材料力学课件第五章弯曲应力
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弹性力学分析表明，对于长梁 (l ≥ 5h) ， 按纯弯曲正应力公式得到的最大正应力与精确 解比较，误差不超过1%。
工程中
σ = M( x )y Iz
三、弯曲正应力强度条件
最大正应力在横截面上、下边缘点处，且该 点切应力为零。若忽略挤压应力，则该点处于单 向应力状态。
强 度 条
[ ] σt max ≤ σt [ ] σcmax ≤ σc
应变分布规律：
M
M
取微段dx研究
y——纵向对称轴
dx
z——中性轴
z x dx y
中性层 m
Α m
dθ ρ
n
dx
z ×y x
Β
Β1 n
y
距中性轴为y的一层纤维的伸长量
Δ( dx ) = ( ρ + y )dθ − ρdθ
线应变
ε = ( ρ + y )dθ − ρdθ = y
dx
ρ
☻结论：横截面上任意点 的线应变与点到中性层的 距离成正比。
平板平放 Wz = 3 ×104 mm 3
槽形截面 Wz = 7.22 ×104 mm 3
3、确定许可载荷
平板平放
M max
=
q 8
≤ Wz [σ]
[q1 ] = 8Wz [σ]= 8× 3×104 ×10×10−6 = 2.4 kN m
槽形截面
[q2 ] = 8Wz [σ]= 8× 7.22×104 ×10×10−6= 5.78 kN m
= 165.6MPa < [σ]
梁满足正应力强度条件
4、AD段下侧的变形量
12kN
8kN
6kN
A
B dx
0.4m 0.8m
C DE 0.2m 0.4m
2.4kNm
（M）
3.2kNm
Δl
=
∫ld(Δl ) =
∫l εdx
=
∫l
σ E
dx
=
∫l
M EW z
dx
Δl
=
⎜⎛ ⎝
3.2
× 2
0.4
+
3.2
× 2
等直梁
[σt ] = [σc ]
[ ] σmax
=
M max Wz
≤
σ
件
强度校核
三类强度计算 设计截面
确定许可载荷
例题：两端铰支的木板梁，受均布载荷作用。木板 长1m，宽200mm，厚30mm，木材的许用拉应力 [σ]=10MPa。试求当木板平放和胶结成槽形时的许可 载荷[q]。
q
30
30
50
中，该处应以圆弧连接。
☻翼缘主要承担弯矩，腹板主要承担剪力。
3、薄壁圆截面梁
薄壁 r0 ≥ 10δ 假设：①切应力沿壁厚均布。
②切应力方向与圆周相切。
τ
=
Fs
S
∗ z
2δI z
S∗ z max
=
2 3 ( r0
+
δ 2
)3−
2 3 ( r0
−
δ 2
)3
≈
2r02δ
Iz
=
π 4
( r0
+
δ 2
)4
−
Iz ——横截面对中性轴的惯性矩
讨论： 切应力分布规律
S
∗ z
=
b(
h 2
−
y
) ⎢⎣⎡⎢⎣⎡y12+τ⎜⎝⎛
h1 2=
⎜⎝⎛+Fbh2syIS−⎟⎠⎞z z∗⎥⎦⎤y
⎟⎞ ⎠
⎤ ⎥ ⎦
== b2b8h⎜⎜⎝⎛ 2h4⎜⎜⎝⎛21−−y42hy⎟⎟⎠⎞22 ⎟⎟⎠⎞
h/2
y h/2
b
τ
=
Fs
S
∗ z
解： 1、求约束反力
z 120 88
20
∑ M A = 0 FC = 14.5kN ∑ Fy = 0 FA = 2.5kN
9kN
8kN/m
A
B
CD
1m
2.5kN
1m 1m
14.5kN
4kNm
80 20
z 120 88
20
（M）
2.5kNm
2、确定危险截面及弯矩
危险截面为B、C截面
M B = 2.5kNm
50
A
B
M
M
问题分析
边缘点
σ max
=
M Wz
单向应力
ε max
=
σ max E
匀
均
形
变
Δl = εmax l AB
50
A
B
M
75 M
200 9 19.5
z
解： 查表知20号槽钢的几何尺寸如图示
截面对形心轴的惯性矩 Iz = 143.6cm4
Δl = εmax l AB
= σ max E
l AB
=
中性层 m
Α m
dθ ρ
n
dx
z ×y x
Β
Β1 n
y
