正交变换-小波变换

1 连续小波变换(CWT)
设 x ( t ) 是平方可积函数 x ( t ) L ( R )， ( t ) 是基本小波或 母小波(mother wavelet)函数，则：
2
W T (a , )
1 a
x ( t )
*
(
t a
) d t x ( t ),
a ,
(t )
2
2 离散小波变换(DWT)
正交小波基的构造
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 已知正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。 正交归一的尺度函数集难以确定，一般是找到一组满足二尺度 方程又满足频域Reisz条件的函数：
1 2

0
( )
2

d
1 连续小波变换(CWT)
小波变换没有固定的核函数，必须满足条件：

容许条件(内积定理存在条件)： 2
c
( ) 必须具有带通性质， ( t ) 是正负交替的振荡波形。



( )
0

d
(0 )


(t ) d t 0
2
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
j x 0 0
x (t )
c
j k
jk
a j , k ( t )
0 0

，并且权重如何求得？ 框架理论 (Frame theory)解决了这2个问题。
2 离散小波变换(DWT)

在Hillbert空间定义线性变换 T x j x ( t ), j ( t ) x , j ， 如果要求能用Tx表征x，则此变换至少能满足以下条件： 1.唯一性：如果x=y,则Tx＝Ty
称为x(t)的小波变换。 a 为尺度因子，对基本小波进行伸缩。

为平移因子。
1 连续小波变换(CWT)
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩 放系数越小， 则小波越窄，如图3-14所示。 f (t )
O f (t ) f (t )＝ (2t )； sc al e＝ 0 .5 t f (t )＝ (t )； sc al e＝ 1
j0
j ,0
(t ) 2
j 2
(2
j
t ) V j ，而Vj包含于
可以表示成为
j 1, k

j ,0
(t )
h
k
0k

(t )
类似地，存在：
( t ) 的线性组合： t t ( j ) 2 h0 k ( j 1 k ) 2 2 k
j 1, k
j

j
x,
2 j
x
2
( j j )
2 离散小波变换(DWT)
小波框架理论：
把框架理论中的函数 j 便可构成一个小波框架。
j z 改成小波函数
jk j z ,k z
根据框架理论，对于紧框架信号重建为：
x (t )
1
A
对应的离散小波变换为：
W T x ( a 0 , k 0 )
j

x ( t )
*
a j 0
(t ) d t
k 0
实际计算是通常取 a 0 2 ， 0 1 ，此时即为离 散二进小波变换。
2 离散小波变换(DWT)

问题1：能不能由 W T ( a , k )稳定地重建x(t)? 问题2：是不是任意函数x(t)都可以分解：
能量的比例性:类似于Parseval定理


0
da a
2


W T x ( a , ) d c
2


2
x ( t ) dt
正规性条件：使得小波在频域上具有较好的局域性能。


t ( t ) d t 0, p 1 n
p
W T x ( a , ) 随a的减小而迅速减小。
小波函数的线性组合将生成 L2 ( R ) 空间的一个闭子空间 当j也取不同值时，便得到一个子空间系列W j j z ，它 给出了L2 ( R ) 空间的一个直和分解。 若母小波是正交的，那么子空间 W j 是相互正交的。由W j 构造另外一个嵌套子空间序列 V j j z ：
W； j
P j 1 x ( t ) P j x ( t ) D j x ( t )
Pj x (t )
D j x (t )

k
k
x ( t ),
x ( t ),
j ,k
(t )
j ,k
(t )
(t )

j ,k
(t )
j ,k
2 离散小波变换(DWT)
二尺度差分方程
对于任意子空间Vj， 构成Vj-1中，所以
V j W j 1 W j 2
V j 1 V j W j
V j V j 1 W j 1
2 离散小波变换(DWT)
对于子空间V0，若存在一个尺度函数 ( t ) ，使得 0 , k ( t k ) j 构成V0的一个标准正交基，那么 j 2
二尺度差分方程的性质
(1) h0k与h0k的和： h 0 k
(2) 频域关系式：
k
2
h
k
1k
0
2 ( 2 ) H 0 ( e 2 ( 2 ) H 1 ( e
(3) 频域初值：
j
) ( ) ) ( )
2
H 0 (e H 1 (e
j
) )

