定积分概念、性质

定义：设函数 f ( x)在[ a, b]区间有定义，任取 a x0 x1 x2 ... xi 1 xi ... xn b， 将区间 [ a, b]分成n个小区间 [ xi 1 , xi ]，其中 xi xi xi 1 (i 1,2,...n)，任取 i [ xi 1 , xi ] 作累积的和式 f ( i )xi
c a c b b a
· · ·
b c a a
a
c
b
· ·
b c
b
a
·
c
f x dx f x dx f x dx
4 a 1dx b a
（5）对任意x [a, b] f ( x)≥0，则有
b

推论1设
b
a
f ( x) 0
x [ a, b] f ( x) g ( x)
五、定积分的几何性质
由定积分几何意义可得：
（1）若
f ( x) 是偶函数，则

a
a
f x dx 2 f x dx
0
a
-a
a
a
（2）若 f
( x)是奇函数，则 a f x dx 0
a -a
补充规定： 1
a f x dx 0
b a
a
2 a f x dx b f x dx
Si矩
n n n
1 i S曲 S曲 Si矩 xi f ( xi ) ( ) 2 i 1 i 1 i 1 i 1 n n
n
若取n=10
S曲 S1 S 2 ... S n Si
i 1 n
y y=x2
i 1 1 ( )2 3 n n i 1 n 0.384
T2 t
（1）细分区间
(2) 取近似值
[T1 , T2 ] [T1 , t1 ] [t1, t2 ]
[tn1, T2 ]
Si v i ti
（3）作和 S （4）取极限
S v( )t
i 1 i
n
n
S lim v(i )ti
0
i 1
i 1 n
六、定积分的基本性质
规定：
1 a f x dx 0
2 a f x dx b f x dx
b a
a
a
x+dx x
b
◆定积分的基本性质
1 a f x g x dx a f x dx a g x dx
a x
d x ( x) f (t )dt f ( x) (a x b) a dx
证明思路 参见书
例1
d 1 2 求 [ cos tdt ] dx x
x d d x 2 解：原式 [ cos tdt ] [ cos 2 tdt ] dx 1 dx 1 cos2 x
可推广至有限个函数的代数和的情形。
b
b
b
2 a k f x dx k a f x dx b c b 3 a f x dx a f x dx c f x dx
b
b
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
f xdx f xdx f xdx
再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得
◆微积分基本公式
如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间 段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1) 如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知
S v t dt
T1
T2
S s T2 s T1 v(t )dt
.
a ，对任意 b
则有
a
推论2：
b
f ( x) dx
a g ( x)dx
.
b

b
a
f ( x)dx f（x） dx , (a b)
a
b
因 f ( x) f ( x) f ( x)
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
定积分的概念
微积分基本公式
前 言
17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归 结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究 了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题： 事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、 变量作功等等。
本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微 积分基本定理。
4.1定积分概念

a

a

b
三、定积分存在的充分条件
1. 若函数
f x 在 a, b上连续， 则 f x 在 a, b 上可积。
f x 在 a, b上有界，且只有有限个间断点， f x 在 a, b上可积。
2. 若函数 则
有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。
2
(u 2 x)
cos2 x 2 cos2 2 x
上例曲边图形的面积用定积分表示
b
n(n 1)( 2n 1) 1 S x dx lim 3 0 n 3 6n
1 2
注意：据定义有如下说明: (1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关； (3)规定： a f ( x)dx 0, b f ( x)dx a f ( x)dx
a x
即( x) f (t )dt
a
x
几何意义：当 f ( x) 0时，变上限的定积分 ( x)表示为右侧 邻边可以变动的曲边梯 形面积，如图
( x)
a x
f ( x)
b
定理1 若函数f ( x)在区间 [a, b]上连续，则变动上限积 分 ( x) f (t )dt 是[a, b]区间上关于x的可导函数，且
n 2
n
2 i i 1
n
1 n(n 1)(2n 1) n3 6
x0
n(n 1)(2n 1) 上述由 i 得， 6 i 1
0 1
10
x
容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小， 6）直到用极限方法令n→∞，得曲边梯形的精确值：
S曲 lim S i矩
a
x+dx x
b
定积分几何意义的应用
(1) 3dx 3 (7 1) 18 1
7
(2)
4
1
1 2 xdx (2 8) 3 15 2
8
3 2 1
7
1
4
(3)
3
3
2
1 9 2 9 x dx 3 2 2
2
(4) sin xdx 0
x0 0 x1 x2 x3
xn-1 xn=1 x
高则分别 取区间右端点xi(i=1,2,…,n)的函数值 3）相乘为第i个小矩形面积： 4）第i个小曲边梯形面积近似： S 5）曲边梯形面积S曲近似：
Si矩 xi f ( xi )
i曲
i 2 f ( xi ) ( ) n
1 i 2 ( ) n n
n i 1
如图所示： 1）将区间[0,1]n等分。 其分点分别为：
y y=x2
1 2）得n个小条形，每个小条形的宽均为 x i n
1 2 i x0 0, x1 , x2 ,......xi , n n n n 1 n ......xn 1 , xn 1. n n
i 1 n
如果当最大的子区间的长度 max(xi ) 0 时，此和式有极 限，则此极限叫作f(x)在 [a，b]上的定积分，
记为：

