张量概念及其基本运算

7
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
4
2016/9/13
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ij ij ( 11 )2 ( 22 )2 ( 33 )2 3 ij jk i 1 1k i 2 2 k i 3 3 k ik aij ij a11 11 a22 22 a 33 33 aii ai ij a1 1 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 ) ij l j l i ij l j ij l j ( ij ij )l j
张量的阶
• 一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为 一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大 小又有方向的物理量，如空间中某点的几 何位置和位移。 • 二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合， 如空间中某点的应力、应变等 • n阶张量：由3n个分量组成的集合
1
2016/9/13
张量的阶
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物
3
2016/9/13
★
关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
2 2 2 a ii a11 a 22 a 33
2来自百度文库
( a ii ) 2 ( a11 a 22 a 33 ) 2
关于Kronecker delta（ ij ）符号：
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
1 , 当i j时； ij 或： 0 , 当i j时；
可用于换标，如
ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j
算子 i 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在求导中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
'i
, , x i x1 x 2
x 3
ui ' i
ui u1 u2 u3 x i x1 x 2 x 3
a i i i i1 1, 2, 3; i 2 1, 2, 3;in 1, 2, 3 • n阶张量可以表示为： n阶张量的下标有n个。
1 2 n
2
2016/9/13
Einstein求和约定
• 求和约定：在用下标记号法表示张量的某 一项时，如有两个下标相同，则表示对此 下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求 和标号（哑标），不重复出现的下标称为 自由标号,可取从1至3的任意值
a i bi
a b
i 1 i
3
i
a1b1 a 2 b2 a 3 b3
a ij b j a ij b j a i 1b1 a i 2 b2 a i 3 b3
j 1
3
2 2 2 2 a a ii a11 a 22 a 33 2 ii j 1
2016/9/13
张量概念
• 标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方 向的物理量。如物体的质量、密度、体积 及动能、应变能等。 • 张量： 向量的推广。在一个坐标系下， 它是由若干个数(称为分量)来表示，而在 不同坐标系下的分量之间应满足一定的变 换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动 物体的动量等都需用张量来表示。
◆ 一个张量是坐标的函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 Ai j ， 就表示对一阶张量 Ai 的每一个分量对坐标参数
xj求导。
张量的基本运算
◆ 如果在求导中下标符号i是一个自由下标，则
置换符号
1 i, j, k正序排列 ei e j ijk ek , ijk 1 i, j, k 逆序排列 0 i, j, k有重复
(123,231,312) (321, 132, 213)
5
2016/9/13
张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
a i b jk c ijk
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a ij bij )c k a ij c k bij c k ； 或 ( a ij bk )c m a ij ( bk c m )
6
2016/9/13
张量的基本运算
C、张量函数的求导：
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量； 、 、 、 当取n时，n阶张量，M = 3n。
张量的表示(下标记法)
• 点的坐标：(x,y,z) →xi(i=1,2,3) • 应力张量： 11 12 13 21 22 23 ij i 1,2,3; j 1,2,3 31 32 33
a11 a12 a ij a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a 23 a 33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
a b c
ij ij ij
其中各分量（元素）为：
a ij bij c ij
张量的基本运算
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
3
ii
2
3 2 ii ( 11 22 33 ) i 1
3 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33