高考数学一轮复习 2-10 导数的概念及其运算 理 新人教A版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• ①商的求导中，符号判定错误． • ②不能正确运用求导公式和求导法则． • (2)求函数的导数应注意： • ①求导之前利用代数或三角变换先进行化
简，减少运算量．
• ②根式形式，先化为分数指数幂，再求 导．
• ③复合函数求导先确定复合关系，由外向
导数的几何意义(师生共研)
• 例2 (1)点P0(x0，y0)是曲线y＝3ln x＋x ＋k(k∈R)图象上一个定点，过点P0的切线 方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为
()
• A．2
B．－2
• CA．.287－1
B．－2D．－4
B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：x＋1x′＝x′＋1x′＝1－x12；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝ (x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
• 4．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，
• 4．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
• 第一步，设出切点坐标P ′(x1，f(x1))； • 第二步，写出过P ′(x1，f(x1))的切线
方程为y－f(x1)＝f ′(x1)(x－x1)； • 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方
程，求出x1； • 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f
一点处都有导数，如函数y＝|x|在点x＝0
处就没有导数，但在定义域上的其他点处 都有导数．
• 2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是 指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是
唯一的一条切线．
• 3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是 指切线经过P点．点P可以是切点，也可以
一、导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义： 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 liΔmx→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝liΔmx→0 ΔΔyx为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0) ＝liΔmx→0 ΔΔyx＝liΔmx→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
(2)函数 y＝3xex－2x＋e 的导数是________；
(3)已知 f(x)＝x(2 015＋ln x)，f ′(x0)＝2 016，则 x0＝________.
解析
(1)y
′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex
A．14 m/s2
B．4 m/s2
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
• 解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t) ＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g， 故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝
12×2－10＝14 m/s2.
• 答案：A
• 2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线
则2aln 2a＝( )
• A．1
B．－1
• C解．析：－f l′n(x)2＝2xln 2＋1x，由 f′(a)＝D2a．ln 2l＋na1＝20，得 2aln 2＝－a1，
则 a·2a·ln 2＝－1，即 2aln 2a＝－1.
答案：B
导数的运算(自主探究)
例 1 (1)函数 y＝coesx x的导数是________；
′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
• (2)[f(x)·g(x)]′
＝
．
• 3．复合函数的导数
•
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处 可导，则复合函f′数(u)f·[vv′((xx))]在点yx′处u·可u′导x ，
且f ′(x)
＝
，即y′x
＝
.
• 1．并不是所有的函数在其定义域上的每
方程是( )
• A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
• C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
• 解析：y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝ 2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
• 答案：C
3．下列求导运算正确的是( )
A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
称函数f
′(x)＝_________f_x_＋__Δ_x_－__f__x____为f(x)的导函数．
liΔmx→0
Δx
• 二、导数的运算 • 1．基本初等函数的导数公式
• 2.导数的运算法则
• (1)[f(x)±g(f x′f)(′]x)′(gx()x±)＋g′f((xx))g′(x)
＝
．(3)gfxx′＝ f
＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)f ′(x)＝2 015＋ln x＋1，又 f′(x0)＝2 016，∴ln x0＝0，x0＝1.
答案
(1)－sin
x＋cos ex
x
(2)(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2
(3)1Fra Baidu bibliotek
• 规律方法 (1)在解答过程中常见的错误 有：
• (2)几何意义：
(•x0，函__f数_(_x_f0)(_)_x_)_在__点__x_0处__的处导的数f′(x0)的几何意义是在曲线．y(＝瞬f时(x速)上度点就 是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程 切线的斜率
为
• 2．函数f(x)的导函数
y－y0＝f′(x0)(．x－x0)
•
第十节 导数的概念及其运算
最新考纲展示 1．了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x 的导数． 4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单函数的导数．
5．能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线
方程．
• 5．利用公式求导时，一定要注意公式的
适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0 且n∈Q，(cos x)′＝－sin x.
