5-1线性相位FIR滤波器的特点
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n=0 N−3 2
+
h(n)e− jωn ∑
n= N+ 1 2 1 N− − jω 2
wenku.baidu.com
N− 1
[
− jω n
+e
− jω( N− −n) 1
]
N −1 +h e 2
− N2 3 1 1 N− N− jω n− − jω n− N −1 jω 2 2 H(e ) = e h +e ) +h ∑ (n)(e 2 n=0 N−3 1 N− − jω 2 N −1 N −1 2 =e 2 +h ∑ h(n) cosωn− 2 2 n=0 1 N− − jω 2
H(ω) -幅度函数(可正可负)
Φ(ω) -相位函数
线性相位： 线性相位：一个系统的相位函数是频率的线性函数
Φ(ω) =− αω
dΦ ω) ( τ =－ =α dω
或
Φ(ω) = β −αω
(常 数 与 无 ） 系 ， ω 关
代入：
Φ(ω) =− αω
jΦ(ω)
H( e
jω
) = H(ω) e
= H(ω) e
偶对称
根据
h(n)奇偶对称
N为奇偶 分四种情 况讨论
奇对称
N-1
N为偶 为偶
N为奇 为奇
偶对称， 为奇数 第一类 h(n)偶对称，N为奇数
He
( ) = ∑h(n)e
jω 1 N− n=0 N−3 2
− jω n
h(n) = h(N −1−n)
1 N− − jω 2
N −1 − jω n h = ∑ (n)e +h e 2 n=0 = ∑ (n) e h
线性相位的两种情况 1) 无附加相位
Φ ω) =− ( αω
N −1 α= 2 h( n) = h( N −1−n) 0 ≤ n ≤ N −1
2) 有附加相位
β
Φ(ω) = β −αω
N −1 π α= β =± 2 2 h( n) =−h( N −1−n) 0 ≤ n ≤ N −1
线 相 系 的 分 件 性 位 统 充 条 ： (1 h(n)是 数 ) 实 (2)h(n)满 偶 称h(n) = h(N −1−n 奇 称h(n) =−h(N −1−n) 足 对 ） 对
Φ( ω)
其 称 心 = 对 中 α
N −1 2
Φ( ω)
π
有固定 相移
0
2 π
ω
−
0
2 π
ω
2
−(N −1 π )
5.1 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点
FIRD 的 分 程 述 F 差 方 描 ：
N− 1 i=0
y(n) = ∑ax(n−i) i
i=0
N−1
对 的 统 数 应 系 函 为 H(z) = ∑ i z−i a , a n = 0,L N −1 单 抽 响 是 h(n) = Z−1[H(z)] = n 位 样 应 其 的 余 n 0 则 H(z) = ∑ (n)z−n h
∑h(n)sin[(α −n)ω] = 0
n=0
N− 1
满足上式的条件是
N −1 α= 2 h( n) = h( N −1−n)
①
0 ≤ n ≤ N −1
N −1
②
①式表明对于任何N值可以获得相位延迟为α = 的线 2 性相位特性； α 也为单位脉冲响应的中点 ②式表明 h(n) 必须以此中点呈偶对称
(1 恒 时 ， - 附 相 ) 群 延 有 加 移 2 N −1 相 曲 是 距 - ， 率 − 位 线 截 为 斜 为 的 线 直 2 2 (2)sin(n )在 ＝， ， 处 为 ， 对 些 呈 对 ， ω ω 0 π 2π 都 0 并 这 点 奇 称 因 H(ω)对 ＝， ， 呈 对 ， 即 (z)在z =±1 都 零 此 处 有 点 ω 0 π 2π 奇 称 也 H
N −1 由于 h +m与 m 对 ±m呈 对 sin ω 于 奇 称 2
H(ω) =
(N− )/ 2 1
∑
m1 =
N −1 2h +msi m n ω 2
推 得 导 ： H3(ω) =
(N− 2 1) n=0
∑ c(n)sinωn
特 ： 点
N −1 c(n) = 2h( −n) 2 π N −1 Φ (ω) =− − ω 3 2 2
]
N −1 ∑2h(n)sinωn− 2 n=0
N −1 H(ω) = ∑2h(n)sin ω(n− [ )] 2 n=0
令
m= n − N −1 ，得： 2
− 1 N− 2
N−3 2
N −1 H(ω) = ∑ 2h +msinm ω 2 m=−1
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
1. IIR滤波器的优缺点： 滤波器的优缺点： 滤波器的优缺点
优点：可以利用模拟滤波器设计的结果， 优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设 计有大量图表可查， 计有大量图表可查，方便简单 缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位， 缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位， 则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂， 则要采用全通网络进行相位校正 使滤波器设计变得复杂，成 使滤波器设计变得复杂 本也高
n=0 N− 1