b
a
f ( x)dx
即

b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
n i 1
n
在定积分 a f ( x)dx 中 其中“∫”为积分号（把字母s拉长），a，b为 积分下限和上限，即积分变量x的范围：a≤x≤b， 又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被 积表达式。
b a
m(b a) f ( x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）： 若函数f ( x)在[a, b]上连续， 则至少存在一点 [a, b]使得

b
a
f ( x)dx f ( )(b a), (a b)
.
证明：将性质 6的不等式同除 b a, 得 . b 1 m f（x )dx M a ba
四、定积分的几何意义（演示）
（1）
f x dx A A
a 1
b
2
A3
表示曲线 y f ( x) 与 x 轴围成的图形面积的代数和。
（2）
f x dx A A A
a 1 2
b
y f x
3
a
A1
A2 A3
b
表示曲线
y f ( x) 与 x 轴围成的图形面积。
n i 1 n
( n 1)(2n 1) lim n 6n 2
1 0.3 3 3 3
总结：求曲边梯形面积的步骤
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程 设物体的运动速度 分割区间 作和
v
v vt
取极限
取近似值
T1
ti-1 i ti
例2
d 2 x 求 [ cos 2 tdt ] dx x
x 2 x d 2 [ cos tdt cos 2 tdt ] 0 dx 0
解：用分点0插分区间[x,-2x]
2 x d 0 2 原式 [ cos tdt cos 2 tdt ] 0 dx x
d 2 x cos x cos 2 tdt dx 0 d u 2 cos x ( cos 2 tdt ).u x du 0 cos2 x cos2 (2 x)(2).
y=x2
A y 0 1 x
研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么 研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干 个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲， 即:
Si曲 Si矩， 从而有：S曲 Si矩
i 1 n
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个 曲边梯形的面积，即： n S曲 lim Si矩
一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法
定义：A表示由曲线 y f ( x), 直线x a、 x b、y 0所围的曲边梯形面积。 如图：
y y=f(x) A a
注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；
x
例如：求曲线y=x2、直线x=0、 x=1和y=0所围成的面积？ 如图所示 此问题的难点是图形有一边是曲 的，如何求它的面积呢？
i
i
其中
max ti
1i n
二、定积分的概念（演示） 曲边梯形面积A：
A lim f (i )xi
0
i 1
n
记为
f x dx
a
b
变速运动的路程 S：
S lim v(i )ti
0wenku.baidu.com
i 1
n
记为
vt dt
T2 T1
定积分定义
n 2
x0 0, x1 1 n , x2 2 n ,
1
n i 1 1 2 xdx lim lim i 0 3 n n n i 1 n n i 1
1 1 1 lim 3 nn 12n 1 n n 6 3
0
y
2
0
-3 3
x
例 用定义求定积分 解 因为 把区间

1
0
x dx
2
= lim
0
1
f x f x d
b i 1 i i a
n
x
2
在
[0,1] 上连续，所以

0
x 2 dx 存在
0,1分成n等份，每份长 1 n ，各分点是：
, xn n n 1
T1
T2
而
s t v t
连续函数 原函数 F
x 在积分区间上的增量 F b F a ？
f x
在区间 a, b 上的定积分等于它的一个
微积分基本公式（一）——变上限的积分定理
定义：设函数 f ( x)在[a, b]上可积，则对 x [a, b], f ( x)在[a, x]上 也可积，称 f (t )dt为f ( x)的变上限的定积分， 记作( x)：