第一章 波动方程

数学物理方程
§1.2 定解条件
第一章 波动方程
1、初始条件——描述系统的初始状态
波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
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2、边界条件——描述系统在边界上的状况
波动方程的三类边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
x x[ u (x ,t t) u (x ,t)] dx
x
t
t
于是由冲量定理：
t t T [ u ( x x , t ) u ( x , t ) ] d x x t [ u ( x , t t ) u ( x , t ) ] d
t
x x x t t
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
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T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u ( x , 0 ) ( x ), u ( x , 0 ) ( x )( 0 x l ) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
2 u ( t x 2 , t ) a 2 2 u ( x x 2 , t ) f ( x , t )a 2 , T / , f ( x , t ) F ( x , t ) /
类似地，三维波动方程可以表示为：
t 2 u 2 a 2 ( x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 ) f( x ,y ,z ,t )
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简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma y
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
从而有： t t tx x x [ 2 u ( t x 2 ,t ) T 2 u ( x x 2 ,t ) ] d d x 0 t
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进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u ( t x 2 ,t ) a 2 2 u ( x x 2 ,t ) 0 , a 2 T /
而u2(x, t)是方程 t2u 2a2 x 2u 2f2(x,t) 的解，
则对于任意的常数C1、C2，函数 u (x ,t) C 1 u 1 (x ,t) C 2 u 2 (x ,t) 是方程 t 2 u 2 a 2 x 2 u 2 C 1 f 1 ( x ,t) C 2 f2 ( x ,t)的解。
x
(T (
x)ux
)
F
(
x)utt
(
x,t)
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： ➢ 弹性杆的纵向振动 ➢ 管道中气体小扰动的传播 ➢ ………等等
因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
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§1.2 定解条件
列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解 的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移 函数u(x, t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的 具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况 有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某 些特定条件。
§2.2 弦振动方程的达朗贝尔解法
先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情 况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在 较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件 的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这 样的情况下，定解问题归结为如下形式：
T u k u
或
x xa
xa
u x
u
xa
0
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§1.2 定解条件
第一章 波动方程
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边 界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即 个性。
初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。
因此，弦振动方程满足叠加原理
线性方程都满足叠加原理
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线性方程解（线性系统）具有叠加特性
Lu i fi
fi f ui u
Lu f
Lui 0
ui u
Lu 0
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
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第一章 波动方程
§2 达朗贝尔公式、波的传播
§2.1 叠加原理 §2.2 弦振动方程的达朗贝尔解法 §2.3 传波 §2.4 依赖区间、决定区域和影响区域 §2.5 齐次化原理
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第一章 波动方程
从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此 之前，先介绍叠加原理
§2.1 叠加原理
(2)u u xy u 0 x x
一阶非线性，拟线性的
(3) 2u x2 u 0
x 2
y
2u 2u 2u (4) 2 sinx
x 2 xy y2
二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的
2u 3u (5) x2 2 x2y lnu 0
三阶非线性
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课后作业：题1和7，P 6─7。
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长
变形与张力的关系服从虎克定律。
（横振动）
基本规律：
牛顿第二定律（冲量定律）
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研究对象： u(x,t)
y
弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移
M'
ds
T'
'
在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示弦
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦 段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
x F(x,t)dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t t x x
t x F (x,t)dd xt
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于是有：
t t tx x x [ 2 u ( t x 2 , t ) T 2 u ( x x 2 , t ) F ( x , t ) d d ] 0 x t
M
上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在 这条弦上任意取一弦段(x, x+Δx)，它的
gds
T
弧长为 ：
x
x dx x
由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x轴 的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成常数 Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
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§1.2 定解条件
2u(tx2,t)a22u(xx2,t)f(x,t), 2.1
t0:u(x),u(x),
t
2.2
x0:u0
2.3
xl:u0
2.4
要在区域 (0xl,t0)上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
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T T'
其中： m ds
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
2u( x, t ) a t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
u( x, t ) x
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§1 方程的导出、定解条件
§1.1 弦振动方程的导出 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题适定性概念
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第一章 波动方程
物理背景： 波的传播和弹性体振动。
§1.1 弦振动方程的导出
首先，考察弦横振动这个物理问题：
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的 综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不 存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。
典型例子：
➢力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性 ➢复杂的声音——各种单音的叠加 ➢电磁场中的叠加原理
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例如：若u1(x, t)是方程 t2u 2a2 x 2u 2f1(x,t) 的解，
除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的 问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性） 和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。
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回答下列方程是线性的、非线性的？齐次非齐次？阶数？
4u
4u 4u
(1) x4 2 x 2y2 y4 0
四阶线性齐次
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。
一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
•解的存在性：定解问题是否有解； •解的唯一性：是否只有一解； •解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应
的微小变动。
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§1.3 定解问题适定性概念
定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适 定性。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定 的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提 法是合适的。对定解问题的适定性进行一定的分析，可以帮助 我们初步判定所归结的定解问题是否合理、所附加的定解条件 是否合适以及对一个偏微分方程应该如何指定定解条件等问题， 同时也可以对求解定解问题起到一定的指导作用。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
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§1.3 定解问题适定性概念 定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 定解问题的检验
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
狄利克雷（Dirichlet） 边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
T u 0 x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
诺依曼（Neumann） 边界条件
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。
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§1.1 弦振动方程的导出
基本假设：
1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦）
2. 弦在某一个平面内作微小横振动。
弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂 直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅）
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
------齐次方程
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§1.1 弦振动方程的导出
第一章 波动方程
如果弦非均匀，则 和T为x的函数，
T
( sin 2
sin1)
T
(tg 2
tg1)
T[u(x x,t) x
u(x, x
t)]
假设2和假设3
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第一章 波动方程
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT [ u ( x x ,t) u ( x ,t)] dt
t
x
x
另一方面，在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：