具有随机扰动的SIV传染病模型的动力学行为分析

文章编号:1673-5196(2018)05-0150-05

具有随机扰动的S I V传染病模型的动力学行为分析

黄灿云,郝一新,孟新友

(兰州理工大学理学院,甘肃兰州 730050)

摘要:研究具有随机扰动的S I V传染病模型的动力学行为.通过构造恰当的李雅普诺夫函数并运用伊藤公式,证明了系统全局正解依概率1的存在性,给出了系统随机最终有界和随机持久的充分条件.利用H i g h a m等提出的M i l s t e i n方法对所给的系统进行了数值模拟.

关键词:S I V传染病模型;随机扰动;全局正解;随机持久

中图分类号:O175 文献标志码:A

D y n a m i c b e h a v i o r a n a l y s i s o f s t o c h a s t i c S I Ve p i d e m i cm o d e l

HU A N GC a n-y u n,H A O Y i-x i n,M E N G X i n-y o u

(S c h o o l o f S c i e n c e,L a n z h o uU n i v.o fT e c h.,L a n z h o u 730050,C h i n a)

A b s t r a c t:D y n a m i cb e h a v i o ro fS I Ve p i d e m i c m o d e lw i t hs t o c h a s t i c p e r t u r b a t i o n sw a s i n v e s t i g a t e d.

B y c o n s t r u c t i n g s u i t a b l eL y a p u n o v f u n c t i o n s a n da p p l y i n g I t^of o r m u l a,t h ee x i s t e n c eo f g l o b a l p o s i t i v es o l u-t i o n sw i t h p r o b a b i l i t y t o t h e s y s t e m w a s p r o v e d a n d t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n o f s t o c h a s t i c u l t i m a t e b o u n d e d-n e s sa n ds t o c h a s t i c p e r m a n e n c eo ft h es y s t e m w a s g i v e n.E m p l o y i n g M i l s t e i n m e t h o d p r e s e n t e d b y H i g h a me t a l i i,t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no f t h e g i v e n s y s t e m w a s p e r f o r m e d.

K e y w o r d s:S I Ve p i d e m i c m o d e l;s t o c h a s t i c p e r t u r b a t i o n s;g l o b a l p o s i t i v es o l u t i o n;s t o c h a s t i c p e r m a-n e n c e

传染病动力学的研究主要起源于20世纪初期,受经典的S I R模型研究的影响,大部分研究结果主要分析传染病的传播规律[1-3].随着研究水平的提高,近年来,大部分学者开始研究疫苗接种对传染病预防和控制的影响,希望为传染病的防治决策提供理论基础和数量依据[4-7].K r i b s-z a l e t a等[7]研究了具有疫苗接种的S I V模型,其研究结果表明疫苗的接种成功率对传染病的控制能起到决定性的作用.目前,为了刻画传染病的流行规律,大多数学者基于确定性动力学模型进行研究,主要依据是假设生物种群的个体数量足够大.根据大数定理,系统的状态会呈现出比较平稳的统计规律,从而可以把系统近似地看成确定性的,这就使得研究工作更加简便.事实上,这些确定性模型的研究成果的确对传染病的防治工作起到了积极作用.

然而,在现实生活中,任何一个生物系统都不可

收稿日期:2017-03-14

基金项目:国家自然科学基金(11661050)

作者简介:黄灿云(1965-),男,河南淮阳人,博士,教授.

能孤立地存在,而是处于一个复杂的相互联系的环境中,各种形式的随机干扰无处不在.环境噪声会不同程度地影响到增长率㊁环境容量和系统的其它参数,而且实际资料也表明系统状态的随机波动非常明显,因此在某些情况下使用随机数学模型对传染病进行描述尤其必要[8-10].受上述文献的启发,本文将随机扰动引入到K r i b s-z a l e t a等[7]所研究的S I V 确定性系统中,分析环境噪声对S I V模型动力学行为的影响.假设随机扰动是白噪声类型,且与S(t), I(t),V(t)到稳态值S*,I*,V*的距离以及对d S(t)/d t,d I(t)/d t,d V(t)/d t的影响成正比,那么具有随机扰动的S I V传染病模型为

d S=(d-βS I-(d+p)S+γI+

e V)d t+

σ1(S-S*)d B(t)

d I=(βS I-(γ+d)I+σβV I)d t+

σ2(I-I*)d B(t)

d V=(p S-σβV I-(d+e)V)d t+

σ3(V-V*)d B(t

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第44卷第5期

2018年10月兰 州 理 工 大 学 学 报

J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y V o l.44N o.5 O c t.2018