特点： 系统而言， 特点：对FIR系统而言，冲激响应就是系统函数的系数 系统而言
5.1 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点
学习三个内容 ①什么是线性相位 ②满足什么样条件的数字滤波器才是线性相位FIR ③怎样设计一个线性相位FIR，需满足哪些约束条件 线性相位条件 线性相位FIR DF 的特性 幅度特性 零点特性
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
2. FIR滤波器的优点： 滤波器的优点： 滤波器的优点
FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时 ， 很 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时， 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时 容易做到有严格的线性相位特性 滤波器单位冲激响应h(n)长度为 ， 其系统函数 长度为N， 设 FIR滤波器单位冲激响应 滤波器单位冲激响应 长度为 H(z)为： 为 N− 1
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
4. 本章要讨论的内容
1). 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点 2).具有线性相位 具有线性相位FIR滤波器，设计方法有： 滤波器， 具有线性相位 滤波器 设计方法有： 窗口设计法 频率采样设计法 计算机辅助设计法 注意：并非所有的 系统都是线性相位的， 注意：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有满足一定条件时 系统都是线性相位的 才具有线性相位 经以上分析，我们最感兴趣的是具有线性相位的 滤波器， 经以上分析，我们最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器， 滤波器 对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用 滤波器， 滤波器来代替， 对非线性相位的 滤波器 一般可以用IIR滤波器来代替，同样的 滤波器来代替 幅度特性， 滤波器所需阶数比 滤波器所需阶数比FIR滤波器的阶数要少得多，因此 滤波器的阶数要少得多， 幅度特性，IIR滤波器所需阶数比 滤波器的阶数要少得多 此处不去讨论
H ejω ＝ (ω)eΦ(ω) H
N −1 N −1 (N−3)/ 2 H(ω) = h + ∑ 2h(n)cosωn− 2 2 n=0
( )
N −1 Φ(ω) =− ω 2
变量 代换
令
，则
N −1 H(ω) = h + 2
N −1 )必 为 须 0 2
H ejω = ∑ (n)e− jωn + h
N−3 2 n=0
( )
h(n)e− jωn ∑
n= N+ 1 2
= ∑ (n) e− jωn −e− jω( N−1−n) h =e
N−3 N− π 1 2 − j ω + 2 2
[
由于 这些频率也呈偶对称
推 式 H (ω) = 导 1
( N− ) 2 1 n=0
∑a(n)cos(nω)
N −1 ω 2
Φ (ω) = − 1
N −1 N −1 a(0) = h( ) a(n) = 2h( −n) 2 2
特 ： 点 () 1 恒 时 ， 位 线 原 相 延 相 曲 过 点 2) h(n)可 活 计 度 数 零 位 由 ( 灵 设 幅 函 的 点 置 3)幅 函 H(ω)对 ＝， , 2 成 对 度 数 ( ω 0 π π 偶 称
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
3. 为何要设计 为何要设计FIR滤波器？ 滤波器？ 滤波器 （1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相 ）语音处理， 任意幅度（即要求信道具有线性相位特性） 位，任意幅度（即要求信道具有线性相位特性），而 FIR数字滤波器具有严格的线性相位 FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以 数字滤波器具有严格的线性相位， 具有任意的幅度特性 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的， （2) FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的 而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时， 而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非 因果有限长序列都变成因果的有限序列 可以用FFT算法来实现过滤信号 （3) FIR可以用 可以用 算法来实现过滤信号
−(N −0.5)π
图1 线性相位特性 这种使所有频率的相移皆为 900 的网络，称为 900 移相器，或称正交 的网络， 移相器，或称正交 变换网络，它和理想低通滤波器、理想微分器一样， 变换网络，它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的 理论和实际意义
