一类变时滞泛函微分方程的解

ｆｔ ｙ （， ）∈ Ｃ（ ｏ ＋ ｏ） 。 ） ， Ｅ ， 。× ， ，
且对任意 （，１Ｙ ） （，２ ）∈ Ｅ ， ｏ × ￡ ，１ ， ｚ ， Ｘ ￡ ｏ ＋ｏ） ， 有
ｔＸ ， １ 一 （， ２ ｌ Ｉ （ ， １ｙ ） ｆ ｔ ， ） ≤ ｆ ２
收 稿 日期 ：０ ０Ｉ一５ 修 改 日期 ：０ １１—８ ２ １一Ｉ２ ； ２ １ —２０
第１ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ２年 １月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤ１ Ｎ ０ＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ １ １１ ， ．
Ｊｎ ａ ．，２ １ ０２
一
类 变 时 滞 泛 函 微 分 方 程 的 解
林 壮 鹏 ，林 瀚。 ，陈 雯 雯
一
厂 ＋ ０） Ｏ， ０ ，
注 １ 当 ｒ ￡ 三 ｒ ０ 即 ｒ￡ 为 常时滞 ） ， （） ＞ （ （） 时 定
理 １显 然 成 立 ．
以 Ｃ（ｔ， ＋ 矗 ， Ｅ。ｔ 。 ］
） 表示 区 间Ｃ。ｔ十 ］上非 负 ｔ， 。
连 续 函数 全 体 。 ｍ， ∈ Ｃ（ ￡，。 九 ， 。 ， 设 ［。ｔ 十 ］ 。 则 ）
究 一类 更一 般 的变时 滞微 分方 程初值 问题
Ｊ（一 （ （， ｒ ）（ （ ，ｔ （ （ ） ≤ ≤ ） ，） 一 ｏ ｘ ） １ ）
Ｉ （）一 （）一 ｒ Ｏ ≤ ｔ ０ ｚ ｆ（ （ ） ≤ ）
Ｘ ￡ ｛ ｏ Ｊ （ （， ｒ ） ｎ） ） 。ｓ ｓ 一（ ） （ 一 （＋ ， ， ） １ １ ｓ ）
那 么
’
ｚ） ）ｊ （ ｓ （ ｒ ） （ （ （＋。 （，ｓ （ ） ２ ￡ ｛ ｏ ， ） － ｓ 出 ） ｘ ）
【 （ Ｏ≤ ｔ ７ ≤ ３
Ｉ
ｅ ｔ ≤ ｅ。 ｓｓ ｒ（） ｋ Ｊｖ） （ ≤ ｔ ｔ＋ 矗 ． ；（ｄ ≤ ｏ ）
的连续 解 ．
特别 地 ， ｋ一 ０时 ， 当 对任 意 ｔ ［。ｔ＋ ］ห้องสมุดไป่ตู้有 ∈ ￡， 。 ，
当 ｔ ［ （）Ｏ ∈ 一ｒ Ｏ ，］时 ， 有
（） ＝ ０（） ．
当 ｔ ０时 ， ≥ 有
２ （）一 ｆ（， （） （ 一 ｒ ￡） ， ２ ｔＸ ， （） ）
ｅ ｔ ｒ （ ）兰 ０ ．
设 （）是初值 问题 （ ）的解 ， ｚ ￡ １ 则 （）连续 ， 且
ｚ（）一 （ ） 一 ｒ Ｏ ￡ （ （ ）≤ ｔ Ｏ ≤ ）， （）一 ｆ（ ， （）ｘ（— ｒ ） （ ｔｚ ， ｔ （） ） Ｏ≤ ｔ Ｄ ． ≤
定理 １ 设 有
（． 圳 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 东 深 圳 ５ ８ ６ ； ２ 浙 江 大 学 理 学 院 ，浙 江 杭 州 ３ ０ ５ ） １深 广 １０ ０ ． １０ ８
