天津大学电磁场与电磁波(数值算法)

激励源
连接边界
散射计算区域划分
辐射计算区域划分
时域多分辨分析法 MRTD (Multi-Resolution Time Domain)
♫ 概况 ♪ 1996年美国学者Krumpholz和Katehi提出的； ♪ 核心思想：将麦克斯韦微分方程按照电场与磁场在时间和空间分别正交的 ♪ 方式用小波展开，应用伽略金法，得到了按照时间和空间迭代的差分方程。 ♫ 发展趋势 ♪ 提高计算精度的同时，保持算法的稳定性。 ♪ 加强关于边界问题的处理和介质的处理。 ♪ 增强计算电大尺寸对象的能力。 ♪ 高效地解决复杂研究对象的建模问题，自适应、智能化的建 模技术会更多地出现在时域多分辨分析法中。 ♪ 在算法理论愈发复杂化的同时，为方便应用，利用电磁场时
D H J t 麦克斯韦方程组 B E Jm t D E B H 本构关系式 J E J H m m
♫ Yee元胞
(i 1, j , k 1) Hz Ex (i, j , k 1) Ey
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 c 1/ (x)2 1/ (y)2 1/ (z)2
=

c 3
通常要求：

8
♪ 吸收边界条件 目前吸收边界条件研究方向主要有： 1. 通过波动方程的因子分解获得单行波方程并取近似来建立吸收边界条件， Mur吸收边界条件和Liao吸收边界条件是两个典型形式； 2. 在边界上引入吸收材料，电磁波在无反射地进入吸收材料后被迅速衰减掉， 如Berenger提出的完全匹配层吸收边界条件。 ♪ 激励源
1
n n Ey (i, j 1/ 2, k 1) E y (i, j 1/ 2, k ) 1 z n (i, j 1/ 2, k 1/ 2) t Ezn (i, j 1, k 1/ 2) E y (i, j , k 1/ 2) 1 2 (i, j 1/ 2, k 1/ 2) y
域算法编制的成熟商业软件会不断涌现。
♫ 分析方法 ♪ S-MRTD法 将空间域的电磁场仅用尺度函数进行展开，只适用于模拟缓慢变化的电磁 场。 ♪ W-MRTD法
将空间域的电磁场用尺度函数和小波函数作二重展开，可以对电磁场进行
更细致的描述。 ♫ 特点 ♪ 数值色散误差很小：当求和式中的项数足够多时，离散 采样率可以接近奈奎斯特极限。 ♪ 提高计算效率，降低计算机存储空间：根据分辨率要求， 能够自适应地改变小波系数。 ♫ 不足 ♪ 由于所有小波的支撑区间都大于1（除Haar小波），导 致边界条件问题比较复杂。
H z H y Ex Ex z t y H x H z E y Ey x t z H y H x E z Ez y t x Ez E y H x H m x y z t H y Ex Ez mH y z x t E y Ex H z H m z x y t
vi
V1 1V11 2V12 nV1n V2 1V21 2V22 nV2 n
♪ 亦即
V j 1V j1 2V j 2 nV jn Vn 1Vn1 2Vn 2 nVnn
sin cos 2 sin sin 2 cos sin 2 sin sin v 2 2 2 c
(i, j 1/ 2, k 1/ 2)t t 2 (i, j 1/ 2, k 1/ 2) H xn 1/2 (i, j 1/ 2, k 1/ 2) H xn 1/2 (i, j 1/ 2, k 1/ 2) (i, j 1/ 2, k 1/ 2) t (i, j 1/ 2, k 1/ 2) 1 2 (i, j 1/ 2, k 1/ 2)
其他节点
n1 Ey (i, j 1/ 2, k ) H zn1/2 (i 1/ 2, j 1/ 2, k )
E
n1 z
n1/2 (i, j, k 1/ 2) H y (i 1/ 2, j, k 1/ 2)
可同样求得。
♫ 关键技术 ♪ 数值稳定性（解的收敛性） Courant稳定性条件 ♪ 数值色散性 相速与网格尺寸和传播角的关系：
x(i )
Ey y( j)
Ex (i, j 1, k )
♪ Yee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节 点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来。
(i, j, k ) (ix, jy, k z )
♪ 任意函数F(x, y, z, t)在时刻nΔt的值可以表示为
F n (i, j, k ) F (ix, jy, k z, nt )
电磁算法及仿真
主要内容
♫ 电磁场数值算法 ♫ MOM、FEM、FDTD、MRTD
♫ 电磁仿真软件
♫ Maxwell、CST、HFSS
电磁场数值算法
加权余量法 边界积分法 边界元法 快速算法 小波基 时域多分辨分析法 时域有限差分法 时域积分方程法 内域积分法（伽略金法） 矩量法 有限元法 麦克斯韦方程组 有限差分法
♫ Daubechies小波基的MRTD差分方程
t 1 2 1 2 x x z y E E a i H a i H k 1 l 1 ,m,n k l 1 ,m,n 1 1 1 1 1 1 k l ,m i ,n k l ,m,n i y z i 3 i 3 2 2 2 2 2 2 2 2 t 1 2 1 2 y x z Ey E a i H a i H k 1 l i 1 ,m 1 ,n k 1 l ,m 1 ,n i 1 k 1 ,n l ,m ,n k 1 l ,m 1 z x i 3 2 2 i 3 2 2 2 2 2 2 t 1 2 1 2 z z y x E E a i H a i H 1 1 1 1 1 1 k 1 l ,m,n 1 k l ,m,n 1 x k l i ,m,n k l ,m i ,n y i 3 i 3 2 2 2 2 2 2 2 2 t 1 2 1 2 x x y z H H a i E a i E k 1 l ,m 1 ,n 1 k 1 l ,m 1 ,n 1 z k l ,m 1 ,n i 1 y k l ,m i 1,n 1 i 3 2 2 2 2 2 i 3 2 2 2 t 1 2 1 2 y x z x H a i E a i E 1H 1 1 1 1 1 k 1 k 1 k l ,m,n k l ,m,n l i 1,m ,n l ,m,n i 1 x z i 3 i 3 2 2 2 2 2 2 2 2 t 1 2 1 2 x x y Hy H a i E a i E k l i 1,m 1 ,n k l 1 ,m i 1,n 1 1 1 1 1 k1 l ,m ,n k l ,m ,n y x i 3 2 2 2 2 2 i 3 2 2 2
时域有限差分法 FDTD (Finite-Difference Time Domain)
♫ 概况 ♪ 1966年K.S.Yee提出的； ♪ 核心思想：把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应； ♪ 是目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中
了计算的速度。
♫ 理论 ♪ 在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为
V x, y , z 1 4

