第四节 晶体的230种空间群

36
10种正交滑移面组合在c格子中有
Cmm2 = Cma2 = Cba2 Cmc21 = Cmn21 = Cna21 = Cca21 Ccc2 = Cnn2 = Cnc2
即C格子有3种空间群：
Cmm2 、Cmc21 、Ccc2
37
C11 2v
Cmm2
Cmm2 = Cma2 = Cba2
m和a正交时，m 和b滑移面每隔
2
• 晶体的微观对称元素有以下七类：
1、旋转轴：1，2，3，4，6 2、反映面：m 3、对称中心：1 (i) 4、反轴：4 5、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65 6、滑移面：a，b，c，n，d 7、平移 这七类对称元素在空间的组合所表现出的对称性的集合即为空间群，它 反映了晶体微观结构的全部对称性，描述了无限晶格空间结构的对称性。
3
•空间群与点群的同形关系
¾空间群是把点群的对称性应用于无限的空间点阵， 再考虑到可能的平移对称性，螺旋轴和滑移面而得 到的。 •晶体外形所具有的宏观对称元素，在微观晶体结构中，加入平移成分，
可以表现为不同的微观对称元素。如宏观的反映面，在晶体微观结构 中可以为反映面，也可以是不同的滑移面，或者是相互平行排列的反 映面和滑移面；旋转轴既可以表现为旋转轴，也可以为螺旋轴。因此， 属于同一点群的晶体，可以属于不同的空间群。属于同一宏观点群的 所有空间群，称为与该点群同形的空间群.
C5 2v
Pca21
Pca21 = Pbc21
c· a =m ⊥ a ·c/2 · m ⊥ b ·a/2 = m ⊥ a · a/2 · m ⊥ b ·c/2 → m a/4 · m ⊥ b ·c/2 = 21(a/4)
得到的21次轴移动了a/4距离。
27
C6 2v
Pnc2
n· c = 2b/4
o组合原理：两个反映面相交，其交线为旋转轴
14
组合情况举例:
a
m ⊥a· 2
b
m ⊥b· 2
2 ·c/2 2 ·a/2 2 ·b/2
2 ·(a+b)/2
2 ·(b+c)/2 2 ·(a+c)/2
m’a/4 ·
b 2
= ba/4
b · a = 2(a+b)/4 n ·a = 21(a+b)/4
15
正交滑移面的组合 如n和a的组合：
¾对称元素选取的一般原则： 1、反映面m 2、滑移面a，b，c，n，d 3、旋转轴 4、螺旋轴（尽量采用比较对称的写法，如I222=I21212，
I2221=I212121。这两种空间群写成I222和I212121。）
5、反轴
5
空间群的圣佛里斯符号
在同形点群符号右上角标上一个数字表示序号，
C C 如
A=B
在这种情况下只需考虑A
A≠ C
13
考虑的对称元素组合
9在C2v同形空间群的推导中，可以只考虑滑移面的 组合情况，因为2次轴是由滑移面组合产生的，确定 了滑移面也就确定了2次轴。 C2v点群中有两个正交的反映面，对应于微观的两个 正交的滑移面，滑移面有m, a,b,c, n,d 6种。先考虑两 个正交滑移面的组合。
(2) 当m和b 垂直时
m ⊥b 与a滑移面共存
(3)
C⊥a ·(
a+b 22
)=
m
·
c 2
·(
a+b 22
)= ma/4 ·(
b+c )
22
=na/4
(4) 同理： C⊥b ＝ nb
4
35
¾在C格子中
m⊥a 与b滑移面共存 m ⊥b 与a滑移面共存 n ⊥b 与c滑移面共存 n ⊥a 与c滑移面共存
从某一点群出发而得到的种种可能的微观对称类型– 空间 群时，相应对称元素之间的角度关系是与该点群相同的。
4
•空间群的国际符号
空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵格子类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定 向和符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如 果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则 得到晶体的点群。
25
C4 2v
Pma2
Pma2 = Pbm2
m · a =m ⊥ a · m ⊥ b ·a/2 = m ⊥ a · a/2 · m ⊥ b → ma/4 · m ⊥ b = 2(a/4)
（a/2平行于m ⊥ b ,垂直于m ⊥ a ,可使m ⊥ a和a/2组合） 得到的2次轴移动了a/4距离。
26
23
C2 2v
Pmc21
Pmc21 = Pcm21
m · c(正交) = m⊥ a · m’⊥ b ·c/2 = 2 ·c/2 = 21 m和c相交得到21次旋转轴
24
C3 2v
Pcc2
c · c(正交) = (m⊥ a · c/2) · (m’⊥ b ·c/2) = m⊥ a · m’⊥ b =2 c和c相交处是2次轴
得到的2次轴移动了b/4距离
b
Pnc2 = Pcn2
a
28