摘 要 用 皮 卡 （ ｉ ｒ） 步 逼 近 法证 明一 类 变 时 滞 泛 函 微 分 方 程 初 值 问 题 解 的 存 在 唯 一 性 ， 是 常 时 滞 泛 Ｐｃ ｄ 逐 ａ 它
ｌ （ Ｏ≤ ≤ Ｔ）
Ｉ
ｒ
解 的存 在 唯一性 ． 给 出定 理并 证 明时 ， 在 需要用 到 下
列 一些 已知 的结 果．
在 Ｃ（ 一ｒ Ｏ ， ３ ） ［ （） Ｔ ， 中收 敛 于 （） 其 中 ￡．
示 维欧 几里 得空 间．
表
引理 １ Ｇｒ ｎ ｌ不等 式）２ 记 （ ｏ ｗａｌ Ｌ ］
连续 ， 变 时 滞 泛 函 微 分 方 程 初 值 问 题 （ ）在 区 则 １
（）一一 ａ Ｉ （） １ ・ ｒ￡ ） ｆ （） ｘ ｔ ＋ ］ Ｘ（ 一 （） ． 要 研究 这 种 方程 解 的性 态 ， 先 要 知道 该 方程 首 的解是 否存 在 ， 如果 存 在 ， 否 唯一 ． 是 只有 在解 的存
● 。
函微 分方 程 相 应 结 论 的 推 广 ． 用 该 结 论 可 构 造 出一 个 新 实 例 ． 利 关键 词 变 时 滞 泛 函微 分 方 程 ； 的 存 在 唯 一 性 ； 卡方 法 解 皮 中图分类号 ０ ７．４ １ ５ １ 文献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ —３ ９２ １ ） １０ ３ —５ ０ ８１ ９ （ ０ ２０ —０ ５０
在 唯一 性条 件下 ， 能去研 究它 的解 的性 态． 文研 才 本
间 ［ ｒ Ｏ ， 上 存在 唯一解 （） 且迭代 序列 一 （ ） Ｔ］ ￡，
Ｘｔ ｛Ｏｏ ￡、， ｏ 一 ）≤ ≤ ） （ （（ ） Ｔ、
ｆ ￡ （）
ｆ ￡（ ｒ Ｏ （） 一 （ ）≤ ｔ Ｏ ， ≤ ） （ ｒＯ ≤ ｔ Ｏ ， 一 （） ≤ ）
证 明 分 五个 步骤证 明如下．
当 ｔ Ｅ。ｔ＋ ］时 ， 有 ∈ ｔ， 。 若
ｒ ｔ
步骤 １ 求 解初 值 问题 （ ） 价 于求积 分方程 １等
ｆ（） ｒＯ ≤ ｔ Ｏ ， （） ≤ ）
（）≤ ｋ Ｉ （） ｓｄ （ ￡ ＋ ｓ （） ｓｋ≥ Ｏ ， ）
Ｊ ｌ ０
时滞微 分 方 程 是一 类 重 要 的泛 函微 分方 程 ， 它
Ｌ（ 一Ｘ ｝ Ｉ ） ｉ 。＋ 一Ｙ Ｉ Ｙ
续导 数 的正值 函数 ， 且存 在正 数 ＞ ０ 使 ，
１一 ｒ （ ）≥ ＞ ０ （ Ｏ≤ ｔ Ｔ） ≤ ． 又 设
．
在 许 多领 域 中都 有 应用 ． ［ ］研 究 过 一类 变 时 滞 文 １
微 分 方程
其 中 Ｌ≥ ０ 常数 ． ｒ ￡ 是 ［ ， （ 为 设 （） Ｏ 刀 Ｔ＞ Ｏ 上 有连 ）
ｚ（ ： ） 一∑口 ￡ ｘｔ＋１・ （ ｉ） ￡ ） （ ］ｘｔ （ ） （Ｅ ） —ｒ
ｉ １ ＝
解 的性 态． 上述方 程 的一 种特殊 情况 就是 方程
（） ［ ｒ０ ，］一 ￡ ： 一 （）ｏ