二次型约束下最值的求解策略

二次型约束下最值的求解策略

在数学中我们将形如

1,ij i j i j n

a x x ≤≤∑

的式子即：

222

1211112121122222(,,,)222n n n n n nn n

f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++L L L L 称为二次型，其中22

121111212222

(,)2f x x a x a x x a x =++是最简单的，在数学高考或自招中，其中不乏有以二次型为约束条件的最值的试题，在此我们讨论在12(,)f x x k =约束下的表达式最值的求解策略．

一、典例分析

1、二次型约束下ax by +的最值

例1．已知,x y R ∈，满足221x y +=，求2x y +的最大值．

变式1：已知,x y R ∈，满足2

2

21x y +=，求2x y +的最大值．

变式2：已知,x y R ∈，满足2

2

221x xy y -+=，求2x y +的最大值．

2、二次型约束下22ax by +的最值

例2．已知,x y R ∈，满足22221x xy y -+=，求222x y +的取值范围．

3、二次型约束下22ax cxy by ++的最值

例3．已知,x y R ∈，满足22221x xy y -+=，求2222x xy y ++的取值范围．

二、归纳总结： 三、练习

1．已知,x y R ∈，满足2

2

922

x y -

=，求23x y +的最小值； 2．已知,x y R ∈，满足2

2

246x xy y ++=，求2

2

4x y +的取值范围； 3．已知,x y R ∈，满足2

2

23x xy y --=，求2

2

23x xy y -+的取值范围．