第5章弯曲应力

第5章 弯曲应力
思考题
1.推导梁的弯曲正应力公式时，采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。

（ √）
2.在等截面梁中，最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。

（ × ）
3.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。

（ × ）
4.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C ）旋转。

（A ）梁的轴线；（B ）截面对称轴；（C ）中性轴；（ D ）截面形心 5.对于纯弯曲梁，可由平面假设直接导出（ B ）。

（A ）
z
EI M
=
ρ
1
；（B ）ρεy =；（C ）梁产生平面弯曲；（D ）中性轴通过形心
6.如图所示，两根h b ⨯矩形截面的木梁叠合在一起，两端受力偶矩o M 作用，则该叠合梁的抗弯截面模量W 为（ A ）。

（A ）261bh ；（B ）)61(22bh ；（C ）2
)2(61h b ；（D ）
bh )
121
(23
7.受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。

它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。

若用3max 2max 1max )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，则（ B ）。

（A ）3max 2max 1max )()()(σσσ<<；（B ）2max 3max 1max )()()(σσσ<=； （C ）3max 2max 1max )()()(σσσ=<；（D ）3max 2max 1max )()()(σσσ==。

M o
1 2 3
8.设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ B ）的截面。

（A ）对称轴； （B ）偏于受拉边的非对称轴； （C ）偏于受压边的非对称轴； （D ）对称或非对称轴。

9.梁的四种截面形状如图所示，其截面面积相同。

若从强度方面考虑，则截面形状最为合理的是 c ；最不合理的是 b 。

10.空心圆轴外径为D ，内径为d ，其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子
4
4
3
3
64
64
32
32
z z D d D d I W ππππ=
-
=
-
和计算，简述理由。

否。

44
()/(/2)/26464
z z I D d W D D ππ=
=-
11.圆截面梁，当横截面直径增大一倍时，该梁的抗弯能力增大几倍？
3
32
d W π=
增大8倍
2a
2a
2a
5.1将厚度mm h 3=钢板围卷在半径R=1.2m 的圆柱面上，试求钢板内产生的最大弯曲正应力。

设钢板材料的弹性模量E=210GPa,屈服极限MPa s 280=σ，为避免钢板产生塑性变形，圆柱面的半径应为多大？
解：3
9
1.510
2.110262MPa 1.2
y
E E σερ-⨯=
==⨯⨯=
1.125m s s
y
Ey
E E
σεσρρ
σ==≤≥
=
5.2简支梁AB 为16号工字钢，跨度L=1.5m ，在跨度中点处作用一集中力P 。

为
测P 的大小，在距跨中点250mm 处梁的下缘C 点粘贴了一电阻应变片，梁受力后
由应变片测得C 处下缘的应变为4
4.010ε-=⨯ 。

已知钢材的弹性模量E=210GPa ，求载荷P 的数值。

解：根据单向拉伸时的胡克定律，点D 的正应力为
9421010 4.01084 MPa E σε-==⨯⨯⨯=
根据弯曲正应力公式z
M
W σ=
， 查表知No.16工字钢的3141 cm z W = ，因此
6684101411011.84 kN m z M W σ-==⨯⨯⨯=⋅ 由截面法求出截面D 的弯矩M 与载荷P 的关系6
Pl
M =
由此得3
6611.421045.68 kN 1.5
M P l ⨯⨯===47.38kN
5.3简支梁受均布载荷作用如图所示。

若分别采用截面积相等的实心和空心圆截面，且5
3
,40221=
=D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。

并求空心截面比实心截面的最大应力减小了百分之几？
解：
因空心与实心圆截面面积相等，所以：
)(4
4
222221d D D -=
π
π
则：2
22
22
22222215453⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=D D D d D D
图示简支梁的的约束反力为：2
ql
R R B A ===2KN ，其弯矩图如图所示，最大弯矩
为
m KN ql M .18
2max
==
对实心截面梁：MPa D M W M z 15.15940
32
10132
3
631max 1max 1max =⨯⨯⨯===ππσ 对空心截面梁：
MPa D d D M W M z 64.9353150103213243642232max 2
max 2
max =⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⨯=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ππσ 空心圆截面梁比实心圆截面梁最大正应力减少了
%16.4115
.15964
.9315.1591max 2max 1max =-=-σσσ
5.4受均布载荷作用的简支梁如图所示，计算（1）Ⅰ-Ⅰ截面A-A 线上1、2两点处的正应力；（2）此截面的最大正应力；（3）全梁的最大正应力。

