1-2第二节 裂纹尖端场
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n
在裂纹面
σ 32 θ = ±π = 0
An e
± i 2 λn π
− An = 0
e i 4 λ n π = 1 ⇔ λn = n / 2 n = 0， 1， 2 K ± ,±
n所应满足的条件
物理上， |z| 0时，位移应当有限，则
n
n
0
=0, 位移为常数，对应着刚体位移，对应的应力为0
φ ( z ) = ∑ An z n / 2 , z = re iθ
The stress is singular！
σ 31 = −
σ 32 =
µ
2 r
C sin(θ / 2)
C≡−
µ
2 r
C cosLeabharlann Baiduθ / 2)
π µ
2 K III
σ 31 = −
K III sin(θ / 2) 2πr
σ 32 =
K III cos(θ / 2) 2πr
r →0
KIII即称为III型应力强度因子 即称为 型应力强度因子
1/ 2 u1 K I r cos(θ / 2)[κ − 1 + 2 sin 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π sin(θ / 2)[κ + 1 − 2 cos 2 (θ / 2)]
σ 11 1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2) KI cos(θ / 2)sin(θ / 2) cos(3θ / 2) σ 12 = 2πr σ 1 + sin(θ / 2) sin(3θ / 2) 22
λn + 1 > 0
故
λn = − ,0, ,1,...
1 2
1 2
当 λn = −
1 2
1/ 2 u1 K II r sin(θ / 2)[κ + 1 + 2 cos 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π − cos(θ / 2)[κ − 1 − 2 sin 2 (θ / 2)]
f = r λn ,
χ = An sin λnθ + Bn cos λnθ
∇ 2U = ∑ r λn ( An sin λnθ + Bn cos λnθ )
n
不妨取
U = ∑ r λn + 2 Γn (θ )
n
′ Γn′(θ ) + (λn + 2) 2 Γn (θ ) = An sin λnθ + Bn cos λnθ
K I = lim 2π rσ 22 (θ = 0 )，
r →0
K II = lim 2π rσ 12 (θ = 0 )
r →0
非0解要求 解要求
(λn + 1) (λn + 2)
2
cos(λn + 2)π (λn + 2) sin(λn + 2)π
cos λnπ
λn sin λnπ
=0
因此, 因此
1 3 (λn + 1) 2 (λn + 2) sin 2λnπ = 0 ⇒ λn = 0,± ,±1,± , K 2 2
物理要求 :位移在裂尖处有限 位移在裂尖处有限
Γn (θ ) = C1n sin(λn + 2)θ + C2 n cos(λn + 2)θ + C3n sin λnθ + C4 n cos λnθ
σ θθ = ∑ r λ (λn + 2)(λn + 1)[C1n sin(λn + 2)θ + C2 n cos(λn + 2)θ + C3n sin λnθ + C4 n cos λnθ ]
第二节 裂纹尖端场
反平面问题（III型裂纹问题）
对III型裂纹问题
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
∇ 2u3 = 0
φ ( z ) = u 3 + iψ 3
对|z|很小，
φ ( z ) = ∑ An z λ
n
σ 31 − iσ 32 = µφ ′( z )
σ 31 − iσ 32 = µ ∑ An λn z λ −1
2 2
代入裂纹面的边界条件 C1n = C3n = 0 (λn + 1)(λn + 2)[C2 n cos(λn + 1)π + C4 n cos λnπ ] = 0
+
1 ∂U r ∂r
− (λn + 1)[(λn + 2)C2 n sin(λn + 1)π + λnC4 n sin λnπ ] = 0
∞
σ 32 = ∑
nµ n / 2−1 r [Cn cos(n / 2 − 1)θ − Bn sin(n / 2 − 1)θ ] n =1 2
III型裂尖场分析
n=1，
u3 = r C sin(θ / 2), recalling that An e ±inπ − An = 0 ⇒ A1e ±iπ = A1 ⇒ − A1 = A1 ⇒ Re A1 = 0
K III = lim 2πrσ 32 (r ,0)
I型和II型裂纹的尖端场
引入应力函数
∇ U ( x1 , x2 ) = 0
4
x2
∂2 ∂ ∂ 2 ∂ 2U ∂U ∂ 2U 2+ + 2 2 2 + + 2 2=0 ∂r ∂r r∂r r ∂θ r∂r r ∂θ 裂纹面上
1 2
线弹性裂尖场特点
④ 裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数 仅与角θ 有关，而与 r 无关，对于同一种变 形模式，角分布函数是相同的。所以，无 论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何， 裂尖场都是相同的。
• 对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是Ⅰ型和Ⅱ型K场的 线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都 是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。
n
n
σ rθ = −∑ r λ (λn + 1)[(λn + 2)(C1n cos(λn + 2)θ − C2 n sin(λn + 2)θ )
n
+ λn (C3n cos λnθ − C4 n sin λnθ )]
n
σ rθ = σ θθ = σ rr =