2、物理关系
若材料在线弹性范围内，且拉压弹性模量相同。
σ = Eε = E y ρ
☻结论：横截面上任意点的正应力与点到中性轴的 距离成正比。
正应力在上、下边缘点处
最大，中性轴上为零。 z
待解决问题：
中性轴位置；
中性层的曲率半径。
y
3、静力学关系
MC = −4kNm
9kN
8kN/m
A
B
CD
1m
2.5kN
1m 1m
14.5kN
80 b
20
z 120 88
a 20
Iz = 763 × 106 mm 4 M B = 2.5kNm MC = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算
C截面a点 C截面b点
σc
=
My1 Iz
=
4×106 × 88 763 ×104
∫ FN∗1 = A∗ σ1dA ∫ FN∗2 = A∗ σ 2dA
dFs′ = τ′ddx
腹板
τ
=
Fs
S
∗ z
dI z
d z
by
δ
h τmax
δτmin
S
∗ z
=
d(
h 2
−
y
)
⎡1
⎢ ⎣
2
⎜⎛ ⎝
h 2
+
y ⎟⎠⎞⎥⎦⎤
+
bδ(
h 2
+
δ 2
)
=
d 2
⎜⎜⎝⎛
h2 4
−
y2
⎟⎟⎠⎞
+
bδ 2
(h+
0.8
−
2.4 × 2
0.2
⎟⎞ ⎠
×
106 × 32 = 200 × 3.14 × 603
0.40mm
§5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 一、梁横截面上的切应力
研究对象：对称弯曲梁 研究方法：局部平衡
1、矩形截面梁 假设：①横截面上各点的切应力与剪力方向相同。
②切应力沿截面宽度均匀分布。
δ
)
中性轴上
τ max
=
Fs
S
∗ z max
dI z
轧制型钢
( ) τmax
=
d
Fs
Iz
S
∗ z
翼缘
腹板
δ
d
zh
δ
by
FN∗ 2
翼缘 说明：
FN∗ 1
dFs′
FN∗ 2
τ
=
Fs
S
∗ z
δI z
FN∗ 1 dFs′
☻腹板上切应力的合力约占总剪力的95%。
☻翼缘上还有竖直切应力，由于很小忽略不计。
☻腹板与翼缘交界处的应力较复杂，为避免应力集
=
46.1MPa
<
[σc ]
σt
=
My2 Iz
=
4×106 × 52 763 ×104
=
27.7MPa < [σt ]
B截面a点
σt
=
My1 Iz
=
2.5×106 × 88 763 × 104
=
28.8MPa
<
Hale Waihona Puke Baidu
[σt ]
梁满足强度条件
☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
第五章 弯曲应力
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件 §5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 §5-3 梁的合理设计 §5-4 非对称梁的弯曲＊
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件
研究对象：对称弯曲梁
Fq
M
纵向对称面
轴线
对称轴
梁的内力 剪力Fs 弯矩M
切应力τ 正应力σ
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力
π 4
( r0
−
δ 2
)4 ≈
πr03δ
τ max
=
Fs
S
∗ z max
2δI Z
==
2FFs s πr0Aδ
FN∗ 1
Fs
δ
r0 z
dFs′
dFs′
FN∗ 2
4、圆截面梁
切应力特点：
①同一高度上各点切应力大小不同，作用线交于
一点。
②同一高度上各点切应力沿y轴分量相等。
F
q
M
x dx
取微段研究
M
M+dM
Fs
Fs
σ1
dx
y
dFs′
σ2
FN∗1 τ′ τ
FN∗ 2
b dx
∫ ∫ FN∗1 =
