分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
∴函数 在 上单调递增，
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
（Ⅲ）当 时， ．
由题意得 在 时恒成立，
∴ 在 时恒成立．
令 ，
则有 ，
∵范围为 ．
例2.一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子 在滑槽AB内作往复运动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线记为 ．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的值域；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由函数为奇函数可得 ，即 ，可得 ．（Ⅱ）分离常数可得 ，故函数为增函数，再由 ，可得 ，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得 在 时恒成立，令 ，则有 ，根据函数 的单调性可得函数的最大值，从而可得实数 的取值范围
2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题
例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题可知：恒成立，即恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以，所以M的最小值是
例6.已知数列的前项和为，且．
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.
又由 可得 ；同理可得 .
由原点 到直线 的距离为 和 ，可得
.②
将①代入②得， .
当 时， ；
当 时， .
因 ，则 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号.
所以当 时， 的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时， 的面积取得最小值8.
1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性
1分离常数法
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.
1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ， ， ， 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只有一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在最小值8.
【解析】（Ⅰ）设点 ， ，依题意，
，且 ，所以 ，且 即 且 由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于0，于是 ，故 ，代入 ，可得 ，即所求的曲线 的方程为
方法四 分离（常数）参数法
分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
例3.已知函数，判断函数的单调性.
【答案】当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
【解析】由已知有，，∴当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A.0B.－2C.－D.－3
【答案】C
2分离参数法
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
∴函数 在 上单调递增，
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
（Ⅲ）当 时， ．
由题意得 在 时恒成立，
∴ 在 时恒成立．
令 ，
则有 ，
∵范围为 ．
例2.一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子 在滑槽AB内作往复运动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线记为 ．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的值域；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由函数为奇函数可得 ，即 ，可得 ．（Ⅱ）分离常数可得 ，故函数为增函数，再由 ，可得 ，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得 在 时恒成立，令 ，则有 ，根据函数 的单调性可得函数的最大值，从而可得实数 的取值范围
2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题
例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题可知：恒成立，即恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以，所以M的最小值是
例6.已知数列的前项和为，且．
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.
又由 可得 ；同理可得 .
由原点 到直线 的距离为 和 ，可得
.②
将①代入②得， .
当 时， ；
当 时， .
因 ，则 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号.
所以当 时， 的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时， 的面积取得最小值8.
1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性
1分离常数法
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.
1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ， ， ， 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只有一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在最小值8.
【解析】（Ⅰ）设点 ， ，依题意，
，且 ，所以 ，且 即 且 由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于0，于是 ，故 ，代入 ，可得 ，即所求的曲线 的方程为
方法四 分离（常数）参数法
分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
例3.已知函数，判断函数的单调性.
【答案】当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
【解析】由已知有，，∴当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A.0B.－2C.－D.－3
【答案】C
2分离参数法