对流方程及算法介绍

1 引言
2 对流方程及算法介绍
2.1对流方程的概述
对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程。

对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。

人们研究对流扩散方程，主要的研究对象是流体在流动过程中，流体所携带的某种物质的物理量的变化规律，例如传热过程中温度的变化规律或者溶解于流体中溶质的物质浓度等物理量的变化规律。

这些变化通常包括对流、扩散以及由于某种物理或者化学的因素而引起的物理量的自身衰减或增长。

最简单的一维对流扩散方程形如(2-1)式: （2-1）
其中C 是常数，它属于双曲型方程，可以被用来描述流体的运动等物理现象。

2.2水对流现象的简易演示
2.2.1 基本步骤
用两只相同的小烧杯，各装上冷水，再如图1所示插入长短两根吸管，虹吸管由普通化学实验用玻璃管在酒精灯上加热弯成，一根查到被子底部，一根只插入水的表面，再在右杯中滴入几滴墨水并搅拌均匀，现在开始用酒精灯加热左边的烧杯，一段时间后就可以明显的看到染了颜色的水从右杯源源不断的流入左杯，左杯的水源源不断的流入右杯，最后两杯水都变成了墨水的颜色，与此同时用手摸右边的杯子，右边的水也热了起来，这就是冷热水发生了对流的缘故。

2.2.2 实验注意事项
短虹吸管只插入水的表面，不能过深。

玻璃管宜选壁较厚一些的，这样绝热性好一些，效果也好一些。

0=∂∂+∂∂x
u
C t u
2.2.3 实验原理分析
对左边的水杯用酒精灯加热，水受热密度变小开始上升，右边水杯的
冷水从下边的吸管流向左边的水杯进行补充，左边水杯的热水从上边的吸管流向右边的水杯，这样一会儿两杯水都变成墨水的颜色了[1]。

在冷水里面掺热水也是一样的道理，在不搅拌的情况下，最后水温基本都是一个温度，这就是水的对流，除了水的对流还有刮风是空气的对流，气压高的一方向气压低的一方补充空气，这就形成了对流，就会产生风；还有冬天在家里开空调，形成空气对流，最后整个房间的温度都升了起来。

2.3对流方程及其现有算法
1.针对常系数对流扩散方程，我们利用指数变换，
构造四阶紧致差分格式。

2.针对一维变系数对流扩散方程，将其转化为扩散方程，并构造四阶紧致差分格式。

3.对于常系数二维对流扩散方程，构造出四阶紧致差分方程，以及特殊的变系数
对流扩散方程的四阶紧致差分格式。

4.针对一维常系数对流扩散方程
和一维变系数对流扩散方程，分别构造了几种基于线性和双线性插值
的特征差分格式。

5.针对二维对流扩散方程
，构造了几种基于线性和双线性插值的特征差分格式。

2.3影响物理量ϕ的三个过程
用),,,(t z y x ϕϕ=来表示流体中单位体积的流体所携带的某种物理量，它可以是流体的质量或温度。

流体的温度可以用ϕ来表示，流体的密度ρ也可以用ϕ
),(22t x f x u
x u a t u +∂∂=∂∂+∂∂ε2
2),(x u
x u t x a t
u ∂∂=∂∂+∂∂εf y u
x u a y u q x u p t u =∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂)(2222)
,()()()(2222y x f y u
y q x u x p y u x u =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂22x u
x u v t u ∂∂=∂∂+∂∂ε)
,()()()(22t x f x x a x u x b x u x c u
=∂∂-∂∂+∂∂)
,())(,(),(),(),(222221y x f y u
x u y x a y u y x b x u y x b t u y x c =∂∂+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂
来表示。

于是物理量ϕ也可以写成乘积的形式:ρϕ。

为了研究物理ϕ的变化规律，任取一个有限区域D ，它的边界为S ，值得研究的是D 内ϕ的分布情况和变化过程。

对流、扩散和源项三个方面的物理变化过程构成了区域D 内ϕ的变化，现在对这三种变化过程分别进行讨论。

a.对流过程
对流的过程中，有限区域D 内ϕ的变化包括两个方面，一方面是由于流体的流动位置发生变化而引起的变化，另一种是ϕ随时间的变化而产生的变化。

在有限区域D 中，ϕ的积分量的变化可写成下面的随体导数.
(2-2)
式中是流体的速度在S 面上的法方向分量。

利用Green-Gauss 公式[2] 可以得到
(2-3)
b.扩散过程
湍流扩散和分子扩散是扩散过程最基本的构成。

在扩散作用下，物理量
ϕ由数值高的向数值低的方向转移。

根据Fick 定律可得，扩散速度q 即单位时间内通过单位面积的某种物理量ϕ，和物理量ϕ的关系为:
关系式中K 为扩散系数，它可以是其他物理量的函数，也可以是一个常数。

鉴于扩散过程的作用，有限区域D 中的ϕ增量为:
（2-4）
c.源汇
流场中物理量尹会因为源和汇的存在而发生变化。

流场中的
物理量ϕ可
能由于流体的流动位置的原因，使得ϕ的自身发生增长或衰减，并且用源或汇进行描述，记作Q ，Q 为分布函数，当Q>0时表示源，Q<0时表示汇，分别说明ϕ增
长或减少。

ϕ增长或减少的快慢通过Q 绝对值的大小得到反映，表示源汇的强度，在有限的区域D 内，由于源汇的作用，物理量ϕ的增加量为⎰⎰D
QdD 。

根据守恒性原理，物理量的变化满足下面的关系式
n u u n ⋅=ϕ∇-=K q dS u dD t dD dt d D
n D D ⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=ϕϕ
ϕdD u div dS u D
S
n ⎰⎰⎰=)(ϕϕdD u div t dD dt d D D ⎰⎰⎰⎰+∂∂=)]([ϕϕϕdD
K div dS nK nqdS S
S
D
⎰⎰⎰⎰∇=∇=-)(ϕϕ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∇=+∂∂D
D D
QdD dD K div dD u div t )()]([
ϕϕϕ
Q K div u div t
+∇=+∂∂)()(ϕϕϕ
由于D 是任意的，上面的守恒方程可以改写为
或
以上两个就是对流扩散方程。

求解时，对流扩散方程的初始条件是初始时刻t=o 时，给出ϕ的分布
)()0,(0j j x x ϕϕ=
参考文献：
[1]物理教学探讨 第24卷总第269期 2006年第6期 Vol.24 No.269 [2]《重庆文理学院学报(自然科学版)》 2007年05期 Green 公式及其证明
Q K div u div t
u
+∇=+∂∂)()(ϕϕ。