积分例题

2
x + (1 + x ) 1+ x + x dx dx = ∫ 解 ∫ 2 2 x (1 + x ) x (1 + x )
2
2
1 1 1 1 dx + ∫ dx = ∫ + dx= ∫ 2 2 1+ x x x 1+ x
= arctan x + ln x + C .
dx (3) = ln x + C ; 提示： 提示： ∫ x
x
x
3 2 )dx . − 例5 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1− x
3 2 解 ∫( )dx 2 − 2 1+ x 1− x
1 1 dx − 2 ∫ dx = 3∫ 2 2 1+ x 1− x = 3 arctan x − 2 arcsin x + C
1+ x + x dx . 例6 求积分 ∫ 2 x (1 + x )
积分常数的确定 例1. 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
因此所求曲线为 y = x2 +1
x
2 例2 求积分 ∫ x xdx .
解
dx 2 (9) ∫ 2 = ∫ csc xdx = − cot x + C ; sin x
1.∫ (e − 3cos x )dx = ∫ e dx − 3 ∫ cos xdx
x
x
= e + sin x
x
+C
2.∫ 2 e dx = ∫ (2e ) dx
x x x
(2e ) (2e ) +C = +C= ln 2 + 1 ln(2e )
1 + 2x dx . 例7 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x ) 2 2 2 1 + 2x 1+ x + x 解 ∫ 2 dx = ∫ 2 dx 2 2 x (1 + x ) x (1 + x )
2
1 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x 1 = − + arctan x + C . x
1 + 2x dx . 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
2
解
1 + 2x 1 + x2 + x2 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ x2(1+ x2 )dx
2
1 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x 1 = − + arctan x + C . x
例1 求 ∫ x dx .
例1、求曲线 、 x轴所围成的图形面积。 轴所围成的图形面积。 轴所围成的图形面积
2π 2π y = sinx x ∈[0, ]与直线 x = 0, x = , 3 3
略解： 略解：根据定积分的 几何意义所求面积为
S＝
∫
2π 3 0
sin xdx = − cos x
2π | o3
3 = 2
y′ = 2x,
y = ∫ 2xdx = x 2 + C,
由曲线通过点（ ， ） 由曲线通过点（1，2）⇒ C = 1,
y = x 2 + 1. 所求曲线方程为
3.基本积分公式 基本积分公式
基 (1) 本 (2) 积 分 ( 3) 表
x ∫ x dx = µ + 1 + C (µ ≠ −1);
µ
∫ kdx = kx ++C µ 1
5
x x 5 5 解 Q = x , ∴ x dx = + C. ∫ 6 6
6
′
6
1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x ′ 解 Q (arctan x ) =
1 , 2 1+ x
1 ∴ ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x
设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的 例3 设曲线通过点 切线斜率等于这点横坐标的两倍, 切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线 方程. 方程 解 设曲线方程为 y = f ( x ), dy 根据题意知 = 2x , dx 的一个原函数. 即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数. 2 2 Q ∫ 2 xdx = x + C , ∴ f ( x ) = x + C , 由曲线通过点（ 由曲线通过点（1，2）⇒ C = 1, 2 所求曲线方程为 y = x∫ 2dx = ∫ x dx = x + C = − + C. − 2 +1 x x
1
−2
例5 计算下列积分
d x (1)∫ 2 x.
解 (1)
x
(2 )
d x ∫ (2) x.
x
1
(3 )
d x ∫ e x.
2 ∫ 2 d x = ln2 + C
1 x 1 1 x 1 1 x ( ) +C = ( ) +C (2) ∫ ( ) d x = 1 2 2 −ln2 2 ln 2 ex d xe (3) ∫ x = + C.