1 ∂U 1 ∂ 2U − r 2 ∂θ r ∂r∂θ ∂ 2U ∂r 2 1 ∂ 2U r ∂θ
n =1 ∞
u3 = ∑ r n / 2 ( Bn cos nθ / 2 +Cn sin nθ / 2), Bn = Re An , Cn = − Im An
n =1
∞
σ 31 = ∑
∞
nµ n / 2−1 r [Bn cos(n / 2 − 1)θ + Cn sin(n / 2 − 1)θ ] 2 n =1
x1
σ θθ (r ,±π ) = σ θr (r ,±π ) = 0
利用分离变量法，令
∇ 2U = f (r ) χ (θ )
r 2 d 2 f / dr 2 rdf / dr d 2 χ / dθ 2 + + =0 f (r ) f (r ) χ (θ )
仅为r的函数
仅为 的函数
不难发现
r 2 f ′′ + rf ′ − λ2 f = 0, χ ′′ + λ2 χ = 0 n n
σ 11 − sin(θ / 2)[2 + cos(θ / 2) cos(3θ / 2)] K II cos θ / 2cos(θ / 2)[1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2)] σ 12 = 2πr σ sin(θ / 2) cos(θ / 2) cos(3θ / 2) 22
I型应力强度因子（SIF）
II型应力强度因子（SIF）
r →0
K I = lim 2πrσ θθ (r ,0) = lim 2πrσ 22 (r ,0)
r →0
K II = lim 2πrσ θr (r ,0) = lim 2πrσ 12 (r ,0)
r →0 r →0
线弹性裂尖场特点
• • ① 三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开 式的第二项的情况下得出的场统称K场。 K场具有以下四个特点： 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性 奇异性，即在 奇异性 裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应力， 且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设 成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖 端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的， 但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域 环状区域内K场 环状区域 场 是适用的。
线弹性裂尖场特点
② K场内的位移与r 成线性比例关系。 ③ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强 度因子K I 、K II和 K III决定着其场的强度。SIF取决 于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关， 但是与坐标 ( r ,θ )无关。在K场范围内，应力和应 变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、 应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。
σ rr − cos(3θ / 2) + 5 cos(θ / 2) KI 1 σ θθ = cos(3θ / 2) + 3 cos(θ / 2) 2πr 4 σ sin(θ / 2) + sin(3θ / 2) rθ
σ rr − 5 sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2) K II 1 σ θθ = − 3 sin(θ / 2) − 3 sin(3θ / 2) 2πr 4 σ cos(θ / 2) + 3 cos(3θ / 2) rθ
1/ 2 u r K I r ( 5 − 4v) cos(θ / 2) − 1 cos(3θ / 2)] 2 2 = 7 1 uθ 2 µ 2π − ( 2 − 4v) sin(θ / 2) + 2 sin(3θ / 2)]
1/ 2 u r K II r (− 5 + 4v) sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2)] 2 2 = 7 3 uθ 2 µ 2π − ( 2 − 4v) cos(θ / 2) + 2 cos(3θ / 2)]
在裂纹面
σ 32 θ = ±π = 0
An e
± i 2 λn π
− An = 0
e i 4 λ n π = 1 ⇔ λn = n / 2 n = 0， 1， 2 K ± ,±
n所应满足的条件
物理上， |z| 0时，位移应当有限，则
n
n
0
=0, 位移为常数，对应着刚体位移，对应的应力为0
φ ( z ) = ∑ An z n / 2 , z = re iθ
The stress is singular！
σ 31 = −
σ 32 =
µ
2 r
C sin(θ / 2)
C≡−
µ
2 r
C cosLeabharlann Baiduθ / 2)
π µ
2 K III
σ 31 = −
K III sin(θ / 2) 2πr
σ 32 =
K III cos(θ / 2) 2πr
r →0
KIII即称为III型应力强度因子 即称为 型应力强度因子
1/ 2 u1 K I r cos(θ / 2)[κ − 1 + 2 sin 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π sin(θ / 2)[κ + 1 − 2 cos 2 (θ / 2)]
σ 11 1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2) KI cos(θ / 2)sin(θ / 2) cos(3θ / 2) σ 12 = 2πr σ 1 + sin(θ / 2) sin(3θ / 2) 22
λn + 1 > 0
故
λn = − ,0, ,1,...
