08年826信号处理导论

北京理工大学

2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题

注：ω数字频率，Ω为模拟频率

一，（50分）简答题（本题包含10道小题，每题5分）

1. 已知连续时间信号)4(2)3()2()1(2)(---+-+-=t u t u t u t t x δ,画出)(t x 和)21(t x -的信号波形。

2. 已知系统输入)(t x 和输出)(t y 的关系：)](sin[)(t x t y =，试推断该系统是否为时不变系统。

3. 利用DFT 对一连续信号)(t x 进行频谱分析，抽样间隔3101.0-⨯=s T 秒，要求频率分辨率不大于10HZ 。确定所允许处理信号)(t x 的最高频率，最少取样点数（必须是2的整数次方）和最短记录时间各是多少？

4. 一个实系数差分方程描述的线性相位FIR 系统，已知中的3个零点分别为1，0.6，0.5+j0.5 。试问该系统的阶数至少是多少？

5. 已知一个理想低通数字滤波器的单位脉冲响应为)(n h ，频率

响应为)(jw e H ，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≤≤=πωππωω4

,04,1)(j e H

试问：)()1()(1n h n h n

-=是低通，高通，带通还是带阻滤波

器？画出它的幅频特性|)(|1jw e H 的图形。 6. 已知一个LTI 系统的输入)(t x 和输出)(t y 的关系：

ττd x T T t y T t T t ⎰+-+=21)(1)(2

1 其中是1T ，2T 非负实数，利用特征函数的概念求该系统的单位冲激响应)(t h ，并画

出其波形。 7. 已知连续时间实信号)(t x 的傅里叶变换为

)(ΩX ，证明：

)()(Ω-=ΩX X 和)(arg )(arg Ω--=ΩX X 8. 已知某LTI 系统的频率响应为：Ω

+Ω-=

Ωj j j H 11)(，判断该系统是否为无失真传输系统，说明其原因。 9. 计算离散时间序列)1(2)(+-=n u n x n 的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 。

10. 已知某系统的单位冲激响应)()(2t u e t h t -=，输入为)2()]2()()[()(-+--=t t u t u t f t x βδ 其中f(t)为t 的任意函数。

（1）求t>2时系统的输出y(t)；

（2）若要求系统在t>2的输出为零，试确定β的值。 二，（20分）解答如下问题：

（1） 求如下连续时间信号的傅里叶系数k c

)2sin()(01t f t x π= ， -∞

（2） 画出如下连续时间信号的幅度谱，并注明相关参数

⎩

⎨⎧=0)2sin()(02t f t x π 其它p t t ≤≤0 其中秒3105-⨯=p t ，HZ f 4000=

（3） 若对（1）中的信号)(1t x 均匀抽样，抽样时间间隔为3

10-=T 秒，由此得到的离散时间序列：)s i n ()2s i n ()(001Tn

f n x ωπ== 判断该序列是否为周期序列，若是，求其离散傅里叶系数)(1k X ，画出频谱

（4） 若对（2）中的信号)(2t x 均匀抽样，抽样间隔为310-=T 秒，

由此得到有限长离散时间序列)(2n x 。确定序列长度N ，并求其离散傅里叶变换)(2k X ：

（5） 给出（4）中DFT 的频率分辨率ω∆，以及对应的连续时

间信号)(2t x 的频率分辨率F 。

三，（20分）已知离散时间系统的差分方程为：

)2()1()2(2)1(3)(---=-+--n f n f n y n y n y

若2

1)1(-=-y ，0)0(=y ，且从n=0时对系统施加输入)(n f ，得

到系统的全响应)()12(2)(n u n y n -=。

（1） 求系统的零输入响应)(0n y ；

（2） 求系统函数)(z H 和输入)(n f ；

（3） 画出系统的直接型模拟框图；

（4） 列出系统的状态方程和输出方程，得到A ，B ，C ，D 矩阵。 四，（20分）已知一个连续时间LTI 系统，其系统函数)(s H 的零极点图如图1所示，其方框图如图2所示。

图1（其中原点是零点，-1，-10是极点）

（1） 若4

1)(5=-=s s H ，确定系统函数的表达式； （2） 确定图2中的实系数A ，B ，C 的值；

（3） 系统的收敛域有几种可能的形式？并给出系统为因果稳

定时的收敛域。在系统为因果稳定条件下，回答下列问题：

（4） 求系统的单位阶跃响应)(t s ，概画出)(t s 的波形；

（5） 若把此系统看作一个模拟滤波器，它属于哪种形式的滤

波器（低通，高通，带通）？并用脉冲响应不变法把此滤波器设计成数字滤波器（设抽样频率HZ f s 100=），得出数字滤波器的系统函数)(z H 。

五，（20分）已知离散时间序列n n x =)(1，20≤≤n )4()()(2--=n u n u n x

（1） 直接求线性卷积)()()(21n x n x n y *=；

（2） 计算)(1n x 和)(2n x 的5点圆周卷积)(n y ，验证)(n y

是否等于)(n y ；

（3） 写出利用基—2FFT 计算（1）中线性卷积)(n y 的步骤；

（4） 给出按时间抽取的基-2FFT 算法的碟形公式和N=8点时

的运算次数。

六，（20分）回答下列问题

（1） 一个用N 阶实系数线性差分方程描述的FIR 系统，输入

为)(n x ，输出为)(n y ，写出其差分方程式。已知)(n x ，在