h(n) 偶对称
h(n) 奇对称
§ 5.1.2 幅度特性 H(ω)
ω 偶 称 对 奇 称 (2)H(ω)对 = 0成 对 ， ω =π成 对
即 (z)在 =−1 必 有 个 点 H z 处 然 一 零
不可以设计高通，带阻，可以设计低通， 不可以设计高通，带阻，可以设计低通，带通
第三类
奇对称， 为奇数 h(n)奇对称，N为奇数
h(n)的 间 h( 中 项
N−3 2 n=0 N− 1
§ 5.1.1 FIR数字滤波器线性相位的条件 数字滤波器线性相位的条件 由FIR数字滤波器的系统函数 H(z) = ∑h(n)z−n
N− 1 n=0
系 频 统 响
N− 1 n=0
幅频特 性
H(ejω) = ∑ (n)e− jωn = H(ω)ejΦ(ω) =±| H(ejω )| ejΦ(ω) h
四种滤波器均可设计
第二类
偶对称， 为偶数 h(n)偶对称，N为偶数
N2
1 推 式 2(ω) = ∑ (n)cos[(n− )ω] 导 H b 2 n= 1 N b(n) = 2h( −n) 2 N −1 2(ω) = − Φ ω 2 特 ： 点
(1 恒 时 ， 位 线 原 ) 相 延 相 曲 过 点
(N− )/ 2 1
∑
m= 1
N −1 2h( +m cosω ) m 2
N −1 令 a(0) = h , 2
N −1 N −1 ,2, , a(n) = 2h +n, n =1 L 2 2
则
H(ω) =
N− / 2 1 n=0
∑a(n)cosnω
呈偶对称，因此 对
H(z) = ∑ (n)z−n h
n=0
H(z)是z-1 的 N-1次多项式， 它在 平面上有 是 次多项式， 平面上有N-1个零点， 个零点， 次多项式 它在z平面上有 个零点 原点z=0是N-1阶重极点。因此，H(z)永远稳定。 阶重极点。 永远稳定。 原点 是 阶重极点 因此， 永远稳定 稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点 滤波器突出的优点 稳定和线性相位特性是
− jω α
= ∑ ( n) e− jωn h
n=0
N− 1
式中 H(ω) 是正或负的实函数，等式中间和等式右边的实部与 虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
∑h(n)sin(ωn) sin(αω) = cos(αω) ∑h(n)cos(ωn)
n=0 N− 1 n=0
N− 1
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左 边，应用三角函数的恒等关系
+
h(n)e− jωn ∑
n= N+ 1 2 1 N− − jω 2
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N− 1
[
− jω n
+e
− jω( N− −n) 1
]
N −1 +h e 2
− N2 3 1 1 N− N− jω n− − jω n− N −1 jω 2 2 H(e ) = e h +e ) +h ∑ (n)(e 2 n=0 N−3 1 N− − jω 2 N −1 N −1 2 =e 2 +h ∑ h(n) cosωn− 2 2 n=0 1 N− − jω 2
H(ω) -幅度函数(可正可负)
Φ(ω) -相位函数
线性相位： 线性相位：一个系统的相位函数是频率的线性函数
Φ(ω) =− αω
dΦ ω) ( τ =－ =α dω
或
Φ(ω) = β −αω
(常 数 与 无 ） 系 ， ω 关
代入：
Φ(ω) =− αω
jΦ(ω)
H( e
jω
) = H(ω) e
= H(ω) e
偶对称
根据
h(n)奇偶对称
N为奇偶 分四种情 况讨论
奇对称
N-1
N为偶 为偶
N为奇 为奇
偶对称， 为奇数 第一类 h(n)偶对称，N为奇数
He
( ) = ∑h(n)e
jω 1 N− n=0 N−3 2
− jω n
h(n) = h(N −1−n)
1 N− − jω 2
N −1 − jω n h = ∑ (n)e +h e 2 n=0 = ∑ (n) e h
线性相位的两种情况 1) 无附加相位
Φ ω) =− ( αω
N −1 α= 2 h( n) = h( N −1−n) 0 ≤ n ≤ N −1
2) 有附加相位
β
Φ(ω) = β −αω
N −1 π α= β =± 2 2 h( n) =−h( N −1−n) 0 ≤ n ≤ N −1
线 相 系 的 分 件 性 位 统 充 条 ： (1 h(n)是 数 ) 实 (2)h(n)满 偶 称h(n) = h(N −1−n 奇 称h(n) =−h(N −1−n) 足 对 ） 对
Φ( ω)
其 称 心 = 对 中 α
N −1 2
Φ( ω)
π
有固定 相移
0
2 π
ω
−
0
2 π
ω
2
−(N −1 π )
5.1 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点
FIRD 的 分 程 述 F 差 方 描 ：
N− 1 i=0
y(n) = ∑ax(n−i) i
i=0
N−1
