一类积分因子的存在条件及应用

故 可得原 方 程 的通 解 满足
—
二 — ｃ。 （ ｚ。＋ Ｙ 专 ）
其 中 Ｃ为任意 常数 ．
寻求 一 阶微分 方 程混合 积 分 因子并 不是 一件 容
易 的事 ， 一般 的教 科 书只 介绍 了 只与 ３ 或 只与 Ｙ 有 ５ ＂ 关 的积 分 因子 ， 或依 据 经 验 通 过 观察 来 寻求 积 混 合 分 因子 ． 里我们 讨 论 并 证 明 了一 类 乘 积 型积 分 因 这 子 存 在 的充 要条 件 ， 合 实 例 给 出 具有 上 述 形 式 积 结
３ｆＭ ） （ｇ
—
—
［ｚ（ ） ｃ） ｎ — ｇ２ （ 一 Ｚ（ ２１ Ｈ Ｍ
ｋ ｍ ） ／ｇ ｚ）Ｎ（ ｘ ４Ｃ Ｙ） Ｎ ｘ ｌ｛（２［ ａ －Ｓ 一 ａ Ｘ
Ｍ（ ４ ｃ Ｈ ） ｝一 Ｆ（ １ ， －ｔ Ｙ ］ ｘ ｚ ） （） ３
则方 程 （ ） 有积 分 因子 ４ 具
其 中 ａ ｂ ｆ ｍ， ｋ ａ ，， 是 任 意常 数 ， ， ， ， ，， ， ｓｔ ｙ 而
Ｚ １一 ａｃ ｂ ＋ Ｃ ， ３ ＋ ｙ Ｘ
ｚ ２一 撇 ＋ ｎ ｙ．
满 足
证 明 由全微 分方 程 定 义 可知 ， （ ）是 方 程 式 ２
（ ）的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 ［ １ ５ ］
先 求方 程 （ ） ４ 的积 分 因子 厂 ） 足 的条件 ， （ 满 再从 中
整 理 出 函数 ｇ ） 要 满 足 的关 系 式 ， 而 选 取 适 （ 所 进 当的 ／ ） 确 定 出 ｇ ） （ ， （ ． 例 １ 求解 微分 方程
（ ＋ Ｙ ） ｘ＋ （ ＋ 。 ｄ 一 ０ ｚ 。ｄ ） ｙ ．
（ 州 师 范 学 院 数 学 系 ，浙 江 湖 １３ ３ ０ ） 湖 Ｉ １０ ０
摘
要 讨 论 一 阶 常 微 分 方 程 的 积 分 因子 问题 ， 出方 程 具 有 形 如 厂 一 ＋ 给 （
．
＋ 衄 ） ｒｘ ｇ（ｎ ＋ ｎ ｙ）
的积 分 因 子 的 一 个 充 要 条 件 ， 结 合 实 例 分 析 该 形 式 积分 因 子 的 求 解 方 法 ． 并 关 键 词 一 阶常 微 分 方 程 ； 分 因 子 ； 要 条 件 积 充 中 ｌ￣ 类 号 Ｏ１ ５ １ ｌ ｉ ］ ７ ． 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０—３ ９ ２ １ ） ３０ １—２ ０ ８１ ９ （０ ２０ —０ １０
Ｅ ］陈 明玉 ． 阶 常 微 分 方 程 形 如 （ 。 妇 ） 分 ４ 一 ＋ ｙ＋ 积 因子 的充 要 条 件 ［］ 大 学 数 学 ，０５ ２ （ ）１ ０１ ３ Ｊ． ２ ０ ，１ １ ：３ ３ ． ［ ］王 高 雄 ， 之 铭 ， 思 铭 ， ． 微 分 方 程 ［ ． ５ 周 朱 等 常 Ｍ］ ３版 ． 北 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，９ ３ ３～ ９ 高 １８ ：９４ ．
第 １ ５卷 第 ３期
２１ ０ ２年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ Ｄ Ｉ ＥＳ Ｎ Ｉ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ５。 ． １ １ Ｎｏ ３
Ｍａ ｙ，２０１ ２
一
类 积 分 因子 的存 在 条 件 及 应 用
韩 祥 临 ，陈 星 海
参 考 文 献
ａ 一 ８ — ４， ｆ ＝ ｓ＝ ｔ一 是 一 Ｚ＝ ＝ ＝２。
则 有
１＝ ３ ＋ Ｙ ２ ＋ ２ Ｙ ｘ ， ２一 Ｘ ＋ 。 ．
Ｅ３张 海 燕 ， 扬 ， 洁 ． 复 合 型 积 分 因子 的存 在 定 理 及 应 １ 戴 陈 新
用 Ｅ］ 皖 西 学 院学 报 ，０ ７ ２ （） ７９ Ｊ． ２ ０ ，３ ２ ：－．
分 方 程 研 究 ． ｍａＩｘｈ ｎ ５ ＠ １ ３ ｃ ｍ Ｅ ｉ： ｌ ａ ６ ３ ６． ｏ 陈 星 海 （ ９ ２ ） 男 ， 江 绍 兴 人 ， 学 与 应 用 数 学 专 业 １８ － ， 浙 数
一ｇｚ ｅ ［ （ ）ｚ ． （ ） ｐＩ ｚ ｄ１ ２ｘ Ｆ １ ］
定 理 ２ 推论 １ 是 的一个直 接结果 ， 证明过程从 略． 注 ２ 将式 （ ） 以整 理可 得 ５ 加
ｈ ｖｎ ｎ ｅ ｒ ｌ ａ ｔ ｒ ｏ ｈ ｏ ｍ 厂（ ＋ ａ ｉｇ ｉ ｔｇ ａ ｃｏ ｆｔ ｅ ｆｒ ｆ 姗
ｉｌ ｓ ｒ ｔ ｕｒｍ ｅ ｈ ｄ． ｌｕ ｔ ａ ｅ ｏ ｔ ｏ
＋ 凹 ） ｍｘ －ｎ ． Ａｎ ｅ ａ ｌ ｓｇ ｖ ｎ ｔ ｇ（ ４ ｙ ） ｘ ｍｐ ｅ ｉ ｉｅ ｏ
积 分 因子 ．
一ｇｚ）ｘ［Ｆｚ）ｚ 一Ｚ２ （ ｅｐＩ（１ １ ２ ｄ ］ 一． ２
用 积分 因子 乘原方 程 的两端 ， 得
（ ＋ ） ｚ 号
墨 ＋ ±
从 注 ２ 以得 到形如 式 （ ）的积 分 因子 的求法 ． 可 ２
（ ＋ ） 号
± 挚 一０ ，
结合 目前 对一 阶 常微 分方 程混 合 型积 分 因子 的
研 究 ＿ ， 文 重 点 讨 论 具 有 一 种 乘 积 形 式 积 分 因 】 本 子 的求 解 ， 明方程 证
Ｍ （ ） ｘ＋ Ｎ （ ） ｙ 一 ０ ｘ， ｄ ｘ， ｄ （） １
ｇ Ｏ Ｎ ｆ＋ 括
＋
２１ ０ ２年 ５月
Ｃ Ｓ Ｘ
） Ｍ（ｐ ＋ ｃ ） ＋ 一 ｂｙ ｔＹ ］ ｘ
ａ Ｍ
—
ｇ（ ） 一 Ｚ Ｚ２ ２，
ａ Ｎ１一 ｇ （ ２ Ｚ）
于 是 ， 方 程 有 积 分 因 子 原
ｒ
ｆ一
’
通 过选 取适 当的函数 Ｆ（ 使得 等式 右端仅 为 的 ｚ） 函数 ， 可确定 出函数 ｇ ｚ ）从 而求 出原 方程 对 应 的 （ ，
则 得
Ｉ ｅ ｒ ｌＦａ ｔ ｒ ｆ Ｐｒ ｄ ｔＦｏ ｍ ｎ ｔ ｎｔ ｇ ａ ｃ ｏ ｓｏ ｏ ｕｃ ｒ ａ ｄ Ｉ ｓ Ａｐｐｌｃ ｔｏ ｉａ ｉ ｎ
Ｈ ＡＮ ａ ｇｌ ＣＨ ＥＮ ｎ ａ Ｘｉｎ ｉ ｎ． Ｘｉ ｇｈ ｉ
（ ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ａ ｈ ｍａ ｉｓ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ，Ｈ ｕ ｈ ｕ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏ ｌｇ ，Ｈ ｕ ｈ ｕ ３ ３ ０ ｃ ｚ ｏ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ ｚ ｏ １ ０ ０，Ｐ ＲＣ）
一
３
ａｚ
也 即
ｇ￣ ｆ ， Ｍ ４ ＋Ｍ ． ｇ 一
收 稿 日期 ： ０ １ ０ ～ ５ 修 改 日期 ： ０ ２ ０ ５ ２ １ － ３０ ； ２ １ ４０
厂ｚ 一ｅ ［ （ ） １ （） ｘ Ｉ ｚ ｄ ］ １ ｐＦ ｚ，
从 而方 程 （ ） 有积 分 因子 １ 具
１
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
２１ ０ ０届 本科 生 ． ｍａ ：ｉｇ ａｃ ｅ ＠ｈ ｔ．ｊｃ Ｅ ｉ ｘｎ ｈ ｉｈｎ ｕｃｚ ｎ ｌ ．
－
ｋ。’‘— Ｆ（ ［ ∞ 。。。 １ ｚ）Ｎ（ 。。 ‘ 。。’ｋ ｛ 。ｍｘ。 Ｎ。’。 。’’－ 。。‘—
４ －
１ ２
高 等 数 学 研 究
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｆｒ ｔｏ ｄ ｒ ｙ ｒ ｓ ｉ ｓ— ｒ ｅ ｏｒ ｉ ｒ ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｅ ａ ｉ ｎ， ｉ ｅ ａ ｆ ｃ ｏ ｏｆ ｐ ｏｄ ｔ ｆ ｒ ， ｄ ｎａ ｙ ｆｅ ｅ ｉｌ ｑｕ ｔｏ ｎｔ ｇｒ ｌ ａ ｔ ｒ ｒ ｕｃ ｏ ｍ
ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｕｆｉｉ ｎｔｃ ｄｉｉ ｎ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎｄ ｓ ｆｃｅ ｏｎ ｔｏ
解
比照 方 程 （ ） 可 记 １，
Ｍ （ ） 一 ＋ Ｙ ， ｘ， 。
Ｎ （ ） 一 Ｙ＋ ２ ｘ， ２ １ ，
另 取
ｍ — … ａ ｂ １．
分 因子的求 解方 法． 而 提 供 了一 种 利用 该 乘 积 型 从
积 分 因子求 解 常微分 方程 的方 法．
ａ — ｂ 一 ０。 Ｃ 一 １．
的积 分 因子 的存 在条 件 ， 结 合 实 例 给 出 上述 形 式 并
积分 因子 的求 解方 法 ．
定理 １ 常微 分 方 程 （ ）具 有 形 如 式 （ ）的积 １ ２
分 因子 的充要 条件 是成 立
即 得文 Ｅ ］的定 理 １ 因此 ， 理 １ 对 已有 相 关 结 ４ ． 定 是
，
展开 并整 理 即得式 （ ） 于 是结论 成 立． ３，
注 １ 在 定理 １中若取
ｍ — — ｋ — Ｚ一 １，
具 有 形 如
－（ 。 ｂ ＋ Ｃ ｇ（ ｘ －ｎ 厂 甜 ＋ ｙｐ Ｘ Ｙ ） ｍ ４ ｙ ） （） ２

即得文 ［ ］的定理 ｌ 若 取 ３ １ ．