1 2
1 2
当 λn = −
1 2
1/ 2 u1 K II r sin(θ / 2)[κ + 1 + 2 cos 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π − cos(θ / 2)[κ − 1 − 2 sin 2 (θ / 2)]
f = r λn ,
χ = An sin λnθ + Bn cos λnθ
∇ 2U = ∑ r λn ( An sin λnθ + Bn cos λnθ )
n
不妨取
U = ∑ r λn + 2 Γn (θ )
n
′ Γn′(θ ) + (λn + 2) 2 Γn (θ ) = An sin λnθ + Bn cos λnθ
K I = lim 2π rσ 22 (θ = 0 )，
r →0
K II = lim 2π rσ 12 (θ = 0 )
r →0
非0解要求 解要求
(λn + 1) (λn + 2)
2
cos(λn + 2)π (λn + 2) sin(λn + 2)π
cos λnπ
λn sin λnπ
=0
因此, 因此
1 3 (λn + 1) 2 (λn + 2) sin 2λnπ = 0 ⇒ λn = 0,± ,±1,± , K 2 2
物理要求 :位移在裂尖处有限 位移在裂尖处有限
Γn (θ ) = C1n sin(λn + 2)θ + C2 n cos(λn + 2)θ + C3n sin λnθ + C4 n cos λnθ
σ θθ = ∑ r λ (λn + 2)(λn + 1)[C1n sin(λn + 2)θ + C2 n cos(λn + 2)θ + C3n sin λnθ + C4 n cos λnθ ]
第二节 裂纹尖端场
反平面问题（III型裂纹问题）
对III型裂纹问题
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
∇ 2u3 = 0
φ ( z ) = u 3 + iψ 3
对|z|很小，
φ ( z ) = ∑ An z λ
n
σ 31 − iσ 32 = µφ ′( z )
σ 31 − iσ 32 = µ ∑ An λn z λ −1
2 2
代入裂纹面的边界条件 C1n = C3n = 0 (λn + 1)(λn + 2)[C2 n cos(λn + 1)π + C4 n cos λnπ ] = 0
+
1 ∂U r ∂r
− (λn + 1)[(λn + 2)C2 n sin(λn + 1)π + λnC4 n sin λnπ ] = 0
∞
σ 32 = ∑
nµ n / 2−1 r [Cn cos(n / 2 − 1)θ − Bn sin(n / 2 − 1)θ ] n =1 2
III型裂尖场分析
n=1，
u3 = r C sin(θ / 2), recalling that An e ±inπ − An = 0 ⇒ A1e ±iπ = A1 ⇒ − A1 = A1 ⇒ Re A1 = 0
K III = lim 2πrσ 32 (r ,0)
I型和II型裂纹的尖端场
引入应力函数
∇ U ( x1 , x2 ) = 0
4
x2
∂2 ∂ ∂ 2 ∂ 2U ∂U ∂ 2U 2+ + 2 2 2 + + 2 2=0 ∂r ∂r r∂r r ∂θ r∂r r ∂θ 裂纹面上
1 2
线弹性裂尖场特点
④ 裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数 仅与角θ 有关，而与 r 无关，对于同一种变 形模式，角分布函数是相同的。所以，无 论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何， 裂尖场都是相同的。
• 对于一般的二维平面裂纹情况，裂纹尖端场是Ⅰ型和Ⅱ型K场的 线性叠加。而对于三维裂纹，裂纹前缘任意一点的奇异场，都 是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。
n
n
σ rθ = −∑ r λ (λn + 1)[(λn + 2)(C1n cos(λn + 2)θ − C2 n sin(λn + 2)θ )
n
+ λn (C3n cos λnθ − C4 n sin λnθ )]
n
σ rθ = σ θθ = σ rr =
1 ∂U 1 ∂ 2U − r 2 ∂θ r ∂r∂θ ∂ 2U ∂r 2 1 ∂ 2U r ∂θ
n =1 ∞
