天津理工电路习题及答案第十章含耦合电感电路
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第十章 耦合电感和变压器电路分析
一 内容概述
1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。
2 互感电路的分析方法：
①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。 3 理想变压器：
①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件；
③理想变压器的阻抗变换特性。
本章的难点是互感电压的方向。具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。 耦合电感
1）耦合电感的伏安关系
耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。
设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有：
dt
di
M dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 122
22
111±=±=
若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： .
1
.
2.
2.
2.
1.
1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±=
其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的
参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。 2）同名端
当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。 2 耦合电感的联接及去耦等效 1）耦合电感的串联等效
两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为：
M 2L L L 21eq ±+= （10-1）
图10-1
（10-1）式中M前正号对应于顺串，负号对应于反串。
2）耦合电感的三端联接
将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种三端联接的电路也可用3个无耦合的电感构成的T型电路来等效，如图10-3所示
计算具有耦合电感元件的正弦稳态电路时，仍采用相量法。但在列KVL方程时要充分注意因互感的作用而引起的互感电压及互感前面的极性。为了分析方便，一般在对含耦合电感的电路分析前先进行去耦等效，然后再用常规的相量分析法分析电路。
3 理想变压器
理想变压器是实际铁心变压器的一种抽象。它具有以下的理想化条件：
①无损耗：变压器原副边电阻为零，R1＝0，R2＝0；
②全耦合：原线圈的磁通全部穿过副线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈，即耦合
系数1
L
L
M
k
2
1
=
=；
③电感无穷大：∞
=
1
L，∞
=
2
L，∞
=
M。
(1)理想变压器的伏安关系
①电压关系理想变压器电压之比等于匝数之比n(惟一参数)，其方向相对于同名端
图10-2
图10-3
一
致，与电流无关，即
n
N N U U 2
1
2
.
1.
±==
（电压对同名端一致取正号，不一致取负号，如图10-4（a ）所示）
②电流关系 理想变压器电流之比等于匝数之比的倒数l ／n ，方向相对于同名端不—致， 与电压无关，即
.
2.
1I n
1I =(电流同进(出)同名端取负号，不同取正号，如图10-4(b)所示)
(2)理想变压器的等效电路
两种形式的等效电路如图10-5所示，一侧为受控电压源，另一侧为受控电流源，它们同时反映电压电流关系。图中等效电路对应原副边同名端处电压极性相同，且电流为同进(或出)同名端的情况，其他情况请读者自行分析。
（3）折合阻抗
变压器原边接上电源S .
U 伴随的阻抗S Z ，副边接上负载L Z ，电路如图10-6所示，则由原边看进去的等效阻抗为L 2
Z n (与电压、电流无关)，称为折合阻抗； 由副边看进去的除源阻抗为
S Z n
1
2 理想变压器是一个既不耗能也不储能的理想二端 口元件，即只传输功率而不消耗功率。
理想变压器可以由铁芯变压器来近似实现，但仅从其模型来看，理论上
并非是唯一的实现途径。
二 例题
例题 10-1 两个具有耦合的线圈如图10-1所示，试根据在K 闭合或打开时，mv 表的偏转方向来判定同名端。
图10-4 图10-5
图10-6
解：假设1和2端为同名端，则)0
(
2
1
2
=
=i
di
di
M
u。K开关闭合时，0
1
>
i且,0
1>
di
di
M因此,0
1
2
>
=
di
di
M
u即
2
u的实际极性与图L10-1所示的参考极性相同，则mv表正向偏转。因此K闭合时，若mv表正向偏转，1与2位同名端；若反向偏转，则1与2'为同名端。
参照以上分析方法，K开关打开时,0
1<
di
di
M若mv表反向偏转，则1与2为同名端；若mv表正向偏转，1与2'为同名端。
例题10-2图10-2（a）所示电路，Ω
=
=
=
=10
,
02
.0
,
01
.0
2
1
2
1
R
R
H
L
H
L，H
M01
.0
=，
,
6
,
/
1000
,
20V
U
s
rad
F
C=
=
=ω
μ求.I及1.U、2.U。
解：图L10-2（a）中耦合线圈为反接串联，其去耦等效电路应如图L10-2（b）所示。
该电路的等效复阻抗为
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
-
+
-
+
+
=
C
M
L
M
L
j
R
R
Z
ω
ω
1
)
(
)
(
2
1
2
1
()
Ω
-
∠
=
Ω
-
=
Ω
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⨯
⨯
-
-
+
-
+
Ω
+
-
4.
63
7.
44
)
40
20
(
10
20
10
1
01
.0
02
.0
01
.0
01
.0
10
)
10
10
(
6
3
3
j
j
设V
U 0
6
.
∠
=
则A
V
Z
U
I
4.
63
134
.0
4.
63
7.
44
6
.
.
∠
=
Ω
-
∠
∠
=
=
图10-2
图10-1