解：(1)求截面弯矩
kNm 60)2
2(12
1=-==x qx qLx M
kNm 5.678/3608/22max =⨯==qL M (2)求应力
4
5123
3m 10832.51012
18012012--⨯=⨯⨯==bh I z
342
m 1048.66
-⨯==bh W z
MPa 7.6110832
.560
605121=⨯⨯-===z I y M σσ MPa 6.921048
.66071max 1=⨯==
z W M σ MPa 2.1041048
.65
.677max max =⨯==
z W M σ 5.5当20号槽钢发生纯弯曲变形时，测出A ，B 两点间长度的改变为
mm l 31027-⨯=∆，材料的E=200GPa 。

试求梁截面上的弯矩M 。

解：20号槽钢的截面几何性质查型钢表可得
4419.5mm, 14410mm c z y I ==⨯
由胡克定律和弯曲正应力公式得
//z
E E l l
My I σεσ==∆=
z I E l
M ly
∆=
可得 41296
6
1441010200102710N m
50(19.55)10 =10.7kN m
M ---⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯
5.6铸铁梁的横截面尺寸和所受载荷如图所示。

材料的许用拉应力[]MPa t 40=σ，许用压应力[]MPa c 100=σ。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载荷不变，将T 型截面倒置（呈⊥形），梁是否安全？
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 （2）计算截面几何性质
形心位置和形心惯性矩
x
26
4
157.560.1310
i Ci C i ZC
A
A y y mm A
I
y dA m -====⨯∑∑⎰
（3）强度计算
B 截面的最大压应力
max 52.4[]B C
C C ZC
M y MPa I σσ=
=< B 截面的最大拉应力
max (0.23)
24.12[]B C t t ZC
M y MPa I σσ-=
=<
C 截面的最大拉应力
max 26.2[]C C
t t ZC
M y MPa I σσ=
=< 梁的强度足够。

（4）讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。

max 52.4[]B C
t t ZC
M y MPa I σσ=
=>
梁的强度不够
5.7由三根木条胶合而成的悬臂梁截面的尺寸如图所示。

跨度m l 1=。

若胶合面上的许用剪应力[]MPa 34.0=τ，木材的许用正应力[]MPa 10=σ，木材的许用剪应力[]MPa 1=τ，试确定该梁的许可载荷。

解：
（1） 按木条弯曲正应力强度条件确定许可载荷
[]Pa P W Pl W M z z 62
max max 101015.01.06
11
⨯=≤⨯⨯⨯===
σσ 得：N P 3750≤
[]Pa P
A Q
max 61010.150.12323⨯=≤⨯⨯=
=
ττ
得：N P 10000≤
（3） 按胶合面剪应力强度条件确定许可载荷
()Pa P b I QS z z 631034.01.015.01.012
105.01.005.0⨯≤⨯⨯⨯⨯⨯==*τ
得：N P 3825≤
从三个许可载荷中选取最小者，P=3750N 。

5.8一简易起重设备如图示。

起重量（包括电葫芦自重）30P =kN ，跨长m l 5=。

吊车大梁由20a 工字钢制成，其容许弯曲应力[]MPa 170=
σ
，许用切应力
[]MPa 100=τ。

试校核此梁的强度。

解：1、校核正应力强度
max 37.5.M kN m =
3273z W cm =由型钢表，查得
[]3max max
6
37.51015823710z M MPa W σσ-⨯==<⨯＝ 2、校核切应力强度
Smax 30A F F F kN =≈
=
max /17.27z z I S cm
d mm *
==由型钢表，查得， ()[
]max
max max 3
4
/301024.917.20.710
S
z z F I S d
MPa
ττ*-=
⨯<⨯⨯＝＝
所以梁是安全的。

5.9截面为正方形的梁按图示两种方式安置。

试问哪种安置方式比较合理？
(a) (b)
解：
44
2
2
410
14d 4)d 4|
)123
12
c z A
y y a I y A y y y ==-=⨯=⨯=⎰
34
211212
c
c z z bh a I I === 1244
123312112,112622
c c z z z z a a I I W a W a y y a ======
（b ）合理。

5.10图示一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为⊥字形。

材料的拉伸和压缩许用应力
之比为[][]
1=c t σσ，求水平翼板的合理宽度b 。

(a) (b)
解： 水平翼板的合理宽度b 将使铸铁梁内的最大拉应力和压应力分别达到各自的许用应力，即
12
t max t cmax c [],[],My My I I
σσσσ=
=== ○
1 由○
1式得 t max t 1cmax 2c []1
[]4
y y σσσσ=== ○
2 由几何条件知 12400mm y y += ○
3 解 ○
2 、○
3 式得到 1280mm,320mm y y ==
截面上，对中性轴c z 的静矩（图5.10（b ））应等于0，即
c 12120z
c c
S A y A y =+=
[60()8030)(30340)(320170)]mm=0b --⨯- ○
4 解○
4式， 得 510mm b =。