k k
h0 k e h1 k e
j
2 离散小波变换(DWT)
框架理论：
满足以下条件的函数 j j z 构成一个框架：
B x
2 2 j


j
x,
A x
2
当A＝B时称为紧框架。 满足上式条件的框架 j j z 不一定是正交的。 如果A＝B＝1，则
j
组成一组正交基。
j ,
2 离散小波变换(DWT)
连续小波变换中尺度因子和平移因子是连续的，实际 计算应用中需要进行离散化处理。 尺度因子通常按幂级数做离散化，平移因子一般以某 一间隔做均匀采样。离散小波的定义为：
a j , k ( t ) a 0 ( a 0 t k 0 )
2
0 0

j
j
尺度函数

是子空间Vj的一个标准正交基。 对于子空间W0，若存在一个带通函数 ( t ) ，使得 构成W0的一个标准正交基。那么
j ,k
(t ) 2
(2
t k)
0 ,k
(t k )
j
(t ) 2 j ,k
j 2
(2
t k)
是子空间Wj的一个标准正交基。 信号x(t)在子空间Vj＝1可以分解为其在该空间的投影和误差之和：
1 0 ( t ), 0 0 ( t ) ( t ) 2 12 2 1 0 1 h1 0 ( 1) h 0 1 , h1 1 ( 1) h 0 0 2 2 t 2 ( ) 2 h1 k ( t k ) ( t ) ( t 1)
j k
x ,
jk
jk ( t )
1
WT A
j k
x
( j , k ) jk ( t )
如果 A B ，A和B比较接近时，信号重建为：
x (t )
是逼近误差 ，与A、B的值关系很大。Daubechies推 导了A，B与 a 0 0 以及 不同小波函数 ( )之间的
框架理论：
2.正变换的连续性：如果x与y很接近,则Tx和Ty也很接近：

j
x,
2 j
B x
2
,0 B
3.反演连续性：如果Tx和Ty 很接近,则x与y也很接近：

j
x,
2 j
A x
2
,0 A
满足以下条件的函数构成一个框架： 2 2 x, j A x , 0 A
关系。
AB
j k
2
x ,
jk
jk ( t )
2 离散小波变换(DWT)
多分辨率分析
多分辨率分析思想为构造标准正交小波基提供了有效方法。 假设存在一个母小波 产生的小波
jk
j ,k
( t ) ，正交或非正交，由它所
。对每个j，当k取值不同时，
j z ,k z
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
解：先求出权系数h:
k 0 : h0 0
1, 0 t 1 设已知尺度函数： ( t ) 0, 0 t , t 1 构造小波函数：
k 1 : h 0 1 1 0 ( t ), 0 1 ( t )

时移性 尺度转换
x (t t0 ) W T x ( a , t 0 )
t

a t0 x ( ) W Tx ( , ); 0 内积定理(Moyal定理)
1 2
W T x ( a , ) x1 ( t ), a ( t ) , W T x ( a , ) x 2 ( t ), a ( t ) W T x ( a , ), W T x ( a , ) c x1 ( t ), x 2 ( t ) , c
图像变换－小波变换
小波变换(Wavelet Transform)



信号分析是为了获得时间和频率之间相互关系。 傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关 时间的局部化信息却基本丢失。 与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小 波的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母 小波来获得信号的时间信息。 小波分析把一个信号分解为将母小波经过缩放 和平移之后的一系列小波和，可以理解为用经 过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变 换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
h1 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
2 离散小波变 换(DWT)
)
(
t a
)
其差别是频域中的能量幅度大小不同。
1 连续小波变换(CWT)
连续小波变换的性质(线性变换)：

线性
z ( t ) k 1 x ( t ) k 2 y ( t ) W T z ( a , ) k 1W T x ( a , ) k 2W T y ( a , )
1 连续小波变换(CWT)

连续小波逆变换公式：
f (t )
1 c

0
da a
2
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W T x ( a , ) a ( t ) d
1 连续小波变换(CWT)
几种常用的基本小波：

Harr小波(正交小波) Marr小波(Mexico小波) Morlet小波(最常用的复小波) 样条小波 Daubechies小波
O
t
f (t ) f (t )＝ (4t )； sc al e＝ 0 .2 5
O
t
图3-14 小波的缩放操作
1 连续小波变换(CWT)
(2) 平移。平移就是小波的延迟或超前。在数学上， 函数f(t)
延迟k的表达式为f(t-k)，如图3-15所示。
(t ) (t －k )
O
t
O
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2


H 1 ( 0 ) 0
1

2
j 1
2
H 0 (2

j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )