大学物理稳恒磁场习题库资料
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0 aI1I 2 b a cos b a cos ( 2 2 2 2 ) a b 2ab cos a b 2ab cos
y
0 aI 1 I 2 a sin a sin ( 2 ) 2 r 2 r1
r1
2 1
r2
F2
B
0
x
0 I dBx dB sin 2 sin d 2 R
0 I 0 I Bx dBx 2 sin d 2 R R 0 2
y
0 I B 2 i R
dB o
dl
x
例 4 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量. 解 先求 B ，对变磁场给 出 dΦm 后积分求 Φm
Fx
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
cos d d R cos
.
I1
B
y
d
d
dFy
dF
0 I1I 2 (1
d d R
2 2
)
dFx I 2dl
0 I1 I 2 R 2π sin d Fy 0 0 d R cos 2π
O R
例 一半径为R的半圆形线圈，载有电流I， 放在均匀磁场B中，如图所示:
求:1.线圈所受的力矩的大小和方向.
2. 在此力矩作用下线圈转/2，力矩所作的功.
I
R
B
解
方向:垂直 B 竖直向上
M
I
pm
R
B
1 2 1 R BI cosd R 2 BI 2 2 0
2
有一回旋加 速器，他 的交变 电压的 频率 6 为 1210 Hz ，半圆形电极的半径为0.532m . 问 加速 氘核所需的磁感应强度为多大？氘核所能达到的最大 动能为多大？其最大速率有多大？（已知氘核的质量 27 19 3 . 3 10 kg 为 ，电荷为 1.6 10 C ）. 解 由粒子的回旋频率公式，可得
1 B1 0 Jk r1 2
1 1 B 0 Jb (k i ) 0 Jb j 2 2
1 0 Jk O1O2 2
y B1 1 r1 o 1 2 B2
1 方法二： B1 0 Jr1 2 1 B2 0 Jr2 2
解 因管外磁场为零，取如图所示安培回路
顺磁质 抗磁质 束缚电流与传导电流反向
I2
x
Fx
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
cos d d R cos
0 I1I 2 (1
Fy
d d R
2 2
)
.B
y
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
sin d 0 d R cos
d
I1
d
dFy
dF
dFx I 2dl
F Fx i 0 I1I 2 (1
d d R
2 2
)i
O R
I2
x
例3 求：无限长载流直导线 I1附近仰角为 ，且与它共面的另一段长为 b 的载流导线 I2的作用力。如图。
I1 a
I2
I1 o
B
a
dF
x
解：如图建立坐标系，取电流 元I2 dl ，设 x , 则由
I 2dl
x
dF I 2dl B
B
I
x
d1
dx l
d2
dΦm B dS
0 I B 2π x
0 Il
B // S 0 I
2π x
ldx
o
x
dx Φm 2 π d1 x 0 Il d 2 Φm ln 2π d1
d2
练习1、一对同轴无限长直的导体 圆筒，内外筒的半径分别为 R1和 R2 ，电流由内筒流去，外筒流回。 求： I （1）空间磁场分布； （2）图中阴影部分的磁通量。 解：（1）由安培环路定理得
例 2 半径为 R 载有电流 I 2的导体圆环与电流为 I1 的长直导线 放在同一平面内（如图）， 直导线与圆心 相距为 d ，且 R < d 两者间绝缘 , 求 作用在圆电流上 的磁场力.
