大学物理课件 机械振动
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超前与滞后只具有相对意义
但是对于有因果关系的两个振动，它们相位的超前与 滞后是确定的
振幅 A和初相 的确定
设t 0时，x x0，v v0 代入物体的振动方程与速度方程
x Acost
v dx Asint
dt
则有v0x0AAcossin
(1) (2)
A
x02
v0
2
第二篇 机械振动 机械波
概述
• 振动和波——物理量在时间和空间上反复变化的 运动形式
机械振动（波）：物体位置的往返变化 振动和波 电磁振动（波）：电磁参量的往返变化
• 振动和波动理论的发展
经典力学 波动理论
电磁波理论
声学 无线电技术 地震、海洋学科
非线性波（孤波） 生物振子 经济物理
振动和波动理论是声学、建筑力学、光学、地震 学、无线电技术、原子物理学等领域的基础
§6.1 简谐振动
• 振动——一个物理量在平衡位置附近作往复变化
• 机械振动——物体位置在某中心附近往复变化
m o
m o
（a）单摆 （b）扭摆 • 简谐振动——最简单的运动形式
m o
（c）弹簧振子
特点 1、周期性。物理量某个时间后可完全重复 2、有一个平衡位置
条件
1、回复力：指向平衡位置的力 2、惯性
周期、频率、角频率的关系
周期T 2 , 频率 1 , 角频率 2 2
T
T
相位与初相
x Acost 振幅 A 和频率 给定 简谐振动物体的运动状态完全由 t 决定 t 称为相位
为t 0 时的相位，称为初相
一个相位值对应唯一一个运动状态
相位相差2整数倍的物体，运动状态相同
两个简谐振动相位差的讨论
tan
v0
x0
(3) (4)
注:由(4)确定的值在 ~ (或0 ~ 2 )范围内有两个值, 将这
两个值代入(1)、（2）式，一定有一个与初始条件不符，舍去！
x Acost
x
A为位移振幅
v dx
（a）o
dt
Asin t
v
vm A为速度振幅 （b）o
a
d2x dt 2
a
2 Acos t
m
X
k g 10(rad s1)
ml
振动方程为 x Acost ，速度方程为 v Asint ,
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02
v0
2
0
1 10
2
0.1m
k
tan v0 1
x0 10 0
2
v0
A sin
0
sin
0
2
例如：任何一个周期振动函数都可作如下形式展开
f
(t)
a0 2
n1
an
sin
nt
bn
cos nt
这种方式的展开称为傅里叶级数展开
§6.2 描述简谐振动的三个物理量 x Acost
振幅：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值
周期：物体作一次完全振动所经历的时间
频率：单位时间内物体所作完全振动的次数
• 简谐振动的典型例子
➢弹簧振子
o x AX
弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数 为K (倔强系数)。质量为m的小球（质点）。无摩擦。
f
kx
m
d2x dt 2
令 k 2 k
m
m
d 2x dt 2
k m
x
0
d 2x dt 2
2x
0
解的形式 x Acost 或 x Bsint
➢单摆
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
当2 1时， 2 1为初相差，与时间无关
（相差恒定）
若 2k , k 0，1， 2,
两振动同相
若 (2k 1) , k 0，1， 2,
两振动反相
பைடு நூலகம்
若t 2 t 1 ，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1 ，称振动2滞后于振动1。
胡克
本章教学要求： ➢掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相 位）及各量间的关系。 ➢理解旋转矢量法。 ➢掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的 微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振 动的运动方程，并理解其物理意义。 ➢了解阻尼振动、受迫振动和共振。 ➢理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。 了解相互垂直的简谐振动的合成。
小球受到的重力矩为 M mgl sin
根据转动定律
mgl sin
J
ml 2
d 2
dt 2
d 2
dt 2
g l
sin
当角很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
g
l
d 2
dt 2
2
0
等时性原理
• 简谐振动的动力学方程
运动的物理量 x
满足方程
d2x dt 2
2x
0
则该物理量的运动称为简谐振动
方程的解可以是指数函数、正弦函数或者余弦函数，
统一用余弦函数表示：
x Acost
对于弹簧振子： x Acost
k
m
对于单摆：
0 cost
g
l
称为圆频率，由系统本身性质决定,与外界无关。
• 研究简谐振动的意义
（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。 （2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动 是研究其他振动的基础。
似乎并不满足简谐振动的条件。 k
物体在平衡位置o，重力与弹力
平衡，则有： mg kl 0
v0 m
o
m
X
mg kl 0
以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向
当物体运动至某点x时，根据牛顿
第二定律
mg
kx
l
m
d2x dt2
k
整理可得
d2x dt2
k m
x
0
由此可知物体做简谐振动
v0 m
o
振动方程为 x Acos t ， 速度方程为 v Asin t ,
本章重点： ➢描述简谐振动各物理量（特别是相位） ➢旋转矢量法。 ➢简谐振动的运动方程 ➢同方向、同频率的两个简谐振动的合成 本章难点： 振动相位,旋转矢量,简谐振动的合成
内容
§6.1 简谐振动 §6.2 简谐振动的描述——振幅、周期、初相 §6.3 简谐振动的旋转矢量表示法 §6.4 简谐振子的能量 §6.5 简谐振动的合成 §6.6 阻尼振动 受迫振动 共振
v0 m
o
物体的振动方程为：x
0.1cos10t
2
m
m
X
am 2 A为加速度 （c）o
振幅
T
t1 t2 t1 t2
t1 t2
t3
t
t3
t
t3
t
例1、 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上， 弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 表面上看，物体受重力与弹力，
