用正交变换化二次型为标准形的具体步骤

例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
11,
0
1
1
1 2
0
1 2
单位化即得
p2
1
0 0
2
,
p3
1 1
0
2 2
,
p4
1 2 12 1 2
于是正交变换为
x1 1 2
x2
x3 x4
1 2 1 2 12
12 12
0 0
0 0 12 12
1 2 y1
1 2 y2
12 1 2
y3 y4
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
解 由于所给二次型中无平方项，所以
令
x1 x2
y1 y1
y2 y2 ,
即
x1 x2
1 1
1 1
x3 y3
x3 0 0
0 y1 0 y2 1 y3
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
Leabharlann Baidu
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
11
1
1
0 1 2
2
A E ( 1)
0 2 1 2
00
0
( 1)2 1 2 2 1
1
( 1)2(2 2 3) ( 3)( 1)3.
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3
2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有
xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
2 4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
且有
f
3 y12
y
2 2
y23
y42 .
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
k 1,2, ,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得
f
2z12
2z
2 2
6z32 .
所用变换矩阵为
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2
y3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
x3 0 0 1 y3
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 y12 y22 .
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
1 2,
C 1 0.
0 0 1
2x22 5x32 6x2 x3
去掉配方后多出来的项
2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
y2 2 y3
于是A的特征值为1 3, 2 3 4 1.
当1 3时,解方程( A 3E)x 0,
1
1
得基础解系 1
11,
1
单位化即得
p1
1 2
111.
当 2 3 4 1时,解方程( A E )x 0,
可得正交的基础解系
1 0 1
2
10 ,
3
0 1
,
2