v x' , y ' , z 'dv'
R
n
v'
♪ 设 v x' , y' z' 的一个解是
v x ' , y ' z ' 1 1 x ' , y ' z ' 2 2 x ' , y ' z ' n n x ' , y ' z ' i i x ' , y ' z '
1 H zn 1/2 (i 1/ 2, j 1/ 2, k ) H zn 1/2 (i 1/ 2, j 1/ 2, k ) y 1 (i 1/ 2, j, k )t H n 1/2 (i 1/ 2, j , k 1/ 2) H n 1/2 (i 1/ 2, j, k 1/ 2) y 1 y 2 (i 1/ 2, j, k ) z
分析电磁问题的一个重要任务是对激励源的模拟，即选择合适的入射波形式
以及用适当方法将入射波加入到FDTD迭代中，也就是说，应将被研究媒质 在真实源激励下这一完整条件在数值计算中尽可能近似地复现出来。 ♪ 远—近场外推
吸收边界 吸收边界
散射场区
输 出 边 界 散射场区 总场区 目标 输 出 边 界
辐射场区 辐射场区
矩量法 MOM (Method of Moment)
♫ 概况 ♪ R.F.Harrington在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。 ♪ 核心思想：根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、 差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵 方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量。 ♪ 基于MOM的电磁场计算软件：Sonnet，ADS的Momentum等 ♫ 特点 ♪ 频域矩量法比较成熟，时域矩量法有待发展； ♪ 矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大程度上影响
或
V1n 1 V jn j Vnn n
有限元法 FEM (Finite Element Method)
♫ 概况 ♪ 起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究，它的发展可 以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和Richard Courant(1942)的工作。 ♪ 核心思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 ♪ 基于MOM的电磁场计算软件：HFSS、ANSYS。 ♫ 原理 ♪ 将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函 数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。 ♫ 特点 ♪ 近似性仅限于相对小的子域； ♪ 将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定 义域的复杂边界条件。
V j iV ji
i 1
其中 V ji
4
1
i x' , y' z 'dv'i
R ji
V1 j V1 V11 V jj V j V j1 Vnj Vn Vn1
♫ 差分方程
(i 1/ 2, j, k )t t 2 (i 1/ 2, j, k ) Exn 1 (i 1/ 2, j , k ) Exn (i 1/ 2, j, k ) (i 1/ 2, j, k )t (i 1/ 2, j, k ) 1 2 (i 1/ 2, j, k )
Ez Hx
E y (i 1, j 1, k 1)
♫ 计算方法
(i, j 1, k 1)
Ez Ez
Hy
若已知t1=t0=nt时刻空间各处E的值
计算t2=t1+t/2时刻空间各处H的值 计算t1=t2+t/2时刻空间各处E的值
z (k )
(i 1, j 1, k )
(i, j , k )
♪ 基于FDTD的电磁场计算软件：XFDTD等
♫ 关键要素 ♪ 差分格式 ♪ 解的稳定性 ♪ 吸收边界条件 ♫ 特点 ♪ 广泛的应用性 ♪ 节约运算和存储空间 ♪ 适合并行计算 ♪ 计算程序的通用性 ♪ 简单直观，容易掌握
♫ 计算步骤 ♪ 采用一定的网格划分方式离散化场域； ♪ 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式， 得到差分方程组； ♪ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。 ♫ 原理
♪ 将解带入电位函数中可得
V j V x j , y j , z j 1 4
i 1

x' , y' z'dv'
i 1 i i
n
v'
n
R
V j i
i 1
n
1 4

i x' , y' z 'dv'i
R ji
i 1,2, , n
vi
♪ 即