0 I1 解 B 2π d R cos
0 I1 I 2 dl dF BI 2 dl 2π d R cos
O1
· P O2
y
解：方法一：矢量法 电流面密度：
I
O1
B1 B2 r1 · r2 P
I J 2 2 (R a )
x 无洞时：由安培环路定理得
O2
1 B1 0 Jr1 2 1 矢量式： B1 0 Jk r1
2
同理：在空洞处，载流-J的圆柱体在P点的磁场
L
B0 H 0
(2) 取面元：dS=L dr
0 I dΦm B dS L dr 2r R2 0 I 0 IL R2 Φm dΦm L dr ln 2r 2 R1 R1
练习2、如图，一无限长圆柱形导体，横截面半径为R， 在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体 轴且与它相距b，设导体中载有均匀分布的电流I，求 孔内任意一点P的磁感应强度B的表达式。
1 B2 0 Jr2 2
1 矢量式： B2 0 Jk r2 2
y
I
O1
B1 B2 r1 · r2 P
O2
x
B B1 B2
1 B2 0 Jk r2 2
1 0 Jk (r1 r2 ) 2
解：将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为dl 的无限长细导 线， 利用： I
2R I I I 则其通有电流： dI dl Rd d R R y I 0 dI 0 d dB 2 2R 2 R
如图所示，因每个 dB
lB dd
dB o dl 方向不同，而由对称性 可知 By 0
例2 如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴oy旋 转的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大 小为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 以oy为轴线圈所受的磁力矩又为多少？
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
FJQP BI (2R)k 0.64kN I FPKJ BI (2R)k 0.64kN
I
L
0 r R1 B dl B 2r 0 L B0 H 0 R1 r R2 B dl B 2r 0 I L 0 I I B H 2r 2r
0 r R1
B0 H 0
dr
I L
R1 r R2 0 I I B H I 2 r 2 r R2 r B dl B 2r 0
线圈受力为0
y
J
B
o
x
R
dF
K
Q
以Oy为轴， Idl 所受磁力矩大小
d
x
dM xdF IdlBx sin
方向:沿y轴的正向
z
P
x R sin , dl Rd
dM xdF IdlBx sin
y
J
x R sin , dl Rd
dM IBR sin d
.B
y
d
I1
d
dFy
dF
dl Rd 0 I1 I 2 Rd dF 2π d R cos
O R
I 2dl
d Fx
x
I2
0 I1 I 2 R cos d dFx dF cos 2π d R cos
0 I1 I 2 R sin d dFy dF sin 2π d R cos
0 I1 B 2x
方向：
0 I1 I 2 dF I 2 Bdl dl 2x
F
a b cos
统一变量
dx dl cos
a
b cos 0 I1I 2 dx 0 I1I 2 ln(1 ) • 2x cos 2 cos a
例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通 以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？
F1
x
设线圈顺时针方向旋转的力矩为正， 则合力矩的大小
0 a 2 I1I 2 sin 1 1 ( 2 2 ) 2 2 a b 2ab cos a b 2ab cos
y r2
F2
F1
x
0 aI 1 I 2 b a ln ba
r1
解
对称性分析
r
I
d
I
R
r
rd R
r
I
μ0 μ r I B 2πd
H dl I I 0
l
dR
d
I
2πdH 0 , H 0
B H 0
同理可求
R
r
d r, B 0
例2 长直螺旋管内充满均匀磁介质μr设励磁电流I0， 单位长度上的匝数为 n 。 求：管内的磁感应强度和磁介质表面的面束缚电流 密度。
2 1
例 1 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度.
r
rd R l H dl II H 2πdH I 2πd μ0 μr I B H 2πd
例2
2 π mf 2 π 3.3 10 12 10 B T 1.56T 19 q 1.6 10 2 q 2 B 2 R0 Ek 16.7MeV 2m
6
27
qBR0 v 4.02 10 7 m s 1 m
例 在无限长直载流导线I1旁有一正方形线圈，载有电流 I2，边长为2a，线圈中心到导线的垂直距离为b，电流方 向如图，线圈可绕平行于长直导线的轴oo´转动. 求：1.线圈在角度位置时受到的力和力矩。 2.当线圈由=0转到=/2时I1作用在线圈上的力作 了多少功？ o b
I2
o´
I1
解： 导线AD受到的力: b I1
o
B A
c
I2
D
同理：导线BC受到的力:
y
2 1
o´
r2
F2
导线AB与DC受的力等大、反 向、共线故相互抵消。
r1
B1
F1 B2
x
线圈所受到的合力：
0 aI1 I 2 b a cos b a cos ( ) 2 2 r 2 r1
解 Pm ISen Pm IS 方向:线圈的法线方向 π M pm B M NBIS sin , M M max
M max NBIS 50 0.05 2 (0.2) N m
2
2
M max 0.2N m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
2 2
I
Q o
x
R
dF
K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
M
2 2π IBR 0
sin d
2
d
x
z
M IBπ R
另解：
2
P
2 2 M pm B I π R Bk i I π R Bj
2 pm ISk I π R k
方向:沿y轴的正向
B Bi
x 如图，将B1 ,B 2在坐标轴 投影得：
r2
2
1 Bx 0 J ( r1 sin 1 r2 sin 2 ) 2 r1 sin 1 r2 sin Bx 0 1 1 Bx 0 J ( r1 cos 1 r2 cos 2 ) 0 Jb 2 2
试求以下各图中圆心处的磁感应强度 ( 图中半径 练习1、 均为R，电流均为I )
O
·O
解：利用
得
方向⊙ 方向⊙
设园弧l1 、l2的电流分别为 I1 、I2 ，则有：
①
l2 ④
O
方向⊙
方向
③
l1
②
因
所以
方向⊙
同理
方向相反 ① ③ I1 ②
方向相反
O
④
所以
练习2、在一无限长的半径为R的半圆柱体金属薄片中， 自上而下地流有电流 I。 求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度.
y
0 aI 1 I 2 a sin a sin ( 2 ) 2 r 2 r1
r1
2 1
r2
F2
B
0
x
0 I dBx dB sin 2 sin d 2 R
0 I 0 I Bx dBx 2 sin d 2 R R 0 2
y
0 I B 2 i R
dB o
dl
x
例 4 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量. 解 先求 B ，对变磁场给 出 dΦm 后积分求 Φm
Fx
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
cos d d R cos
.
