泊松过程日常应用

泊松过程模型及实际应用分析

泊松过程模型及实际应用分析

摘要：

一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。作为计数过程的一种重要数学模型，还是众多重要随机过程的特例。适用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。在日常生活中有着众多应用。

关键词：

泊松过程；模型；实际应用；

0引言：

在日常生活及工程技术领域中，常常需要考虑这样一些问题，即研究在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律。如：在固定时间间隔[0,t)内，经过某路口的车辆数；到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；数字通信中已编码信号的误码数等。这类过程可以通过泊松过程来进行分析。

1泊松过程的一般概念

现假设X(t)满足如下条件：

（1） 在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

（2） 对于充分小的∆t ，

P 1(t,∆t )=P {N (t,t +∆t )=1}=λ∆t +o(∆t)

其中常数λ称为过程X(t)的强度，而o(∆t)当∆t →0时是关于∆t 的高阶无穷小；

（3） 对于充分小的∆t ，

∑P J (t,t +∆t )=∑P {N (t,t +∆t )=j }=λ∆t +o(∆t),∞

j=2

∞j=2

亦即对于充分小的∆t ，在(t,t +∆t )内出现2个或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相比可以忽略不计；

（4） X (0)=0。

我们把满足以上4个条件的技术过程{X(t),t≥0}称作强度为λ的泊松过程。

2泊松过程模型

设随机过程X(t)，

，其状态只取非负整数值，若满足下列三个条件：

（1）

（2）X （t ）为均匀独立增量过程；

[)00,(0)t t t ∈∞≥0{()0}1P t X ==

（3）对任意时刻t 1，t 2∈[t 0,∞) ，t 2

其中，则称 为泊松过程。

3泊松过程的实际应用

在日常生活中会有很多事件随时间推移迟早会重复出现，如在固定时间间隔[0,t)内，经过某路口的车辆数；到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数等等。

为了建立一个一般模型，我们把车辆数、顾客等看做时间轴上的质点出现，即我们研究的对象将是随时间推移，陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流。

以X(t),t≥0表示在时间间隔[0,t)内出现的质点数，{X(t),t≥0}是一状态取非负整数、时间连续的随机过程，称为计数过程。

定义增量X(t)-X(t 0)=X(t 0,t )，0≤t 0＜t ，它表示时间间隔（t 0,t ]内出现的质点数。“在（t 0,t ]内出现ｋ个质点”。即｛X(t 0,t )＝ｋ｝，ｋ＝０,１,２，…。这时，这些质点的分布情况就可以利用泊松过程的公式来表示。

同时在较多实际问题中，通常对质点的观察，不是对时间间隔（t 1,t 2 ]中出现的质点计数，而是对记录到某一预定数量的质点所需21()()X t X t -21()t t λ-[]2121()

1212()(,){(,)}!k t t k t t P t t P X t t k e k λλ---===1221(,)()()X t t X t X t =-()X t

要的时间进行计时。例如，为研究含某种放射性元素的物质，常对它发射出来的粒子来做计时实验。

一般，设质点（或事件）一次重复出现的时刻

t1,t2，……，t n，……

是一强度为λ的泊松流，{X(t),t≥0}为相应的泊松过程，以惯用记号记为：

W0=0,W n=t n,n=1,2,….

W n是一随机变量，表示第n个质点（或事件的第n次）出现的等待时间，为求出W n的分布函数F W

n

(t)=P{W n≤t}。首先注意，事件{W n>t}={X(t)

所以

F W

n

(t)=P{W n≤t}=1−P{W n>t}=1−P{X(t)

n}=∑e−λt(λt)k k!

∞

k=n

,t≥0，

将它关于t求导，得W n的概率密度为

f W

n (t)=dF W n(t)

dt

={

λ(λt)n−1e−λt

(n−1)!

,t>0

0,其他

这就是说，泊松过程的等待时间W n服从T分布。特别，质点（或事件）首次出现的等待时间W1服从指数分布。

f W

1(t)={

λe−λt，t>0

0,其他

4结论

泊松过程可作为计数过程的一种重要数学模型，同时还是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维－伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

5参考文献

[1] 随机信号分析教程——李兵兵马文平等. 高等教育出版社

[2] 概率论与数理统计——盛骤谢式千等. 高等教育出版社

[3] 基于泊松过程的校园车辆调度模型研究——董一凝宴清照等. 清华大学