C7 2v
Pmn21
m· n =21 a/4
得到的21次轴移动了a/4距离
b
a
Pmn21 = Pnm21
29
C8 2v
Pba2
b · a = 2(a+b)/4
得到的2次轴平移了(a+b)/4距离
b
a
30
C9 2v
Pna21
n ·a = 21(a+b)/4
黑体字的6种组合在其它3种格子中是没有的。
A格子有4种空间群：
Amm2、 Abm2、 Ama2、 Aba2。
44
C14 2v
Amm2
Amm2 = Amc21 = Anc2 = Anm21
m⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
n⊥ a
m⊥
b
·(
b 2
+
c 2
)=
cb/4
垂直于b, c滑移面和m每隔b/4交替存在
附加平移为 (a + b) 、(b + c) 、 (c + a) 。
2
2
2
33
5种滑移面与这些附加平移组合产生新的滑移面
34

C 格
附加平移为 a + b 22
子
(1) 当m和a垂直时
m·
(a
2
+
b 2
)
→
m
·
a 2
·b
2
=
m’a/4 · b 2
=
ba/4
m⊥a 与b滑移面共存
m 和b滑移面每 隔a/4 交替存在
只有d滑移面产生附加平移(a+c)/2或(b+c)/2
19
P格子
P格子无附加平移，所以不会改变滑移面的滑移分量， 且不存在d滑移面,有m, a, b, c , n几种滑移面。 a和b定向是人为的，实际是一回事。 不存在Paa, Pbb Pbm =Pma 仅需考虑m, n, a, c 4种滑移面
滑移面与垂直于它的平移组合，会在a或b向量 垂直平分处产生另一个完全相同的滑移面。 o组合原理：平移t及垂直于平移的滑移面的 连续动作相当于与该反映面相距t /2处的一个
滑移面的反映平移复合动作。
18
¾两个平行的相同滑移面组合
两个平行的相同滑移面组合，会产生平移。 o组合原理：两个平行滑移面的连续操作相当 于一个平移操作，并且该平移操作垂直于滑 移面的分量也是一个平移操作。
22
C1 Pmm2 2v
空间中有mm（正交）通过P格子平移形成（a）的情况； 平移t（可分解为两个反映面的连续动作t = m1· m2) 和反映面的连续 动作（m· m1· m2 = m2),即反映面每隔 t/2出现一次，图(b); 在反映面交线处为2次轴，得图(c), 即空间群Pmm2的投影图。
a 4
交替存在， m和b
正交时，m和a 滑移面每隔 b 交替存在
4
m和m相交处是2次轴，这个2次轴和(a+b)/2组合得另一些2次轴。
b
a
38
C12 2v
Cmc21
Cmc21 = Cmn21 = Cna21 = Cca21
将m、c分别与 a + b 组合：
2
m 和b滑移面每隔
a 4
交替存在(图a)，
43
A格子中需要考虑的组合
A格子中a和b两个方向不能更换，因为(100)面 有心而(010)面无心，所以5种正交滑移面全部 16种组合后有 Amm2 = Amc21 = Anc2 = Anm21 Abm2 = Abc21 = Acm21 = Acc2 Ama2 = Amn21 = Ana21 = Ann2 Aba2 = Abn21 = Aca21 = Acn2
20
16种正交滑移面组合在P格子中
Pmc21 = Pcm21 Pma2 = Pbm2 Pca21 = Pbc21 Pnc2 = Pcn2 Pmn21 = Pnm21 Pna21 =Pbn21
21
P格子有10种空间群：
Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2
c和n 滑移面每隔 b 交替存在(图b)，
4
m和c相交处21次轴， 21次轴与附加平移(a+b)/2组合得另一些21次轴 （图c）。
39
C13 2v
Ccc2
Ccc2 = Cnn2 = Cnc2
c滑移面和n
滑移面每隔 a 4
或b 4
交替存在
c和c相交处是2次轴，这个2次轴和(a+b)/2组合得另一些2次轴。
得到的21次螺旋轴移动了(a+b)/4距离
b
a
31
C10 2v
Pnn2
n · n = 2(a+b)/4
得到的2次轴移动了(a+b)/4距离
b
a
32
复格子的附加平移
C格子、A格子、I格子都是二重复格子,
附加平移分别为 (a + b) 、(b + c) 、(a + b + c) 。
2
2
Hale Waihona Puke 2F格子是四重复格子，
1
空间群:晶体结构具有空间点阵式的周期性结构,点阵结构的
空间对称操作群称为空间群
空间群的推引:
1890年,俄国科学家E.S.Fedorov(费多洛夫)完成了230个空间群 的推引工作,使晶体结构的几何理论得到较完整的发展.其后,德国 的 A.Schoenfilies (熊夫利斯)与英国的 W.B.arlow(巴罗),也分别于 1891年和1894年利用不同方法独立的推引出相同的结果.230个空 间群又称费多洛夫群,反映了晶体几何属性上的对称性.
