动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用

XX大学

课程名称《变形监测数据处理》2015年5月11日

评语

动态灰色预测模型及其在变形监测中的应用

1. 引言：

在现代测量工程的实践和科学研究活动中，变形监测占有十分重要的地位。科学、实时、准确地分析和预报建筑物、构筑物的变形有着很重要的意义[5]。

灰色系统理论是20世纪80年代，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科[1]。灰色模型是一种研究所需原始信息量少、计算简单以及预测精度较高的方法,主要通过对部分已知信息的生成,开发,提取有价值的信息,实现对系统运行行为,演化规律的正确描述和有效监控[6]。现常用的是灰色预测模型GM(1, 1),但是该模型只是从静态的角度考虑未来时刻的状态,并未把未来可能影响系统状态的因素加入进去,可称之为静态模型。对于一个系统而言,随着时间的推移,系统受干扰的因素不断变化,系统状态也在不断变化。这时若直接套用GM(1,1)模型进行长期预测,一方面预测精度不断降低,另一方面模型未能反映出系统的变化,其预测可信度很小。因此,必须充分引入已知信息来反映系统的变化和状态,或在无已知信息的情况下,用灰色信息来淡化灰平面的灰度,这种模型由于及时地引入了新的已知信息或灰色信息,能够比较准确地反映系统的变化状况,故称之为动态灰色预测模型[8]。因此,较普通的静态灰色模型来说,动态的新息模型和灰数模型在作长期预测时具有更高的优越性[6]。本文对原有的GM(1, 1)模型进行了改进,在选择求解时采用最新的数据,再采用动态GM(1, 1)模型来进行求解,这样预测所得到的数据与真实数据之间产生了更大的联系。

2. 灰色预测模型的建立 2.1 灰色GM （1，1）模型 设非负离散数列为：

()()()()()()(){}

00001,2,x x x x n =

N 为数列长度。对()0

x 进行一次累加生成，即可得到一个生成序列

()()()()()()(){}

11111,2,x x x x n = ，对此生成序列进行一阶微分方程

()

()1

1dx ax u dt

+⊗=⊗ （2-1） 记为GM （1，1）.式中，a ⊗ 和u ⊗ 是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能

值）为[]ˆT

a

a u = 。用最小二乘法求解，得： []()1

ˆ=T

T T N a

a u B B B y -= （2-2） 式中，()()()

()()()()()()

()

()()()()()

1111111211213212

1112

x x x x B x n x n ⎡⎤-+⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦

()()()()()()00023N x x y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 求出ˆa

后代入（1-1）式，解出微分方程得 ()()()()10ˆ11ak u u x

k x e a a -⎛

⎫+=-+ ⎪⎝

⎭ （2-3） 对()()1ˆ1x k + 作累减生成（IAGO ），可得还原数据：

()()()()()()011ˆˆˆ1=1-x

k x k x k ++ 或

()()()()

()00ˆˆ1=1-1a ak u x

k e x e a -⎛⎫+- ⎪⎝

⎭ （2-4） 式（1-3）、（1-4）两式即为灰色预测的两个基本模型。当kn 时；称()()0ˆx k 为模型预测值。

2.2 灰色GM （1，1）模型的精度

灰色GM(1, 1)模型的精度一般用后验差方法来检验。它由后验差比值C 和小误差概率P 共同描述。 设由GM （1，1）模型得到：

()()()()()()(){}

0000ˆˆˆˆ1,2,,x

x x x n = 计算残差()()()()()00ˆe k x k x

k =-1,2,3,,k n =

记原始数列()0

x 及残差数列e 的方差分别为2212,S S ，则

()()()

()2

00

21

1

1n k S x k x n ==-∑ （2-5）

()()22

211n

k S e k e n ==-∑ （2-6）

式中，()

()()0011n k x

x k n ==∑ ；()1

1n

k e e k n ==∑ 然后计算验差比值2

1S C S =

和小误差概率(){}1|e e |0.6745p P k S =-<

一个好的预测模型,要求C 越小越好,一般要求C<0.35,最大不超过0.65。预测模型好坏的另一个指标是小误差概率,一般要求P>0.95,不得小于0.7。

3. 动态灰色预测模型的建立

设原始数列为()()()()()()(){}

0000

1,2,,x x x x n = ，进行一次AGO 生成()1

x 后建

立GM(1,1)模型(2-3)和(2-4),由(2-4)式得到n+1时刻预测值()()0ˆ1x n +。然后去掉()()01x ,加入灰数()()0ˆ1x

n +,重新构成等维动态序列： ()()()()()()()()(){}

000001ˆ2,3,,,1x x x x n x

n =+ (3-1) 建立新的GM （1，1）模型，预测n+2时刻()()0ˆ2x n + ，，依次递补，逐个预测，称为等维灰数递补动态预测。等维灰数递补动态预测由于加入的信息不是实测值,而是预测值,它可以淡化灰平面的灰度,但仍然是灰色的。科学的建模过程应该是,一旦获得n+1时刻的实际观测数据(称为新息),便对原来的GM(1,1)模型

进行一次改进，其方法是在序列中()()()()()()(){}

0000

1,2,,x x x x n = 中去掉()()01x ，

加入()()0ˆ1x

n +,构成新的动态序列：()()()()()()()()(){}

000001ˆ2,3,,,1x x x x n x n =+ ，由于等维新息模型实时引入的是新的观测值,因此真实反映了系统状态的变化,可以有效地提高预报精度。

GM(1,1)模型长期预测的有效性明显受系统时间序列长短及数据变化的影响。如果系统建模选用的数据序列太短,则难以建立长期的预测模型;数据序列过长,系统受干扰的成分多,不稳定因素大,易使模型精度降低。为此,在进行动态预测