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1− x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;
(7)
( 8)
∫ sin xdx = − cos x + C ; dx = ∫ sec2 xdx = tan x + C ; ∫ cos 2 x
(1)
∫ [f (x) ± g(x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
∫ af (x)dx =a∫ f (x)dx
3 2 )dx . − 例 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1− x 3 2 解 ∫( )dx 2 − 2 1+ x 1− x 1 1 dx − 2 ∫ dx = 3∫ 2 2 1+ x 1− x = 3 arctan x − 2 arcsin x + C
是常数); ( k是常数
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1− x
dx ∫ x = ln | x | + C;
4.不定积分的性质 不定积分的性质 由不定积分的定义，可知有如下性质1 由不定积分的定义，可知有如下性质 性质
y = F ( x) + C ； 4 、由 F ' ( x ) = f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y = F ( x ) + C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______ ______的 处作切线，这些切线彼此是______的； 在某区间上______ ______， 5 、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在； 原函数一定存在；
dx (3) ∫ = ln x + C ; x
dx 说明： 说明： x > 0, ⇒ ∫ = ln x + C , x 1 1 x < 0, [ln( − x )]′ = ( − x )′ = , x −x dx dx = ln | x | + C , ⇒ ∫ = ln( − x ) + C , ∴ ∫ x x
( 2) a ≠ 0
填空题： 一 、填空题： 一个已知的函数， ______个原函数 个原函数， 1 、一个已知的函数 ，有______ 个原函数 ，其中任意 两个的差是一个______ ______； 两个的差是一个______； 2 、 f ( x ) 的________称为 f ( x ) 的不定积分； ________称为 的不定积分； 3 、把 f ( x ) 的一个原函数 F ( x ) 的图形叫做函数 f ( x ) ________， 的________，它的方程是 y = F ( x ) ，这样不定积 在几何上就表示________ ________， ∫ f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是
例4 计算下列积分
1 1 (1)∫ xdx. (2)∫ dx. (3)∫ 2dx. x x 1 1 1+1 3 4 解 (1)∫ 3 xdx = ∫ x3 dx = x3 + C = x3 + C. 1 4 +1 3
3
1 1 1−1 1 − (2)∫ dx = ∫ x 2 dx = x 2 + C = 2 x + C. 1 x 1−
6
′
1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x 解 Q (arctan x )′ =
1 dx = arctan x + C . ∴ ∫ 2 1+ x
1 , 2 1+ x
设曲线通过点（ ， ）， ），且其上任一点处的 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解 设曲线方程为 y = f ( x ), 根据题意知
(1 − x ) 2 dx = =____________________ . 10、 =____________________ 10 、 ∫ x
练习题答案
无穷多,常数； 2、全体原函数； 一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 5 3 2 2 2 −2 7、 6、 6、 x + C ； 7、 − x + C ； 5 3 x3 3 2 8、 − x + 2 x + C ； 3 2 5 3 x3 2 2 2 2 9、 + x − x − x + C 、 3 5 3 3 5 4 2 2 2 10、 10、2 x − x + x + C . 3 5
求积分∫(1+x3)2dx。 例 求积分 。 解
(1 + x ) dx = ∫ (1 + 2 x 3 + x 6 )dx ∫
3
2
= ∫ dx + ∫ 2 x 3 dx + ∫ x 6 dx
1 4 1 7 = x+ x + x +C + 2 4x 7
一般几个不定积分相加时， 一般几个不定积分相加时， 常把得到的常数加到一起写 成一个常数C 成一个常数 。
练习题
_____________________ ___________ 6 、∫ x xdx = ______________________； dx _______________________ __________； 7 、∫ 2 = _______________________； x x _________________ _______； 8 、∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx = _________________； _____________ ________； 9 、∫ ( x + 1)( x 3 − 1)dx = _____________；
∫ 9 、∫ (
_____________ ________； x + 1)( x 3 − 1)dx = _____________；
(1 − x ) 2 dx = =____________________ . 10、 =____________________ 10 、 ∫ x
3 2 5 3 3 x 2 2 2 2 答案： 答案： 9、 + x − x − x + C 、 3 5 3 3 5 4 2 2 2 10、 10、 2 x − x + x + C . 3 5
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
xµ+1 xµdx = +C 根据积分公式（ ） 根据积分公式（2）∫ µ +1
x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 2
5 +1 2
例1 求 ∫ x 5dx .
6 x x 5 5 解 Q = x , ∴ ∫ x dx = + C. 6 6