体积为 V 的容器由隔板分为左右两部分，左边有 n1 个分子，右边 有n2个分子，n1+n2=N。 微观状态。 分子微观可分，若将分子编号以区分哪 n1 个在左边， 则共有 2N 中可能分布。我们说这个系统的微观状态数有 2N 个。 宏观状态（分布）。将任意一对分子调换一下位置，系统的宏观状 态不发生变化。从这个意义上说，分子是宏观不可分的。系统的宏 观状态数为 N+1 个。共有 N+1 种宏观分布方式：{N, 0}, {N-1, 1}, …, {1, N-1}, {0, N}。 每个宏观状态占有多少个微观状态数反映了系统的宏观统计性质。
y
A2
o
6
- mv x mv x
v
vy
A1
y
o
v vx
z
z x
x
vz
热动平衡的统计规律（ 平衡态 ）
（1）分子按位置的分布是均匀的.
dN N n dV V
（2）分子各方向运动概率均等. 分子运动速度
vi vix i viy j viz k
使得原来动能大的粒子能量减少，原来动能小的粒子能量增
加。多次碰撞的结果是粒子的平均动能一致，这就是热力学 第 0 定律的微观机制。
平衡态系统的统计分布率
一，基本概念 热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性 的物理语言去描述。（例：三体问题）
如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好 能用另外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统 计。
例一：生日问题 计算 n 个朋友同一天生日的概率。 分析：（1）平均分布；（2）独立事件。
将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为 364/365（平均分 布）；第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为 363/365....，第 n 各朋友与
前面的朋友生日都不同的概率为（365-n+1）/365。
rd
rd
苏则朗势 (Sutherland)
, (r ) d 6 0 ( r ) ,
rd
rd
林纳德—琼斯势 (Lennard-Jones)
(r ) 4 0 ( d )12 ( d )6 r r
二、理想气体的微观模型 基本假设 1。理想气体由大量运动的微观粒子组成。每个粒子都是质量
实验证据：布朗运动。1827年R. Brown 布朗运动是布朗粒子在其周围分子无规则撞击下所作的无规则跳动
分子之间存在相互作用力
固体、液体很难压缩——分子之间存在排斥力 自旋相关 库仑力
气体冷却或压缩可以形成液体——分子之间存在吸引力
常见的分子之间的相互作用的形式有
刚球势
, (r ) 0,
分布 {Ni}
• 能级 • 简并度 • 粒子数 1, 2, …, i, … 1, 2, …, i, … N1, N2, …, Ni, …
两个约束条件
S Ni = N S i Ni = E
1，玻尔兹曼系统
（可分辨的全同近独立粒子）
能级 i，存在i个简并态, 一共有Ni个粒子处于能级 i
统计物理学基础
理想气体的微观图像
一、物质的微观结构 原子分子学说。所有“物质”都由“分子、原子”组成，它们的线
性尺度~0.1 nm。 无序运动。物质分子处于不停顿的无规则运动状态。 不停顿：分子动量不为0；无规则：整体质心动量为０。
例：空气中汽油分子的运动，整体：随风而动；热运动：各个方向、杂乱无章。