I1
B
y
d
d
dFy
dF
0 I1I 2 (1
d d R
2 2
)
dFx I 2dl
0 I1 I 2 R 2π sin d Fy 0 0 d R cos 2π
O R
例 一半径为R的半圆形线圈，载有电流I， 放在均匀磁场B中，如图所示:
求:1.线圈所受的力矩的大小和方向.
2. 在此力矩作用下线圈转/2，力矩所作的功.
I
R
B
解
方向:垂直 B 竖直向上
M
I
pm
R
B
1 2 1 R BI cosd R 2 BI 2 2 0
2
有一回旋加 速器，他 的交变 电压的 频率 6 为 1210 Hz ，半圆形电极的半径为0.532m . 问 加速 氘核所需的磁感应强度为多大？氘核所能达到的最大 动能为多大？其最大速率有多大？（已知氘核的质量 27 19 3 . 3 10 kg 为 ，电荷为 1.6 10 C ）. 解 由粒子的回旋频率公式，可得
1 B1 0 Jk r1 2
1 1 B 0 Jb (k i ) 0 Jb j 2 2
1 0 Jk O1O2 2
y B1 1 r1 o 1 2 B2
1 方法二： B1 0 Jr1 2 1 B2 0 Jr2 2
解 因管外磁场为零，取如图所示安培回路
顺磁质 抗磁质 束缚电流与传导电流反向
I2
x
Fx
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
cos d d R cos
0 I1I 2 (1
Fy
d d R
2 2
)
.B
y
0 I1 I 2 R
2π
2π
0
sin d 0 d R cos
d
I1
d
dFy
dF
dFx I 2dl
F Fx i 0 I1I 2 (1
d d R
2 2
)i
O R
I2
x
例3 求：无限长载流直导线 I1附近仰角为 ，且与它共面的另一段长为 b 的载流导线 I2的作用力。如图。
I1 a
I2
I1 o
B
a
dF
x
解：如图建立坐标系，取电流 元I2 dl ，设 x , 则由
I 2dl
x
dF I 2dl B
B
I
x
d1
dx l
d2
dΦm B dS
0 I B 2π x
0 Il
B // S 0 I
2π x
ldx
o
x
dx Φm 2 π d1 x 0 Il d 2 Φm ln 2π d1
d2
练习1、一对同轴无限长直的导体 圆筒，内外筒的半径分别为 R1和 R2 ，电流由内筒流去，外筒流回。 求： I （1）空间磁场分布； （2）图中阴影部分的磁通量。 解：（1）由安培环路定理得
例 2 半径为 R 载有电流 I 2的导体圆环与电流为 I1 的长直导线 放在同一平面内（如图）， 直导线与圆心 相距为 d ，且 R < d 两者间绝缘 , 求 作用在圆电流上 的磁场力.
