数学研究中的抽象思维的四个阶段

数学研究中的抽象思维的四个阶段

具体数学表象

第一阶段，主要研究数学现象问题，数学抽象一般是从数学认识活动最初接触的表象开始的，但并非所有的数学表象都能成为抽象的材料。人们在进行数学研究和应用的过程中发现一些反复出现的、预示着某种规律性的数学现象，引起了注意并深入探讨，才能进行自觉的抽象思维活动。最初的数学表象大都是在生产活动中产生的。比如，变分法理论的产生起源于“最速降线”问题，群论的一个来源是对晶体结构的研究。数学抽象往往开始只能抓住一些特殊的表象,而数学工作者的任务就在于从特殊中发现一般。

分析具体的数学属性

第二阶段，主要是对各种具体数学属性进行分析,逐步去掉非本质属性，而只保留能表明本质属性的数量关系。对于一些新发现的数量关系，还需要有新的符号加以表示，这实际上是一个创造的过程。有相同数量关系的数学问题在结构上是相同的。同构是类别的基础，而同一类的数学问题才有可能抽象出共同的本质属性或特征。比如17世纪有四种主要类型的问题：求运动着的物体在任意时刻的速度和加速度；求曲线的切线；求函数的最大值和最小值；求曲线长。这四个问题的数学结构实质上是一致的,因而该类问题的进一步研究就导致了统一的微积分运算的出现。

新旧数学理论或结构的融合

第三阶段，对于已经了解其结构的数学事实，需要根据它和别的数学理论的关系确定其本质属性或特征，新的数学概念总是在原有的数学体系上生长出来的，连接两者的纽带需要牢固的逻辑推理。希尔伯特曾经做过这样的比喻:“一个新的问题，特别是当它来源于外部经验世界时，很像一株幼嫩的新枝，只要我们小心地、按照严格的园艺学规则将它移植到已有数学成就粗实的老干上去，就会茁壮成长，开花结果。”

不过，在数学中往往有这样的情况,给一个数学概念下确切的定义比使用这个概念要困难得多，这是由于定义反映的不仅仅是运算规则本身，而且包括概念之间的内在联系，而这种联系必须在数学体系发展的一定阶段上才能完全确定下来。

数学概念的深化

第四阶段，一个数学概念基本上被确定下来之后，需要有一个比较长期的过程使之不断纯化。它可以分成两个方面，一个方面是在概念的内涵方面不断深化。比如“函数”概念，它最早是由菜布尼茨在1673年提出来的，但它的定义却经过多次演变，达朗贝尔把函数看作一个“解析式”，欧拉把它看作是在几何上“能用曲线表示”这一属性。柯西把在欧拉那个时代混在一起的连续性、可微性、能展开成泰勒级数的性质从函数一般概念中分辨出来。而直到黎曼那里，才得出现代通用的定义，即作为一种规律，根据它由自变量的值确定因变量的值。一方面，概念的外延也要不断扩张，数学概念外延的推广有时会搞

得表面上面目皆非。比如乘法运算,限于数字的乘法与矩阵、向量的乘法，其中的交换律或结合律等运算是不统一的。

来源：究尽数学

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