但是对于有因果关系的两个振动，它们相位的超前与 滞后是确定的
振幅 A和初相 的确定
设t 0时，x x0，v v0 代入物体的振动方程与速度方程
x Acost
v dx Asint
dt
则有v0x0AAcossin
(1) (2)
A
x02
v0
2
第二篇 机械振动 机械波
概述
• 振动和波——物理量在时间和空间上反复变化的 运动形式
机械振动（波）：物体位置的往返变化 振动和波 电磁振动（波）：电磁参量的往返变化
• 振动和波动理论的发展
经典力学 波动理论
电磁波理论
声学 无线电技术 地震、海洋学科
非线性波（孤波） 生物振子 经济物理
振动和波动理论是声学、建筑力学、光学、地震 学、无线电技术、原子物理学等领域的基础
§6.1 简谐振动
• 振动——一个物理量在平衡位置附近作往复变化
• 机械振动——物体位置在某中心附近往复变化
m o
m o
（a）单摆 （b）扭摆 • 简谐振动——最简单的运动形式
m o
（c）弹簧振子
特点 1、周期性。物理量某个时间后可完全重复 2、有一个平衡位置
条件
1、回复力：指向平衡位置的力 2、惯性
周期、频率、角频率的关系
周期T 2 , 频率 1 , 角频率 2 2
T
T
相位与初相
x Acost 振幅 A 和频率 给定 简谐振动物体的运动状态完全由 t 决定 t 称为相位
为t 0 时的相位，称为初相
一个相位值对应唯一一个运动状态
相位相差2整数倍的物体，运动状态相同
两个简谐振动相位差的讨论
tan
v0
x0
(3) (4)
注:由(4)确定的值在 ~ (或0 ~ 2 )范围内有两个值, 将这
两个值代入(1)、（2）式，一定有一个与初始条件不符，舍去！
x Acost
x
A为位移振幅
v dx
（a）o
dt
Asin t
v
vm A为速度振幅 （b）o
a
d2x dt 2
a
2 Acos t
m
X
k g 10(rad s1)
ml
振动方程为 x Acost ，速度方程为 v Asint ,
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02
v0
2
0
1 10
2
0.1m
k
tan v0 1
x0 10 0
2
v0
A sin
0
sin
0
2
例如：任何一个周期振动函数都可作如下形式展开
f
(t)
a0 2
n1
an
sin
nt
bn
cos nt
这种方式的展开称为傅里叶级数展开
§6.2 描述简谐振动的三个物理量 x Acost
振幅：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值
周期：物体作一次完全振动所经历的时间
频率：单位时间内物体所作完全振动的次数
• 简谐振动的典型例子
➢弹簧振子
o x AX
弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数 为K (倔强系数)。质量为m的小球（质点）。无摩擦。
f
kx
m
d2x dt 2
令 k 2 k
m
m
d 2x dt 2
k m
x
0
d 2x dt 2
2x
0
解的形式 x Acost 或 x Bsint
➢单摆
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
当2 1时， 2 1为初相差，与时间无关
（相差恒定）
若 2k , k 0，1， 2,
两振动同相
若 (2k 1) , k 0，1， 2,
两振动反相
பைடு நூலகம்
若t 2 t 1 ，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1 ，称振动2滞后于振动1。
胡克
本章教学要求： ➢掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相 位）及各量间的关系。 ➢理解旋转矢量法。 ➢掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的 微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振 动的运动方程，并理解其物理意义。 ➢了解阻尼振动、受迫振动和共振。 ➢理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。 了解相互垂直的简谐振动的合成。
小球受到的重力矩为 M mgl sin
根据转动定律
mgl sin
J
ml 2
d 2
dt 2
d 2
dt 2
g l
sin
当角很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
g
l
d 2
dt 2
2
0
等时性原理
• 简谐振动的动力学方程
运动的物理量 x
满足方程
d2x dt 2
2x
0
则该物理量的运动称为简谐振动
方程的解可以是指数函数、正弦函数或者余弦函数，
统一用余弦函数表示：
x Acost
对于弹簧振子： x Acost
k
m
对于单摆：
0 cost
g
l
称为圆频率，由系统本身性质决定,与外界无关。
• 研究简谐振动的意义
（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。 （2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动 是研究其他振动的基础。
似乎并不满足简谐振动的条件。 k
物体在平衡位置o，重力与弹力
平衡，则有： mg kl 0
v0 m
o
m
X
mg kl 0
以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向
当物体运动至某点x时，根据牛顿
第二定律
mg
kx
l
m
d2x dt2
k
整理可得
d2x dt2
k m
x
0
由此可知物体做简谐振动
v0 m
o
振动方程为 x Acos t ， 速度方程为 v Asin t ,
本章重点： ➢描述简谐振动各物理量（特别是相位） ➢旋转矢量法。 ➢简谐振动的运动方程 ➢同方向、同频率的两个简谐振动的合成 本章难点： 振动相位,旋转矢量,简谐振动的合成
内容
§6.1 简谐振动 §6.2 简谐振动的描述——振幅、周期、初相 §6.3 简谐振动的旋转矢量表示法 §6.4 简谐振子的能量 §6.5 简谐振动的合成 §6.6 阻尼振动 受迫振动 共振
v0 m
o
物体的振动方程为：x
0.1cos10t
2
m
m
X
am 2 A为加速度 （c）o
振幅
T
t1 t2 t1 t2
t1 t2
t3
t
t3
t
t3
t
例1、 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上， 弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 表面上看，物体受重力与弹力，