基 金 项 目 ： 江 省 新 世 纪 教 改 项 目 （ Ｃ ９ ６ ） 浙 江 省 精 品课 程 项 目 浙 Ｚ ＯＯ３ ； （ 微 分 方 程 ） 湖 州 师 范 学 院 重 点 教 改 项 目（ Ｊ ０ ０ ４ 常 ； Ｇ Ｂ ９０） 作 者 简 介 ： 祥 Ｉ １ ６ －）男 ， 东沾 化 人 ， 士 ， 授 ， 要从 事 微 韩 临（ ９ ５ ， 山 博 教 主
果 的推广 ．
推论 １ 若存 在 函数 Ｆ（ 使 有 ２）
（ 一 ） Ｚｇ ２口 ＋ １ （）Ｎ ｚ［
ｃ ｘ ｙ 一 配 ～ 一 ｃ ｘ ｙ ］＋ Ｎｓ Ｍｔ
（ ）［ａ ｔ 一 ／ （ Ｎａ Ｘ 一 一＋ Ｌ ， － Ｉ ｙ
Ｍ （ ｙ － ｔ Ｈ ） ｂ ￣ ４ ｃｒ ｐ ｃ ］一 Ｆ（ １ ， ｚ）
［２徐 彬 ． 阶 常微 分 方 程具 有 一 种 乘 积 形 式 积 分 因 子 的求 ２ 一
由 定 理 ２ 知 可
｛ Ｚ［（ｚ Ｆ １Ｎ ＋ （）
ＣＣ Ｓ 一 ） ｇ（ｐ ￣ ＋ ｃ ） ＋ Ｓ 一 ｂｙ ｔ Ｙ ］ ｘ ａ － Ｍ ＿
３
解 ［］ 黄 冈师 范 学 院学 报 ，０ ９ ２ （ ）１ －５ Ｊ． ２ ０ ，９ ３ ：３１ ． ［］ 彭 艳 芳 ，黄 春 妙 ． 一 阶 常 微 分 方 程 具 有 乘 积 形 式 ３
ｆ ｘｙ ） （ｘ ＋ ｂ 积 分 因 子 的 求 解 ［］ 孝 感 学 院 学 （ Ｐｇ ａ ｙ ） Ｊ．
报 ，０ ８ ２ （ ） ３—４ ２ ０ ， ８ ６ ：３ ３ ．
ｖ ） 茅一 … Ｊ ２ ２一１ ） 一， ～ ． 。
一 ３ｘ
此 时 可选取
Ｆ（ ｚ ）一 ，
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐａ ｒ ｄ ｓ ｕｓ ｅ ｈ ｎｔ ｇｒ ｌｆ ｃ ｏ ｆ ｐｒ ｕｃ ｏｒ ｓｒ ｃ ： ｉ ｐｅ ｉｃ ｓ ｓ ｔ ｅ ｉ ｅ ａ ａ ｔ ｒ ｏ ｏｄ ｔ ｆ ｍ ｆ ｒ ａ ｆｒ ｔｏｒ ｅ ｄ ｎａ ｙ ｏ ｉ ｓ— ｄ ｒ ｏｒ ｉ ｒ ｄ ｆｅ ｅ ｉ １ｅ ａ ｉ ｎ．Ａ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕｆｉｉ ｎ ｏ ｉｉ ｎ ｉ ｓ ａ ｌｓ ｄ ｆ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ｔｏ ｉｆ ｒ ｎｔａ ｑｕ ｔｏ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆｃｅ ｔｃ ｎｄ ｔｏ Ｓ ｅ ｔ ｂ ｉｈｅ ｏｒｄｉｆ ｒ ｎ ｉ １ｅ ｕａ ｉ ｎｓ
则 方 程 （ ） 有 积 分 因 子 １具
ｆ ｚ） ２ ） Ｎ ｍｘ （ １ｇ （２ ［ ｋ 卜 一Ｍｎｙ ］ ： ｌ Ｈ ）＝ ：
１
ｆ（ １ ｇ（ ） ｚ ） ２ ’
（ ３）
ｆ ｚ） ｅｐ Ｉ （１ｄ１． （１ 一 ｘ ［Ｆ ｚ）ｚ］
定理 ２ 若 方程
ｇ（ ２ Ｍ ｄ ４ ｇ（ ２ Ｎ ｄ 一 ０ ｚ） ｘ － ｚ） ｙ （ ） ４