m m n ⋅ a = ⋅ b + c ⋅ ⋅ a
⊥a 2
⊥b 2
m m = ⎜⎛ ⎝
⊥a
⋅
a 2
⎟⎞ ⎠
⋅
⎜⎛ ⎝
⊥b
⋅
b 2
⎟⎞ ⎠
⋅
c 2
m m =
⊥a ⋅ 4
⊥b 4
⋅
c 2
2 =
2(a+b)
4
⋅
c 2
=
1(a+b)
4
n与a组合产生21螺旋轴
16
两个正交滑移面的组合
17
¾滑移面与垂直于它的点阵平移组合
b
a
46
C16 Ama2 2v
Ama2 = Amn21 = Ana21 = Ann2
m⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
n⊥ a
a⊥
b
·(b2
+
c 2
)=
a
m ⊥b·2
·(
b 2
+
c 2
)
=nb/4
垂直于b, a和n滑移面每隔b/4交替存在
m和m相交处是2次轴， 这个2次轴和(b+c)/2组合得另一些21次螺旋轴 。
b
a
45
C15 2v
Abm2
Abm2 = Abc21 = Acm21 = Acc2
b⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
c⊥ a
m⊥
b
·(b
2
+
c 2
)=
cb/4
垂直于b, c滑移面和m每隔b/4交替存在
b和m组合于b/4处是2次轴，这个2次轴和(b+c)/2组合得另一些21次轴。
b
a
40

A 附加平移为 b + c
格
22
子 ¾n滑移面
(1) 当n滑移面和a垂直时
n· (b + c
22
) → m ·(
b + c )·( b + c
22 22
)=
m
n⊥a 与 m⊥a 共存
(2) 当n和b 垂直时
n·
(
b 2
+
c 2
)
→
m
·(
a 2
+
c 2
)·(
b + c )=
22
ab/4
n⊥b 与 a共存
将14种空间点阵型式(用14种布拉维格子表示)中的每个点阵点 的对称性,用相应点群的对称元素来表示.然后将每个点群中的宏观 对称元素用微观对称元素来代替,即将每个点群的旋转轴用轴次相 同的旋转轴或螺旋轴代替,镜面用平行的镜面或滑移面代替,将这些 对称元素与点阵相应的平移操作结合.结合后产生的对称元素不超 出原先的范围,相应的宏观对称性也不超出原有的点群,这样即可推 引出230种空间群或称为230个晶体微观对称类型.
41

A 格 子
(1)
¾C滑移面 当c与a垂直
m · c ·( b + c ) = b
2 22
c⊥a与b共存
(2) 当c与b 垂直
m ·c
2
·( b + c )
22
= mb/4
c⊥b 与 m⊥b 共存
¾ 因此只要考虑：m, a, b三种面的组合
42
¾A格子中
m⊥a与 n⊥a共存 m⊥b与 c⊥b共存 n⊥b 与 a共存 c⊥a与b共存
17 2v
−
Aba
，
18 − Fmm 。
2v
6
7
8
9
10
11
12
•与点群C2v同形的空间群的推导
考虑的格子类型
C2v 属于正交晶系，有P、I、C、F 4种布拉威格 子，2次轴是唯一的，习惯把它定在c方向，(001) 格子面上有心时称为C格子。在（010），（100） 格子面上有心时分别称为B格子和A格子。