1．某汽车的路程函数是 s(t)＝2t3－21gt2(g＝10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，
汽车的加速度是( )
简，减少运算量．
• ②根式形式，先化为分数指数幂，再求 导．
• ③复合函数求导先确定复合关系，由外向
导数的几何意义(师生共研)
• 例2 (1)点P0(x0，y0)是曲线y＝3ln x＋x ＋k(k∈R)图象上一个定点，过点P0的切线 方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为
()
• A．2
B．－2
• CA．.287－1
B．－2D．－4
B．(log2x)′＝xln1 2 D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：x＋1x′＝x′＋1x′＝1－x12；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝ (x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
• 4．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，
• 4．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
• 第一步，设出切点坐标P ′(x1，f(x1))； • 第二步，写出过P ′(x1，f(x1))的切线
方程为y－f(x1)＝f ′(x1)(x－x1)； • 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方
程，求出x1； • 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f
一点处都有导数，如函数y＝|x|在点x＝0
处就没有导数，但在定义域上的其他点处 都有导数．
• 2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是 指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是
唯一的一条切线．
• 3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是 指切线经过P点．点P可以是切点，也可以
一、导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义： 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 liΔmx→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝liΔmx→0 ΔΔyx为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0) ＝liΔmx→0 ΔΔyx＝liΔmx→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
(2)函数 y＝3xex－2x＋e 的导数是________；
(3)已知 f(x)＝x(2 015＋ln x)，f ′(x0)＝2 016，则 x0＝________.
解析
(1)y
′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex
A．14 m/s2
B．4 m/s2
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
• 解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t) ＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g， 故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝
12×2－10＝14 m/s2.
• 答案：A
• 2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线
则2aln 2a＝( )
• A．1
B．－1
• C解．析：－f l′n(x)2＝2xln 2＋1x，由 f′(a)＝D2a．ln 2l＋na1＝20，得 2aln 2＝－a1，
则 a·2a·ln 2＝－1，即 2aln 2a＝－1.
答案：B
导数的运算(自主探究)
例 1 (1)函数 y＝coesx x的导数是________；
′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
• (2)[f(x)·g(x)]′
＝
．
• 3．复合函数的导数
•
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处 可导，则复合函f′数(u)f·[vv′((xx))]在点yx′处u·可u′导x ，
且f ′(x)
＝
，即y′x
＝
.
• 1．并不是所有的函数在其定义域上的每
方程是( )
• A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
• C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
• 解析：y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝ 2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
• 答案：C
3．下列求导运算正确的是( )
A.x＋1x′＝1＋x12 C．(3x)′＝3xlog3e
称函数f
′(x)＝_________f_x_＋__Δ_x_－__f__x____为f(x)的导函数．
liΔmx→0
Δx
• 二、导数的运算 • 1．基本初等函数的导数公式
• 2.导数的运算法则
• (1)[f(x)±g(f x′f)(′]x)′(gx()x±)＋g′f((xx))g′(x)
＝
．(3)gfxx′＝ f
＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)f ′(x)＝2 015＋ln x＋1，又 f′(x0)＝2 016，∴ln x0＝0，x0＝1.
答案
(1)－sin
x＋cos ex
x
(2)(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2
(3)1Fra Baidu bibliotek
• 规律方法 (1)在解答过程中常见的错误 有：
• (2)几何意义：
(•x0，函__f数_(_x_f0)(_)_x_)_在__点__x_0处__的处导的数f′(x0)的几何意义是在曲线．y(＝瞬f时(x速)上度点就 是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程 切线的斜率
为
• 2．函数f(x)的导函数
y－y0＝f′(x0)(．x－x0)
•
第十节 导数的概念及其运算
最新考纲展示 1．了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x 的导数． 4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单函数的导数．
5．能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线
方程．
• 5．利用公式求导时，一定要注意公式的
适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0 且n∈Q，(cos x)′＝－sin x.
1．某汽车的路程函数是 s(t)＝2t3－21gt2(g＝10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，
汽车的加速度是( )