对 的 统 数 应 系 函 为 H(z) = ∑ i z−i a , a n = 0,L N −1 单 抽 响 是 h(n) = Z−1[H(z)] = n 位 样 应 其 的 余 n 0 则 H(z) = ∑ (n)z−n h
∑h(n)sin[(α −n)ω] = 0
n=0
N− 1
满足上式的条件是
N −1 α= 2 h( n) = h( N −1−n)
①
0 ≤ n ≤ N −1
N −1
②
①式表明对于任何N值可以获得相位延迟为α = 的线 2 性相位特性； α 也为单位脉冲响应的中点 ②式表明 h(n) 必须以此中点呈偶对称
(1 恒 时 ， - 附 相 ) 群 延 有 加 移 2 N −1 相 曲 是 距 - ， 率 − 位 线 截 为 斜 为 的 线 直 2 2 (2)sin(n )在 ＝， ， 处 为 ， 对 些 呈 对 ， ω ω 0 π 2π 都 0 并 这 点 奇 称 因 H(ω)对 ＝， ， 呈 对 ， 即 (z)在z =±1 都 零 此 处 有 点 ω 0 π 2π 奇 称 也 H
N −1 由于 h +m与 m 对 ±m呈 对 sin ω 于 奇 称 2
H(ω) =
(N− )/ 2 1
∑
m1 =
N −1 2h +msi m n ω 2
推 得 导 ： H3(ω) =
(N− 2 1) n=0
∑ c(n)sinωn
特 ： 点
N −1 c(n) = 2h( −n) 2 π N −1 Φ (ω) =− − ω 3 2 2
]
N −1 ∑2h(n)sinωn− 2 n=0
N −1 H(ω) = ∑2h(n)sin ω(n− [ )] 2 n=0
令
m= n − N −1 ，得： 2
− 1 N− 2
N−3 2
N −1 H(ω) = ∑ 2h +msinm ω 2 m=−1
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
1. IIR滤波器的优缺点： 滤波器的优缺点： 滤波器的优缺点
优点：可以利用模拟滤波器设计的结果， 优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设 计有大量图表可查， 计有大量图表可查，方便简单 缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位， 缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位， 则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂， 则要采用全通网络进行相位校正 使滤波器设计变得复杂，成 使滤波器设计变得复杂 本也高
n=0 N− 1
特点： 系统而言， 特点：对FIR系统而言，冲激响应就是系统函数的系数 系统而言
5.1 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点
学习三个内容 ①什么是线性相位 ②满足什么样条件的数字滤波器才是线性相位FIR ③怎样设计一个线性相位FIR，需满足哪些约束条件 线性相位条件 线性相位FIR DF 的特性 幅度特性 零点特性
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
2. FIR滤波器的优点： 滤波器的优点： 滤波器的优点
FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时 ， 很 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时， 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时 容易做到有严格的线性相位特性 滤波器单位冲激响应h(n)长度为 ， 其系统函数 长度为N， 设 FIR滤波器单位冲激响应 滤波器单位冲激响应 长度为 H(z)为： 为 N− 1
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
4. 本章要讨论的内容
1). 线性相位 线性相位FIR滤波器的特点 滤波器的特点 2).具有线性相位 具有线性相位FIR滤波器，设计方法有： 滤波器， 具有线性相位 滤波器 设计方法有： 窗口设计法 频率采样设计法 计算机辅助设计法 注意：并非所有的 系统都是线性相位的， 注意：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有满足一定条件时 系统都是线性相位的 才具有线性相位 经以上分析，我们最感兴趣的是具有线性相位的 滤波器， 经以上分析，我们最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器， 滤波器 对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用 滤波器， 滤波器来代替， 对非线性相位的 滤波器 一般可以用IIR滤波器来代替，同样的 滤波器来代替 幅度特性， 滤波器所需阶数比 滤波器所需阶数比FIR滤波器的阶数要少得多，因此 滤波器的阶数要少得多， 幅度特性，IIR滤波器所需阶数比 滤波器的阶数要少得多 此处不去讨论
H ejω ＝ (ω)eΦ(ω) H
