条件极值与拉格朗日乘数法

§4条件极值
一、何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。

决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。

我们
知
道
点
)
,,(z y x 到点
)
,,(000z y x 的距离为
202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0
),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.
又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值
2
2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，
求函数f 的极小值问题。

这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.
例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .
分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件
V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .
条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ
限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.
对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy
V
z =
, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x
y V y x F ++=)1
1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有
3
22
1V z =
, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.
然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件
设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点
),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由
方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有
0)(='+=x g f f dx dz
y x .代入 )
,(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0)
,()
,()
,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,
即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .
可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量
(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数
λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.
亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0
, 0y y
x x f f λϕλϕ
三、 Lagrange 乘数法:
由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方
程组⎪
⎩⎪
⎨⎧==+=+.
0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.
引进所谓Lagrange 函数
),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )
则上述方程组即为方程组
⎪
⎩⎪
⎨⎧===.
0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x
下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,12
2
2
=++=++z y x z y x 下的极值。

解 令)()1(22
2
z y x z y x xyz L +++-+++=μλ
02=++=μλx yz L x , 02=++=μλy xz L y ,
02=++=μλz xy L z ,
得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+2
2
2
222, （1）
又 12
2
2
=++z y x , （2） 0=++z y x , （3）
由（1）得 )()(22
2
x y y x -=-μλ ，)()(22
2
y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y
故得z x =，代入（2）（3）式得 122
2=+y x ,
02=+y x .
解得稳定点)61,62,
61
(
1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61
,61,62(4,3±± P ，)6
2
,61,61(
6,5 ±±P 也是稳定点. 四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例:
例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是
)()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ
对L 求偏导数, 并令它们都等于0: ⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ
求上述方程组的解, 得3
324,
22V
V z y x -====λ.
依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3
4
V
, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值3
2)
2(3V S =.
例4抛物面z y x =+2
2
被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 .
例5 求函数xyz z y x f =),,(在条件
)0,0,0,0( 1
111>>>>=++r z y x r
z y x . 下的极小值 ; 并证明不等式 31
1113abc c b a ≤⎪
⎭
⎫
⎝⎛++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 .
解 设拉格朗日函数为 +=xyz z y x L ),,,(λ ) 1
111(r
z y x -++λ. 对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则有
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫=-++==-==-==-
=.01
111,
0,
0,
0222
r z y x L z
xy Lz y xz L x yz L y x λλλλ
由上述方程组的前三式, 易得
μλ
====xyz
z y x 111.从而函数L 的稳定点为r z y x 3===,4)3(r =λ.
为了判断3
)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件
1
111r
z y x =++看作隐函数),(y x z z =(满足隐函数定理条件), 并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数. 这样, 就可应用极值
充分条件来做出判断. 为此计算如下:
22
222
2,11y z z x z z x z y x -=-=---=,332x yz xyz yz yz F xx x x xx =++=, xy z x z y z z xyz xz yz z F xy
x y xy 3222+--=+++=, 3
3
2y
xz F yy =. 当r z y x 3===时,
r F F r F xy yy xx 3,6===, 027*******
>=-=-r r r F F F xy yy xx .
由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式
)1
1110,0,0(33r
z y x z y x r xyz =++>>>≥且
. 令c z b y a x ===,,, 则1
)111(
-++=c b a r , 代入上不等式有 31])1
11(3[-++≥c b a abc
或 )0,0,0()111(331
>>>≤++-c b a abc c
b a .
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:
(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.
(2) 作拉格朗日函数∑=+=m
k k
k m n f x x x L 1
2121),,,,,,,(ϕ
λλλλ , 其中i λ的个数
即为条件组的个数.
(3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令
0,0=∂∂=∂∂j
i L
x L λ, ),,2,1,,,2,1(m j n i ==求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.
(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.。