0 I1 解 B 2π d R cos
0 I1 I 2 dl dF BI 2 dl 2π d R cos
O1
· P O2
y
解：方法一：矢量法 电流面密度：
I
O1
B1 B2 r1 · r2 P
I J 2 2 (R a )
x 无洞时：由安培环路定理得
O2
1 B1 0 Jr1 2 1 矢量式： B1 0 Jk r1
2
同理：在空洞处，载流-J的圆柱体在P点的磁场
L
B0 H 0
(2) 取面元：dS=L dr
0 I dΦm B dS L dr 2r R2 0 I 0 IL R2 Φm dΦm L dr ln 2r 2 R1 R1
练习2、如图，一无限长圆柱形导体，横截面半径为R， 在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体 轴且与它相距b，设导体中载有均匀分布的电流I，求 孔内任意一点P的磁感应强度B的表达式。
1 B2 0 Jr2 2
1 矢量式： B2 0 Jk r2 2
y
I
O1
B1 B2 r1 · r2 P
O2
x
B B1 B2
1 B2 0 Jk r2 2
1 0 Jk (r1 r2 ) 2
解：将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为dl 的无限长细导 线， 利用： I
2R I I I 则其通有电流： dI dl Rd d R R y I 0 dI 0 d dB 2 2R 2 R
如图所示，因每个 dB
lB dd
dB o dl 方向不同，而由对称性 可知 By 0
例2 如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴oy旋 转的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大 小为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 以oy为轴线圈所受的磁力矩又为多少？
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分
FJQP BI (2R)k 0.64kN I FPKJ BI (2R)k 0.64kN
I
L
0 r R1 B dl B 2r 0 L B0 H 0 R1 r R2 B dl B 2r 0 I L 0 I I B H 2r 2r
0 r R1
B0 H 0
dr
I L
R1 r R2 0 I I B H I 2 r 2 r R2 r B dl B 2r 0
线圈受力为0
y
J
B
o
x
R
dF
K
Q
以Oy为轴， Idl 所受磁力矩大小
d
x
dM xdF IdlBx sin
方向:沿y轴的正向
z
P
x R sin , dl Rd
dM xdF IdlBx sin
y
J
x R sin , dl Rd
dM IBR sin d
.B
y
d
I1
d
dFy
dF
dl Rd 0 I1 I 2 Rd dF 2π d R cos
O R
I 2dl
d Fx
x
I2
0 I1 I 2 R cos d dFx dF cos 2π d R cos
0 I1 I 2 R sin d dFy dF sin 2π d R cos
0 I1 B 2x
方向：
0 I1 I 2 dF I 2 Bdl dl 2x
F
a b cos
统一变量
dx dl cos
a
b cos 0 I1I 2 dx 0 I1I 2 ln(1 ) • 2x cos 2 cos a
例1 边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通 以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？
F1
x
设线圈顺时针方向旋转的力矩为正， 则合力矩的大小
0 a 2 I1I 2 sin 1 1 ( 2 2 ) 2 2 a b 2ab cos a b 2ab cos
y r2
F2
F1
x
0 aI 1 I 2 b a ln ba
r1
解
对称性分析
r
I
d
I
R
r
rd R
r
I
μ0 μ r I B 2πd
H dl I I 0
l
dR
d
I
2πdH 0 , H 0
B H 0
同理可求
R
r
d r, B 0
例2 长直螺旋管内充满均匀磁介质μr设励磁电流I0， 单位长度上的匝数为 n 。 求：管内的磁感应强度和磁介质表面的面束缚电流 密度。
2 1
例 1 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度.
r
rd R l H dl II H 2πdH I 2πd μ0 μr I B H 2πd
例2
2 π mf 2 π 3.3 10 12 10 B T 1.56T 19 q 1.6 10 2 q 2 B 2 R0 Ek 16.7MeV 2m
6
27
qBR0 v 4.02 10 7 m s 1 m
例 在无限长直载流导线I1旁有一正方形线圈，载有电流 I2，边长为2a，线圈中心到导线的垂直距离为b，电流方 向如图，线圈可绕平行于长直导线的轴oo´转动. 求：1.线圈在角度位置时受到的力和力矩。 2.当线圈由=0转到=/2时I1作用在线圈上的力作 了多少功？ o b
I2
o´
I1
解： 导线AD受到的力: b I1
o
B A
c
I2
D
同理：导线BC受到的力:
y
2 1
o´
r2
F2
导线AB与DC受的力等大、反 向、共线故相互抵消。
r1
B1
F1 B2
x
线圈所受到的合力：
0 aI1 I 2 b a cos b a cos ( ) 2 2 r 2 r1
解 Pm ISen Pm IS 方向:线圈的法线方向 π M pm B M NBIS sin , M M max
M max NBIS 50 0.05 2 (0.2) N m
2
2
M max 0.2N m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
2 2
I
Q o
x
R
dF
K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
M
2 2π IBR 0
sin d
2
d
x
z
M IBπ R
另解：
2
P
2 2 M pm B I π R Bk i I π R Bj
2 pm ISk I π R k
方向:沿y轴的正向
B Bi
x 如图，将B1 ,B 2在坐标轴 投影得：
r2
2
1 Bx 0 J ( r1 sin 1 r2 sin 2 ) 2 r1 sin 1 r2 sin Bx 0 1 1 Bx 0 J ( r1 cos 1 r2 cos 2 ) 0 Jb 2 2
试求以下各图中圆心处的磁感应强度 ( 图中半径 练习1、 均为R，电流均为I )
O
·O
解：利用
得
方向⊙ 方向⊙
设园弧l1 、l2的电流分别为 I1 、I2 ，则有：
①
l2 ④
O
方向⊙
方向
③
l1
②
因
所以
方向⊙
同理
方向相反 ① ③ I1 ②
方向相反
O
④
所以
练习2、在一无限长的半径为R的半圆柱体金属薄片中， 自上而下地流有电流 I。 求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度.