N −1 N −1 (N−3)/ 2 H(ω) = h + ∑ 2h(n)cosωn− 2 2 n=0
( )
N −1 Φ(ω) =− ω 2
变量 代换
令
，则
N −1 H(ω) = h + 2
N −1 )必 为 须 0 2
H ejω = ∑ (n)e− jωn + h
N−3 2 n=0
( )
h(n)e− jωn ∑
n= N+ 1 2
= ∑ (n) e− jωn −e− jω( N−1−n) h =e
N−3 N− π 1 2 − j ω + 2 2
[
由于 这些频率也呈偶对称
推 式 H (ω) = 导 1
( N− ) 2 1 n=0
∑a(n)cos(nω)
N −1 ω 2
Φ (ω) = − 1
N −1 N −1 a(0) = h( ) a(n) = 2h( −n) 2 2
特 ： 点 () 1 恒 时 ， 位 线 原 相 延 相 曲 过 点 2) h(n)可 活 计 度 数 零 位 由 ( 灵 设 幅 函 的 点 置 3)幅 函 H(ω)对 ＝， , 2 成 对 度 数 ( ω 0 π π 偶 称
FIR数字滤波器的设计
§ 引言
3. 为何要设计 为何要设计FIR滤波器？ 滤波器？ 滤波器 （1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相 ）语音处理， 任意幅度（即要求信道具有线性相位特性） 位，任意幅度（即要求信道具有线性相位特性），而 FIR数字滤波器具有严格的线性相位 FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以 数字滤波器具有严格的线性相位， 具有任意的幅度特性 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的， （2) FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的 而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时， 而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非 因果有限长序列都变成因果的有限序列 可以用FFT算法来实现过滤信号 （3) FIR可以用 可以用 算法来实现过滤信号
−(N −0.5)π
图1 线性相位特性 这种使所有频率的相移皆为 900 的网络，称为 900 移相器，或称正交 的网络， 移相器，或称正交 变换网络，它和理想低通滤波器、理想微分器一样， 变换网络，它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的 理论和实际意义
h(n) 偶对称
h(n) 奇对称
§ 5.1.2 幅度特性 H(ω)
ω 偶 称 对 奇 称 (2)H(ω)对 = 0成 对 ， ω =π成 对
即 (z)在 =−1 必 有 个 点 H z 处 然 一 零
不可以设计高通，带阻，可以设计低通， 不可以设计高通，带阻，可以设计低通，带通
第三类
奇对称， 为奇数 h(n)奇对称，N为奇数
h(n)的 间 h( 中 项
N−3 2 n=0 N− 1
§ 5.1.1 FIR数字滤波器线性相位的条件 数字滤波器线性相位的条件 由FIR数字滤波器的系统函数 H(z) = ∑h(n)z−n
N− 1 n=0
系 频 统 响
N− 1 n=0
幅频特 性
H(ejω) = ∑ (n)e− jωn = H(ω)ejΦ(ω) =±| H(ejω )| ejΦ(ω) h
四种滤波器均可设计
第二类
偶对称， 为偶数 h(n)偶对称，N为偶数
N2
1 推 式 2(ω) = ∑ (n)cos[(n− )ω] 导 H b 2 n= 1 N b(n) = 2h( −n) 2 N −1 2(ω) = − Φ ω 2 特 ： 点
(1 恒 时 ， 位 线 原 ) 相 延 相 曲 过 点
(N− )/ 2 1
∑
m= 1
N −1 2h( +m cosω ) m 2
N −1 令 a(0) = h , 2
N −1 N −1 ,2, , a(n) = 2h +n, n =1 L 2 2
则
H(ω) =
N− / 2 1 n=0
∑a(n)cosnω
呈偶对称，因此 对
H(z) = ∑ (n)z−n h
n=0
H(z)是z-1 的 N-1次多项式， 它在 平面上有 是 次多项式， 平面上有N-1个零点， 个零点， 次多项式 它在z平面上有 个零点 原点z=0是N-1阶重极点。因此，H(z)永远稳定。 阶重极点。 永远稳定。 原点 是 阶重极点 因此， 永远稳定 稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点 滤波器突出的优点 稳定和线性相位特性是
− jω α
= ∑ ( n) e− jωn h
n=0
N− 1
式中 H(ω) 是正或负的实函数，等式中间和等式右边的实部与 虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
∑h(n)sin(ωn) sin(αω) = cos(αω) ∑h(n)cos(ωn)
n=0 N− 1 n=0
N− 1
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左 边，应用三角函数的恒等关系