高数第二章习题课

解:
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) x ( x) 2 原式= lim 2 x 0 x x ( x)
f ( x0 )
f (sin 2 x cos x) . 例2.若 f (1) 0 且 f (1) 存在 , 求 lim x x 0 (e 1) tan x f (sin 2 x cos x) ~x 解: 原式 = lim x 0 x2
即 在 处可导 .
二、 导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法;利用莱布尼茨公式.
x 1 sin wt C ) cos wtdt(C为常数) d d ( w C ) xdx(C为常数) ( 2
2
2
即 一般地
★ 导数、微分与连续性的联系: 可导 可微
连续
★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ), 而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数, 它的 定义域是R, 实际上, 它是无穷小.
2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数;
3) 由导数定义证明一些命题.
(2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用
例1.设 f ( x0 ) 存在,求
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
例6.设
其中
可微 ,
解: d y sine x d(esin x ) esin x d(sine x )
sine e
x
sin x
d(sin x) esin x cose x d(e x )
e
sin x
(cos x sine e cose ) dx
x
x
x
例7. 选择 可使下述函数在
七、微分在近似计算中的应用
x 很小时, y dy f ( x0 )x
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x 即：f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x 或：f ( x ) f ( x0 ) f ( x0（x x0 ). )
2
且
存在, 问怎样
处有二阶导数
f (x)
ax bx c , x 0 g ( x) , x0
解: 由题设 f (0) 存在, 因此 f (0 ) f (0 ) f (0) , 1) 利用 连续, 即 在
得 c g (0)
2) 利用 f (0) f (0) , 而 g ( x) g (0) f (0) lim g (0) x0 x 0 (ax 2 bx c) g (0) f (0) lim b x0 x 0
f ( ) 1 , f ( ) 3 . x 0 , x , 3 2 3 2 3 360 o cos 60 30 cos( ) cos sin 3 3 360 3 360 1 3 0.4924. 2 2 360
y(ln y 1) 2 x(ln x 1) 2 xy(ln y 1) 3
例9
设f ( x ) x x( x 2) , 求 f ( x ).
解 先去掉绝对值
x 2 ( x 2), x 0 2 f ( x ) x ( x 2),0 x 2, x 2 ( x 2), x 2
当x 0时,
f (0) f (0) 0,
f (0) 0;
当x 2或x 0时, 当0 x 2时,
f ( x ) 3 x 2 4 x; f ( x ) 3 x 2 4 x;
当x 2时,
f ( x ) f ( 2) x 2 ( x 2) f ( 2) lim 4. lim x2 x2 x2 x2 f ( x ) f ( 2) x 2 ( x 2) f ( 2) lim lim 4sin 2 x cos x 1) f (1) sin 2 x cos x 1 lim 2 x 0 sin x cos x 1 x2 1 1 f (1) (1 ) f (1) 2 2
f (x) 在 x 2 处连续,且 lim f ( x) 3 , 求 f (2) . 例3.设 x 2 x 2 f ( x) ] 0 解: f (2) lim f ( x) lim[( x 2) x2 x 2 ( x 2)
lim dy lim f ( x0 )( x x0 ) 0.
x x0 x x0
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 而微分 dy f ( x0 ) ( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 方程在点 x0 的纵坐标增量.
得
ax 2 bx c , x 0 f (x) g ( x) , x0
c g (0)
b g (0)
3) 利用 f (0) f (0) , 而
g ( x) g (0) f (0) lim g (0) x0 x 0 ( 2ax b) b f (0) lim 2a x0 x 0 1 得 a g ( 0) 2
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 : 当 当
• 微分 : • 关系 : 可导
时,为右导数 时,为左导数
可微
• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
(C ) 0 ; (ln x) 1 ; (sin x) cos x x
其他求导公式都可由它们及求导法则推出;
f ( x) f (2) f (2) lim x 2 x2 f ( x) lim 3 x 2 x 2
例4.设
使 f (x) 处处可导,并求 解:
,试确定常数a , b
f (x)
ax b , 1 ( a b 1) , 2
x2 ,
x 1 x 1 x 1
x 1时， ( x) 2 x. f
例8 设函数y f ( x )由方程
x
y
y
x ( x 0, y 0)
所确定, 求
d2y dx
2
.
1 1 解 两边取对数 ln y ln x , 即y ln y x ln x , x y ln x 1 y , (1 ln y ) y ln x 1, 1 ln y 1 1 (ln y 1) (ln x 1) y x y y (1 ln y ) 2
特殊地： 0 0, x 很小时有： x
f ( x ) f (0) f (0) x.
求f ( x)在点x x0附近的近似值;
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时)
例8
计算 cos 60o 30的近似值.
设 解： f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , ( x为弧度)
x 1时, f ( x) a ;
f (1 ) f (1 ) f (1)

利用 f ( x) 在 x 1 处可导，得
f (1) f (1)
即
a b 1 1 (a b 1) 2
a2
x 1时, f ( x) a ,
f (1) 存在
x 1时， ( x) 2 x f
a b 1 1 (a b 1) 2
a2
f (1) 2
a 2 , b 1,
2 , x 1 f ( x) 2 x , x 1
例5. 设 处的连续性及可导性. 解: 所以 又 在
处连续.
f (0) 0
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0
解: 方法1 利用导数定义.
lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99 !
x 0
方法2 利用求导公式.
f (x) ( x)
x
f (0) 99!
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x .
例9 解:
(1) 计算近似值： 3 998.5;
( 2) e 0.03 .
3
(1)
3
1 .5 ) 998.5 1000 1.5 1000(1 1000 103 1 0.0015 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
f ( 2) f ( 2),
2
f ( x )在x 2处不可导.
3 x 4 x , x 2, 或x 0 f ( x ) 0, x 0, 3 x 2 4 x ,0 x 2,
例10
f ( x) x ( x 1)( x 2)( x 99), 求 f (0).
第二章
导数与微分
例8
在括号中填入适当的函数，使等式成立。 d（ ）=xdx
2
d（
）=coswtdt
由于 解： 可见
d ((sin 2 xdx cos wtdt d x ) wt) w
1 12 x xdxwtdtd ( x ) d ( wt) d ( 1 sin wt) cos d (sin ) 2 w 2 w x2 d (( 1 ) xdx cos wtdt d 2 sin wt) w
3
( 2) e 0.03 1 0.03 0.97.
常用近似公式： x 很小） （ （1）
sin x x; （2） tan x x;
（4）
（3） ln(1 x ) x;
e 1 x;
x
n
（5）
1 1 x 1 x. n
习题课 导数与微分
一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法