u3 = ∑ r n / 2 ( Bn cos nθ / 2 +Cn sin nθ / 2), Bn = Re An , Cn = − Im An
n =1
∞
σ 31 = ∑
∞
nµ n / 2−1 r [Bn cos(n / 2 − 1)θ + Cn sin(n / 2 − 1)θ ] 2 n =1
x1
σ θθ (r ,±π ) = σ θr (r ,±π ) = 0
利用分离变量法，令
∇ 2U = f (r ) χ (θ )
r 2 d 2 f / dr 2 rdf / dr d 2 χ / dθ 2 + + =0 f (r ) f (r ) χ (θ )
仅为r的函数
仅为 的函数
不难发现
r 2 f ′′ + rf ′ − λ2 f = 0, χ ′′ + λ2 χ = 0 n n
σ 11 − sin(θ / 2)[2 + cos(θ / 2) cos(3θ / 2)] K II cos θ / 2cos(θ / 2)[1 − sin(θ / 2) sin(3θ / 2)] σ 12 = 2πr σ sin(θ / 2) cos(θ / 2) cos(3θ / 2) 22
I型应力强度因子（SIF）
II型应力强度因子（SIF）
r →0
K I = lim 2πrσ θθ (r ,0) = lim 2πrσ 22 (r ,0)
r →0
K II = lim 2πrσ θr (r ,0) = lim 2πrσ 12 (r ,0)
r →0 r →0
线弹性裂尖场特点
• • ① 三种类型裂纹变形情况下的线弹性裂纹尖端场，在不考虑展开 式的第二项的情况下得出的场统称K场。 K场具有以下四个特点： 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性 奇异性，即在 奇异性 裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应力， 且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设 成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖 端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的， 但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域 环状区域内K场 环状区域 场 是适用的。
线弹性裂尖场特点
② K场内的位移与r 成线性比例关系。 ③ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强 度因子K I 、K II和 K III决定着其场的强度。SIF取决 于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关， 但是与坐标 ( r ,θ )无关。在K场范围内，应力和应 变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、 应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。
σ rr − cos(3θ / 2) + 5 cos(θ / 2) KI 1 σ θθ = cos(3θ / 2) + 3 cos(θ / 2) 2πr 4 σ sin(θ / 2) + sin(3θ / 2) rθ
σ rr − 5 sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2) K II 1 σ θθ = − 3 sin(θ / 2) − 3 sin(3θ / 2) 2πr 4 σ cos(θ / 2) + 3 cos(3θ / 2) rθ
1/ 2 u r K I r ( 5 − 4v) cos(θ / 2) − 1 cos(3θ / 2)] 2 2 = 7 1 uθ 2 µ 2π − ( 2 − 4v) sin(θ / 2) + 2 sin(3θ / 2)]
1/ 2 u r K II r (− 5 + 4v) sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2)] 2 2 = 7 3 uθ 2 µ 2π − ( 2 − 4v) cos(θ / 2) + 2 cos(3θ / 2)]