A∗ σ1dA =
My dA
I A∗ z
∫ ∫ ( ) FN∗2 =
A∗ σ 2dA =
A∗
M + dM Iz
y dA
平衡
dFs′ = τ′bdx FN∗1 + dFs′ = FN∗ 2
1、几何关系
实验现象： ☻横向线仍为直线， 但相对转过了一个角 度； ☻纵向线变成曲线， 一侧伸长，一侧缩 短，中间有一层长度 不变； ☻变形后的纵向线和 横向线仍保持正交。
M
M
中性层
中性轴
假设： ☻变形后的横截面仍保持为平面，且仍与轴线正 交。——平面假设 ☻梁内各纵向“纤维”只受轴向拉（压）力，相互之 间无挤压。——单向受力假设 ☻材料拉、压弹性模量相同
=M Wz
Wz
=
Iz ymax
——弯曲截面系数
常用截面的抗弯截面系数
h
z
b
Iz
bh3 12
Wz
bh2 6
d
z
πd 4 64
πd 3 32
Dz
α=d D
πD4 ( 1 − α4 ) 64 πD3 ( 1 − α4 ) 32
二、剪力弯曲时横截面上的正应力
剪力弯曲的特点： 由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲； 纵向纤维之间可能存在挤压。
应力应满足以下三式
∫A σdA = 0 ∫AσzdA = 0
∫AσydA = M
∫A σdA = 0
E ρ
∫A
ydA
=
0
∫AσzdA = 0 ∫AσydA = 0
E ρ
∫A
yzdA
=
0
∫E
ρ
y2dA= M
A
M z x
dA dF y dF=σdΑ
z轴为形心轴
y为对称轴，满足
1= M ρ EI z
1= M ρ EI z
12kN
8kN
6kN
A
B
0.4m FA
0.8m
解： 1、求约束反力
C DE
0.2m 0.4m FD
∑ M A = 0 FD = 18kN
∑ Fy = 0 FA = 8kN
12kN
8kN
6kN
A
B
0.4m 8kN
0.8m
C DE 0.2m 0.4m
18kN
2.4kNm
（M）
3.2kNm
2、确定危险截面及弯矩
1m
200
30 30
解： 1、确定危险截面及相应的弯矩
危险截面在跨中
M max
=
q 8
( kNm
)
2、确定截面的弯曲截面系数
平板平放
Wz
=
bh2 6
=
320×01×043m02m 3 6
槽形截面
30 200
①取参考轴z1如图，确定形心
35
yc
=
30×100×15 + 30× 50× 55× 200 × 30
∫ τ′bdx = dM ydA I A∗ z
∫ τ′bdx = dM ydA I A∗ z
∫ τ′ =
1 bI z
ddFMxs
S
∗ zA∗
ydA
τ
=
Fs
S
∗ z
bI z
dFs′
FN∗1 τ′ τ
FN∗ 2
b dx
Fs ——所求横截面上的剪力
S
∗ z
——横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩
b ——横截面的宽度
My A EI z
l AB
M = EI z Δl = 200 ×143.6 ×104 × 27 × 10−3
y Al AB
19.5× 50
= 7.95 ×103 kNmm = 7.95kNm
练习题：外伸梁受力如图所示，AD段为实心圆截 面，直径D=60mm，DE段为空心圆截面，外径 D=60mm，内径d=45mm。已知材料的许用正应力 [σ]=170MPa，弹性模量E=200GPa。试校核梁的正 应力强度并确定AD段下边缘的变形量。
危险截面为B、D截面
M B = 3.2kNm
M D = −2.4kNm
3、校核强度
B截面
σ max
=
MB Wz
=
3.2×106 × 32 3.14× 603
=
150.9MPa
<
[σ]
D截面
σ max
=
MD= Wz
2.4 ×106 × 32
3.14
×
60
3
⎡ ⎢1
−
⎜⎛
45
⎟⎞4
⎤ ⎥
⎢⎣ ⎝ 60 ⎠ ⎥⎦
bI z
=
3FS 2bh
⎜⎜⎝⎛
1
−
4y2 h2
