波尔兹曼常数测定实验数据处理
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波尔兹曼常数测定实验数据处理
以T=27℃为例，说明由实验数据求得波尔兹曼常数过程： 对于线方程
b a U U +=12 1 先利用最小二乘法计算系数a 与b ，过程如下： 令
()2
1
22∑=-=Φn
i i i U U 计 2
其中
b a U U +=12计 3 将3式代入2式得
()2
1
12∑=--=Φn i i i b a U U 4
根据最小二乘法，当Φ最小时，用Φ对a 与b 求偏导，并令偏导数等于0，可以求得a 与b 。于是有
()
()[]
021
1122
112=---=∂--∂=
∂Φ∂∑
∑==n
i i i i
n
i i i U U U
U U b a a
b a a
5
()
()021
122
112=---=∂--∂=
∂Φ
∂∑∑==n
i i i n
i i i b a b
b a b
U U U U 6
可以得到 ()∑∑∑===+=n
i i n
i i i
n
i i U U U
U b a 1
12
1
1112 7
nb a n
i i n
i i
U U
+=∑∑==1
11
2 8
由以上两个式子可以求得 ()()2
1112
11
1
1
1212⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
∑∑∑∑∑=====n
i i
n i i n
i n
i n
i i
i i i U U U U U U n n a 9
n
a b n
i n
i i
i
U U
∑∑==-=
1
1
12 10
下面代入T=27℃时的实验数据：
本次所做实验 所测得的U 1与U 2的值如表一所示，取n 为12。 将所做实验数据代入以上9,10两式，可以求得a 与b 。 其中
5.443.042.0......33.032.012
11=++++=∑=i i
U
554.2485.7486.5......165.0111.012
12
=++++=∑=i i U
493.110554.245.412
1
11212=⨯=∑∑==i i
i i U
U
()06749.1085.743.0486.542.0......165.033.0111.032.012
1
12=⨯+⨯++⨯+⨯=∑=i i
i
U U
()
7018.143.042.0......33.032.022222
12
1
1=++++=∑=i i
U
()25.2043.042.0......33.032.02
2
1211=++++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑=i i U 于是
()()
12.6025
.207018.112493
.11006749.10122
111
2
11
1
1
1212=-⨯-⨯=
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=
∑∑∑∑∑=====n i i n
i i n
i n
i n
i i
i i i U U U U U U n n a
5.2012
5
.412.60554.241
1
12-=⨯-=
-=
∑∑==n
a b n
i n
i i
i
U U
之后将a 与b 的值代入1式可以求得*2U ，即因变量的预期值，
.
15.2032.012.60*1121
-=-⨯=+=b a U U
依次求出*
2U i 的值填入表一。
然后求出()()884.12616.1111.02
2
*21
21=+=-U U
依次求出()2
*21
21U U
-，填入表一。
可
以
求出各函数拟合的标准差
()
()105.1242.6056.0......68.0884.1/2
12
*22=++++=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∑=n i i i n U U δ
对于乘幂函数
b
U U a 1
2= 对此式两边取对数，得到
U U b a 12ln ln ln +=，
于是可以用最小二乘法，最后求得的a 与b 分别为
n
b a n
i n
i i
i
U U
∑∑==-=
1
1
12ln ln ln
()()∑∑∑∑∑=====⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
n i n
i i i n
i n
i n
i i
i i i U U U U U U n n b 12
112
11
1
1
1212ln ln ln ln ln ln
将实验数据代入方程可以求得各个值，分别填入表二。
对于指数函数()kT e b U U 12exp =其中a kT e =，所以()U U a b 12exp =对此式两边同时取对数得b a U U ln ln 12+= ，可以用最小二乘法，得出a 与b 分别为