D54反常积分合工大

bf(x)dxF(x)
b
F (b )F ()
f(x)dxF(x)
F () F ()
例1.计算反常积分1dxx2 .
解:
1
dx x2
[arctxa] n
( )
22
y y 11x2
o
x
思考: 1xdxx20对吗 ? 分析: 1xdxx21 2ln1 (x2) 原积分发散 !
就称反常积分 af(x)dx发散. 类似地,若 f(x ) C (,b ],则定义 b f(x )d xa l i m a bf(x )d x
若 f(x ) C (, ),则定义 f(x)dxal im acf(x)dxbl im cbf(x)dx
(c 为任意取定的常数)
只要有一个极限不存在,就称 f(x)dx发散 .
就称反常积分ab f(x)dx发散. 类似地,若 f(x ) C [a ,b ),而在b 的左邻域内无界,
则定义 a bf(x )d xl 0 im a b f(x )d x
若 f(x )在 [a ,b ]上c (a 除 c b )外 点,而连 在点c 的续
邻域内无界 ,则定义
abf(x)dxac f(x)dxcbf(x)dx 1 l i0m a c1f(x)dx2l i0m cb2f(x)dx
ab
dx xa
lnxab a
当q ≠1 时
ab(
x
dx a
)q
(xa)1q 1q
b a
(b a)1q , q1
1q
,
q1
所以当 q <1时,该广义积分收敛,其值为 (b a)1q ; 1q
当q ≥ 1时,该广义积分发散
例7.设f(x)(xx 31()x2(x2 )1),求 I 311ff(2x()x)dx.
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质否,则会出现错误 .
例2.证明第一类p 积分
a
dx xp
当 p>1时收敛;p≤1
时发散.
证:当 p=1 时有
a
dx x
lnxa
当 p ≠ 1 时有
a
d x
x
p
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p1
p1 p1
因此,当
若a为瑕点,则 ab f(x)dxF(b)F(a)
若a, b都为瑕点,则
ab f(x)dxF (b)F (a) 注意:若瑕点 c (a,b),则
abf(x)dxF(b)F(c)F(c)F(a)
可相消吗?
例4.计算反常积分
0a
dx (a0). a2x2
解:显然瑕点为a,所以
原式
arcsiaxn
aarc1sin 2
p >1时,反常积分收敛,其值为
a 1 p ;
p1
当p≤1时,反常积分发散.
例3.计算反常积分 0 te p td t(p 0 ).
解:
原式t ept p
0
1p0ept
dt
1 p2
e
pt
0
1 p2
二、无界函数的反常积分
引例:曲线 y 1 与x 轴,y 轴和直线 x1所围成的
x
开口曲边梯形的面积可记作
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明:上述定义中若出现 ,并非不定型,
它表明该反常积分发散.
若F(x)是f(x)的原函 ,引入数 记号
F () lim F (x);F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式:
af(x)dxF(x)a
F () F (a )
山米与白鹤
贝特西.贝尔斯
D54反常积分合工大
定义1.设 f(x ) C [a , ),取ba,若
bl im abf(x)dx
存在 ,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作
a f(x )d x b l i m a bf(x )d x 这时称反常积分af(x)dx收敛; 如果上述极限不存在,
y
A 01dxx
y 1 x
其含义可理解为
Alim 0 1
dx
x
lim2
0
1 x
A
0
1
x
lim 2(1 )2
0
定义2.设 f(x ) C (a ,b ],而在点a 的右邻域内无界,
取0,若极限l i0m ab f(x)dx存在 ,则称此极限为函
数f (x)在 [a ,b]上的反常积分,记作
a bf(x)d xl i0m a b f(x)d x 这时称反常积分ab f(x)dx收敛; 如果上述极限不存在,
无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称 为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点,则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如, 11 xx211dx11(x1)dx
设F(x)是f(x)的原函 ,则也数 有类似牛–莱公式的
的计算表达式:
若b为瑕点,则 ab f(x)dxF(b)F(a)
2
[
2
2
]
[arcta3n2 27
2
]arct3a2n 2
27
内容小结
积分区间无限 1.反常积分
被积函数无界
常义积分的极限
2.两个重要的反常积分
a
dx xp
,
(
p
1 1)ap1
,
p1 p1
(a0)
ab(
dx x a)q
ab(b
dx x)q
(b a)1q ,
1q ,
q1 q1
说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互
相转化.
例如,
1 0
dx 1 x2
02 d t
(令xsin t）
01
x2 x4
1dx 1
1Байду номын сангаас0
1
1 x2
x2
1 x2
d
t
01(xd(x1x)21x)2
02dtt2
(令t x1) x
(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
解：：x0和 x2为 f (x) 的无穷间断点,故 I 为反常 积分.
I 011ff(2x()x)dx021ff(2x()x)dx231ff(2x()x)dx
1ff(2x()x)dx
d 1
f (x) f 2(x)
arcf(x t)a C n
arcf(tx)a 0 1 n arcf(tx)a 02 n arcf(tx)a 23 n
0
例5.讨论反常积分
1
1
d x
x
2
的收敛性
.
所以解下反: 述常1111解积ddxx x2x2法分是1011否ddxx1x正xx22 确发1101:散 dx x21 . 1 1x2 ,01∴积分1x 收 01敛
例6.证明反常积分
ab(
x
dx a
)q
当q
<1时收敛;q≥1
时发散 .
证:当q =1时,