梁的强度校核

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1. 按正应力强度条件选择槽钢型号
作梁的剪力图和弯矩 图如图c和图e。最大弯矩 在距左支座0.8 m处， Mmax=62.4 kN·m。梁所需 的弯曲截面系数为
Wz
M max
62.4103 N m 170106 Pa
367106
m3
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而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
2020/4/15 104 000 mm 3
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当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截
面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
算公式为
Fb 3l 2 4b2
wC 48EI
可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为
a
qa2 2
(l
2a)
awenku.baidu.com
2EI
0.000 207 ql4 ()
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EI
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所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自 由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰 支座。
12103 N 0.6 m 3 2.42 m2 4 0.62 m2 ]
48
1671103 N m2 210109 Pa 21 780108
m4
4.66103 m
而许可挠度为
w
w l
l
1 400
2.4
m
6 10 3
m
由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。
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(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为
M max
ql 2 8
0.125 ql2
5ql 4
ql 4
wmax 384 EI 0.0130 EI
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如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
于是
max
(
FS,m
ax
/
2)S
z,m
a
x
Izd
(69103 N)10410-6 m3 (178010-8 m4 )(7 103 m)
57.6106 Pa 57.6 MPa
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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3. 按刚度条件校核
wC
Fa
3l 2 4a2 48 EI
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于是由叠加原理可得
wmax wC
1 [ 120103 N 0.4 m
48EI
3 2.42 m2 4 0.42 m2
30103 N 0.8 m 3 2.42 m2 4 0.82 m2
40103 N 0.9 m 3 2.42 m2 4 0.92 m2
(a)
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Mmax MC M A M B qa2 0.0214ql2
2
而且跨中挠度减小为
wm a x
wC
5ql 2a4
384EI
2
qa2 2
l
16EI
2a2
0.000 616 ql4 EI
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而此时外伸端D和E的挠度也仅为
wD
wE
qa4 8EI
q(l 2a)3 24EI
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Ⅱ. 提高梁的刚度的措施
(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件(stiffness condition)：
wm a x l
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
w l
为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠
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例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既
满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100
MPa，E=210 GPa，
w l
1 400
。
•
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•
解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然 后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作 更改。
跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度
条件。
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土建工程中通常只限制梁的挠跨比，
w l
1 250
~
1 。在
1000
机械工程中，对于主要的轴， w
l
1 5000
~1 10000
；对于传动轴还
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，q 0.005 ~ 0.001 rad 。
力[]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。
现加以检验：
max
62.4103 N m 2 178106 m3
175106 Pa 175 MPa
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
FS,max 138 kN 69103 N
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每根20a号槽钢其横截面在中性轴一 侧的面积对中性轴的静矩，根据该号 槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：