⎟⎟⎠⎞
☻切应力沿高度呈抛物线分布，上、下边缘点 为零，中性轴上最大。
最大切应力
τ max
=
3Fs 2bh
2、工字形截面梁
F
q
M
M
M+dM
x dx
Fs
Fs
dx
假设：①切应力沿厚度均匀分布。 ②切应力与截面周边相切。
腹板
翼缘
δ
d
zh
δ
by
FN∗ 2
dFs′ FN∗1
2
=
35mm
30
30 z1
50 z
30
②求截面对形心轴的惯性矩Iz
Iz
=
⎜⎜⎝⎛
100 × 303 12
+ 100 × 30 × 202 ⎟⎟⎠⎞ +
⎜⎜⎝⎛
30 × 503 12
+
30 × 50 × 202
⎟⎟⎠⎞ × 2
= 32.5 × 105 mm 4
③求弯曲截面系数Wz
Wz
=
Iz ymax
= 32.5 × 105 = 7.22 ×104 mm 3 45
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对
中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
9kN
8kN/m
80 20
A
B
CD
1m
FA
1m 1m
FC
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。
正应力公式
σ
=
Myy E
I zρ
公式适用范围：
1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。
2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。
思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
σ max
=
Mymax Iz
纯弯曲：梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。
F 剪弯 纯弯
a
F
l
﹣ 剪力弯曲：梁段内剪力 （Fs）
不为零的弯曲称为剪力
F
弯曲。（也称横力弯 曲）
（M）
Fa
﹣
剪弯 F
a
F F
﹢
Fa
纯弯曲时正应力研究方法
几何关系
适
用 条
物理关系
件
静力学关系
应变规律 应力规律 应力公式
工程中
σ = M( x )y Iz
三、弯曲正应力强度条件
最大正应力在横截面上、下边缘点处，且该 点切应力为零。若忽略挤压应力，则该点处于单 向应力状态。
强 度 条
[ ] σt max ≤ σt [ ] σcmax ≤ σc
应变分布规律：
M
M
取微段dx研究
y——纵向对称轴
dx
z——中性轴
z x dx y
中性层 m
Α m
dθ ρ
n
dx
z ×y x
Β
Β1 n
y
距中性轴为y的一层纤维的伸长量
Δ( dx ) = ( ρ + y )dθ − ρdθ
线应变
ε = ( ρ + y )dθ − ρdθ = y
dx
ρ
☻结论：横截面上任意点 的线应变与点到中性层的 距离成正比。
平板平放 Wz = 3 ×104 mm 3
槽形截面 Wz = 7.22 ×104 mm 3
3、确定许可载荷
平板平放
M max
=
q 8
≤ Wz [σ]
[q1 ] = 8Wz [σ]= 8× 3×104 ×10×10−6 = 2.4 kN m
槽形截面
[q2 ] = 8Wz [σ]= 8× 7.22×104 ×10×10−6= 5.78 kN m
= 165.6MPa < [σ]
梁满足正应力强度条件
4、AD段下侧的变形量
12kN
8kN
6kN
A
B dx
0.4m 0.8m
C DE 0.2m 0.4m
2.4kNm
（M）
3.2kNm
Δl
=
∫ld(Δl ) =
∫l εdx
=
∫l
σ E
dx
=
∫l
M EW z
dx
Δl
=
⎜⎛ ⎝
3.2
× 2
0.4
+
3.2
× 2
等直梁
[σt ] = [σc ]
[ ] σmax
=
M max Wz
≤
σ
件
强度校核
三类强度计算 设计截面
