方程思想在圆中的应用

方程思想在圆中的应用
方程思想是初中数学的重要思想方法，初中数学中有许多问题可以通过列方程、解方程的方法得到快速有效的解决。

在求圆中有关线段的长度问题时，需要运用方程思想来求解.下面我们通过几道例题来看一看方程思想在圆中的应用.
一、利用勾股定理列方程
例题1、如图，AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC//AD，BA、CD的延长线相交于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
【分析】本题考查了切线的判定与性质，掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．(1)首选连接OD，易证得△COD≌△COB(SAS)，然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为r，则OE=r+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】证明：(1)连接DO．
∵AD//OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO．
∴∠COD=∠COB．又∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≅△COB，∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥CB，即∠CBO=90∘．
∴∠CDO=90∘，即OD⊥CD.∴CD是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为r，则OD=r，OE=r+1．
∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO=90∘．
∴在Rt△EDO中，ED2+OD2=OE2．
∴32+r2=(r+1)2，解得r=4．
所以⊙O的半径为4.
本题第二问利用勾股定理在单个Rt△EDO列方程求出⊙O的半径，有时还会遇到在双Rt△利用勾股定理列方程.我们一起来看下面一道例题.
例题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
(1)求证：∠A=∠ADE;
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长．
【分析】本题考查圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形
的判定和性质等知识，综合性较强．
(1)只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问
题；
(2)首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2−202，可得x2+122=(x+ 16)2−202，解方程即可解决问题．
【解答】(1)证明：连接OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE =
90°，
∴∠ADE +∠BDO =90°，∵∠ACB =90°，∴∠A +∠B =
90°，
∵OD =OB ，∴∠B =∠BDO ，∴∠ADE =∠A ．
(2)解：连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，
∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，
∴EC 是⊙O 的切线， ∴ED =EC ，
∴AE =EC ，∵DE =10，∴AC =2DE =20，
在Rt △ADC 中，DC =√202−162=12，
设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC 中，BC 2=(x +16)2−202，
∴x 2+122=(x +16)2−202，
解得x =9，∴BC =√122+92=15．
本题第二问双直角三角形BDC 和ABC 有公共边BC ，分别用勾股定理表示出BC 的平方后列方程求解.
二、利用相似列方程
例题3、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF// BD ．
(1)求证：BE =CE ；
(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由；
(3)若BC =8，AD =10，求CD 的长．
【分析】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
(1)证明△ABD≌△ACD ，得到∠BAD =∠CAD ，根据等腰三角形的性质即可证明；
(2)菱形，证明△BFE≌△CDE ，得到BF =DC ，可知四边形BFCD 是平行四边形，易证BD =CD ，可证明结论；
(3)设DE =x ，则根据CE 2=DE ⋅AE 列方程求出DE ，再用勾股定理求出CD ．
【解答】(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD =∠ACD =90°，
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，{AB =AC AD =AD
,∴Rt △ABD≌Rt △ACD ， ∴∠BAD =∠CAD ，∵AB =AC ，∴BE =CE ；
(2)四边形BFCD 是菱形．
证明：∵AD 是直径，AB =AC ，∴AD ⊥BC ，BE =CE ，
∵CF//BD ，∴∠FCE =∠DBE ，
在△BED 和△CEF 中，
∴△BED≌△CEF ，∴CF =BD ，
∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD =∠CAD ，
∴BD =CD ，∴四边形BFCD 是菱形；
(3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE =CE ，
∵∠AEC =∠CED ，∠CAE =∠ECD ，∴△AEC∽△CED ，
∴AE
CD =EC
ED
，∴CE2=DE⋅AE，
设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x(10−x)，
解得：x=2或x=8(舍去)
在Rt△CED中，CD=√CE2+DE2=√42+22=2√5．
三、利用等面积法列方程
例题4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF//BC交AC于点E，交PC于
点F，连接AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系，并
说明理由；
(2)若⊙O的半径为8，AF=6，求
AC的长．
【分析】(1)AF为为圆O的切线，利
用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证；
(2)根据平行线的性质可知：OE垂直于AC，利用面积法列方程求出AE的长，即可确定出AC的长．
【解答】解：(1)AF为圆O的切线，理由是：
连接OC，
∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP=90°，
∵OF//BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，{OA=OC
∠AOF=∠COF OF=OF
，
∴△AOF≌△COF(SAS)，∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，OA为⊙O的半径，则AF为⊙O的切线；
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OF//BC∴∠AEO=∠ACB=90°∴AE=CE=1
2
AC，∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=8，AF=6，
根据勾股定理得：OF=10，设AE=x,
∴S△AOF=1
2×8×6=1
2
×10⋅x，∴AE=24
5
，
则AC=2AE=48
5
．
方程思想是非常重要的数学思想方法，在圆这一章中特别是在求有关线段长度的时候往往要用到方程思想。

平时教学过程中一定要向学生中渗透方程思想.。