确定许可载荷
例题：两端铰支的木板梁，受均布载荷作用。木板 长1m，宽200mm，厚30mm，木材的许用拉应力 [σ]=10MPa。试求当木板平放和胶结成槽形时的许可 载荷[q]。
q
30
30
50
中，该处应以圆弧连接。
☻翼缘主要承担弯矩，腹板主要承担剪力。
3、薄壁圆截面梁
薄壁 r0 ≥ 10δ 假设：①切应力沿壁厚均布。
②切应力方向与圆周相切。
τ
=
Fs
S
∗ z
2δI z
S∗ z max
=
2 3 ( r0
+
δ 2
)3−
2 3 ( r0
−
δ 2
)3
≈
2r02δ
Iz
=
π 4
( r0
+
δ 2
)4
−
Iz ——横截面对中性轴的惯性矩
讨论： 切应力分布规律
S
∗ z
=
b(
h 2
−
y
) ⎢⎣⎡⎢⎣⎡y12+τ⎜⎝⎛
h1 2=
⎜⎝⎛+Fbh2syIS−⎟⎠⎞z z∗⎥⎦⎤y
⎟⎞ ⎠
⎤ ⎥ ⎦
== b2b8h⎜⎜⎝⎛ 2h4⎜⎜⎝⎛21−−y42hy⎟⎟⎠⎞22 ⎟⎟⎠⎞
h/2
y h/2
b
τ
=
Fs
S
∗ z
解： 1、求约束反力
z 120 88
20
∑ M A = 0 FC = 14.5kN ∑ Fy = 0 FA = 2.5kN
9kN
8kN/m
A
B
CD
1m
2.5kN
1m 1m
14.5kN
4kNm
80 20
z 120 88
20
（M）
2.5kNm
2、确定危险截面及弯矩
危险截面为B、C截面
M B = 2.5kNm
50
A
B
M
M
问题分析
边缘点
σ max
=
M Wz
单向应力
ε max
=
σ max E
匀
均
形
变
Δl = εmax l AB
50
A
B
M
75 M
200 9 19.5
z
解： 查表知20号槽钢的几何尺寸如图示
截面对形心轴的惯性矩 Iz = 143.6cm4
Δl = εmax l AB
= σ max E
l AB
=
中性层 m
Α m
dθ ρ
n
dx
z ×y x
Β
Β1 n
y
2、物理关系
若材料在线弹性范围内，且拉压弹性模量相同。
σ = Eε = E y ρ
☻结论：横截面上任意点的正应力与点到中性轴的 距离成正比。
正应力在上、下边缘点处
最大，中性轴上为零。 z
待解决问题：
中性轴位置；
中性层的曲率半径。
y
3、静力学关系
MC = −4kNm
9kN
8kN/m
A
B
CD
1m
2.5kN
1m 1m
14.5kN
80 b
20
z 120 88
a 20
Iz = 763 × 106 mm 4 M B = 2.5kNm MC = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算
C截面a点 C截面b点
σc
=
My1 Iz
=
4×106 × 88 763 ×104
∫ FN∗1 = A∗ σ1dA ∫ FN∗2 = A∗ σ 2dA
dFs′ = τ′ddx
腹板
τ
=
Fs
S
∗ z
dI z
d z
by
δ
h τmax
δτmin
S
∗ z
=
d(
h 2
−
y
)
⎡1
⎢ ⎣
2
⎜⎛ ⎝
h 2
+
y ⎟⎠⎞⎥⎦⎤
+
bδ(
h 2
+
δ 2
)
=
d 2
⎜⎜⎝⎛
h2 4
−
y2
⎟⎟⎠⎞
+
bδ 2
(h+
0.8
−
2.4 × 2
0.2
⎟⎞ ⎠
×
106 × 32 = 200 × 3.14 × 603
0.40mm
§5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 一、梁横截面上的切应力
研究对象：对称弯曲梁 研究方法：局部平衡
1、矩形截面梁 假设：①横截面上各点的切应力与剪力方向相同。
②切应力沿截面宽度均匀分布。
δ
)
中性轴上
τ max
=
Fs
S
∗ z max
dI z
轧制型钢
( ) τmax
=
d
Fs
Iz
S
∗ z
翼缘
腹板
δ
d
zh
δ
by
FN∗ 2
翼缘 说明：
FN∗ 1
dFs′
FN∗ 2
τ
=
Fs
S
∗ z
δI z
FN∗ 1 dFs′
☻腹板上切应力的合力约占总剪力的95%。
☻翼缘上还有竖直切应力，由于很小忽略不计。
☻腹板与翼缘交界处的应力较复杂，为避免应力集
=
46.1MPa
<
[σc ]
σt
=
My2 Iz
=
4×106 × 52 763 ×104
=
27.7MPa < [σt ]
B截面a点
σt
=
My1 Iz
=
2.5×106 × 88 763 × 104
=
28.8MPa
<
Hale Waihona Puke Baidu
[σt ]
梁满足强度条件
☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
第五章 弯曲应力
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件 §5-2 梁横截面上的切应力及切应力强度条件 §5-3 梁的合理设计 §5-4 非对称梁的弯曲＊
§5-1 梁横截面上的正应力及正应力强度条件
研究对象：对称弯曲梁
Fq
M
纵向对称面
轴线
对称轴
梁的内力 剪力Fs 弯矩M
切应力τ 正应力σ
一、梁纯弯曲时横截面上的正应力
π 4
( r0
−
δ 2
)4 ≈
πr03δ
τ max
=
Fs
S
∗ z max
2δI Z
==
2FFs s πr0Aδ
FN∗ 1
Fs
δ
r0 z
dFs′
dFs′
FN∗ 2
4、圆截面梁
切应力特点：
①同一高度上各点切应力大小不同，作用线交于
一点。
②同一高度上各点切应力沿y轴分量相等。
F
q
M
x dx
取微段研究
M
M+dM
Fs
Fs
σ1
dx
y
dFs′
σ2
FN∗1 τ′ τ
FN∗ 2
b dx
∫ ∫ FN∗1 =
A∗ σ1dA =
My dA
I A∗ z
∫ ∫ ( ) FN∗2 =
A∗ σ 2dA =
A∗
M + dM Iz
y dA
平衡
dFs′ = τ′bdx FN∗1 + dFs′ = FN∗ 2
1、几何关系
实验现象： ☻横向线仍为直线， 但相对转过了一个角 度； ☻纵向线变成曲线， 一侧伸长，一侧缩 短，中间有一层长度 不变； ☻变形后的纵向线和 横向线仍保持正交。
M
M
中性层
中性轴
假设： ☻变形后的横截面仍保持为平面，且仍与轴线正 交。——平面假设 ☻梁内各纵向“纤维”只受轴向拉（压）力，相互之 间无挤压。——单向受力假设 ☻材料拉、压弹性模量相同
=M Wz
Wz
=
Iz ymax
——弯曲截面系数
常用截面的抗弯截面系数
h
z
b
Iz
bh3 12
Wz
bh2 6
d
z
πd 4 64
πd 3 32
Dz
α=d D
πD4 ( 1 − α4 ) 64 πD3 ( 1 − α4 ) 32
二、剪力弯曲时横截面上的正应力
剪力弯曲的特点： 由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲； 纵向纤维之间可能存在挤压。
应力应满足以下三式
∫A σdA = 0 ∫AσzdA = 0
∫AσydA = M
∫A σdA = 0
E ρ
∫A
ydA
=
0
∫AσzdA = 0 ∫AσydA = 0
E ρ
∫A
yzdA
=
0
∫E
ρ
y2dA= M
A
M z x
dA dF y dF=σdΑ
z轴为形心轴
y为对称轴，满足
1= M ρ EI z
1= M ρ EI z
12kN
8kN
6kN
A
B
0.4m FA
0.8m
解： 1、求约束反力
C DE
0.2m 0.4m FD
∑ M A = 0 FD = 18kN
∑ Fy = 0 FA = 8kN
12kN
8kN
6kN
A
B
0.4m 8kN
0.8m
C DE 0.2m 0.4m
18kN
2.4kNm
（M）
3.2kNm
2、确定危险截面及弯矩
1m
200
30 30
解： 1、确定危险截面及相应的弯矩
危险截面在跨中
M max
=
q 8
( kNm
)
2、确定截面的弯曲截面系数
平板平放
Wz
=
bh2 6
=
320×01×043m02m 3 6
槽形截面
30 200
①取参考轴z1如图，确定形心
35
yc
=
30×100×15 + 30× 50× 55× 200 × 30
∫ τ′bdx = dM ydA I A∗ z
∫ τ′bdx = dM ydA I A∗ z
∫ τ′ =
1 bI z
ddFMxs
S
∗ zA∗
ydA
τ
=
Fs
S
∗ z
bI z
dFs′
FN∗1 τ′ τ
FN∗ 2
b dx
Fs ——所求横截面上的剪力
S
∗ z
——横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩
b ——横截面的宽度
My A EI z
l AB
M = EI z Δl = 200 ×143.6 ×104 × 27 × 10−3
y Al AB
19.5× 50
= 7.95 ×103 kNmm = 7.95kNm
练习题：外伸梁受力如图所示，AD段为实心圆截 面，直径D=60mm，DE段为空心圆截面，外径 D=60mm，内径d=45mm。已知材料的许用正应力 [σ]=170MPa，弹性模量E=200GPa。试校核梁的正 应力强度并确定AD段下边缘的变形量。
危险截面为B、D截面
M B = 3.2kNm
M D = −2.4kNm
3、校核强度
B截面
σ max
=
MB Wz
=
3.2×106 × 32 3.14× 603
=
150.9MPa
<
[σ]
D截面
σ max
=
MD= Wz
2.4 ×106 × 32
3.14
×
60
3
⎡ ⎢1
−
⎜⎛
45
⎟⎞4
⎤ ⎥
⎢⎣ ⎝ 60 ⎠ ⎥⎦
bI z
=
3FS 2bh
⎜⎜⎝⎛
1
−
4y2 h2
⎟⎟⎠⎞
☻切应力沿高度呈抛物线分布，上、下边缘点 为零，中性轴上最大。
最大切应力
τ max
=
3Fs 2bh
2、工字形截面梁
F
q
M
M
M+dM
x dx
Fs
Fs
dx
假设：①切应力沿厚度均匀分布。 ②切应力与截面周边相切。
腹板
翼缘
δ
d
zh
δ
by
FN∗ 2
dFs′ FN∗1
2
=
35mm
30
30 z1
50 z
30
②求截面对形心轴的惯性矩Iz
Iz
=
⎜⎜⎝⎛
100 × 303 12
+ 100 × 30 × 202 ⎟⎟⎠⎞ +
⎜⎜⎝⎛
30 × 503 12
+
30 × 50 × 202
⎟⎟⎠⎞ × 2
= 32.5 × 105 mm 4
③求弯曲截面系数Wz
Wz
=
Iz ymax
= 32.5 × 105 = 7.22 ×104 mm 3 45
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对
中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
9kN
8kN/m
80 20
A
B
CD
1m
FA
1m 1m
FC
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。
正应力公式
σ
=
Myy E
I zρ
公式适用范围：
1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。
2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。
思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
σ max
=
Mymax Iz
纯弯曲：梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。
F 剪弯 纯弯
a
F
l
﹣ 剪力弯曲：梁段内剪力 （Fs）
不为零的弯曲称为剪力
F
弯曲。（也称横力弯 曲）
（M）
Fa
﹣
剪弯 F
a
F F
﹢
Fa
纯弯曲时正应力研究方法
几何关系
适
用 条
物理关系
件
静力学关系
应变规律 应力规律 应力公式