第六章轴心受压构件详解

轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
A 稳 定 平F 衡 状 态
Ncr
Ncr
C 临 界 状F 态
l
N
Ncr
下面推导临界力Ncr
设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形 为y2，总变形y=y1+y2。
由材料力学知：
d 2 y1 = − M
dx 2
EI
剪力V产生的轴线转角为：
Ncr
y y1 y2
l
γ = dy2 = β ⋅V = β ⋅ dM
λ = l0 < [λ ]
i
(6.2.4)
l 0 − 构件的计算长度； i = I − 截面的回转半径；
A
[λ ] − 构件的容许长细比，其 取值详见规范或教材。
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
6.3.1 轴心受压构件的整体失稳现象
轴心受压构件的整体失稳—轴心受压构件受外力作用后， 当截面上的平均应力远低于钢材的屈服点时，常由于内力和外 力间不能保持平衡的稳定性，些微的扰动即足以使构件产生很 大的的弯曲变形，或扭转变形或又弯又扭而丧失承载能力，这 种现象称为丧失整体稳定性。
第 六 章
第六章 轴心受力构件
§6-1 轴心受力构件的应用和截面形式 §6-2 轴心受力构件的强度和刚度 §6-3 轴心受压构件的整体稳定 §6-4 实际轴心受压构件整体稳定的计算 §6-5 轴心受压构件的局部稳定 §6-6 实腹式轴心受压构件的截面设计 §6-7 格构式轴心受压构件 §6-8 冷弯薄壁型钢轴心受压构件的设计特点
一、轴心受力构件的应用
桁架
网架
塔架
轴心受压柱
实腹式轴压柱与格构式轴压柱
二、轴心受压构件的截面形式 截面形式可分为：实腹式和格构式两大类。
12.实格腹构式截面-截面由两个或多个型钢肢件通过缀材连接而成。
§6.2 轴心受力构件的强度和刚度
轴 心 受
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态）
轴心受压构件的失稳形式分为：
§6.3 轴心受压构件的整体稳定
4.1稳定问题的一般特点
4.1.1失稳的类别
（1）稳定分岔屈曲 （2）不稳定分岔屈曲 （3）跃越屈曲
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
大纲要求
1、了解“轴心受力构件”的应用和截面形式； 2、掌握轴心受拉构件设计计算； 3、了解“轴心受压构件”稳定理论的基本概念和分析 方法； 4、掌握现行规范关于“轴心受压构件”设计计算方 法，重点及难点是构件的整体稳定和局部稳定； 5、掌握格构式轴心受压构件设计方法。
§6.1 轴心受力构件的应用和截面形式
β G1 A−
⋅βVN=cr
GA
Gβ⎟⎠⎞A
⋅
dM dx
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
′′
+
d
2ky21
y=0
=− M
dx 2
EI
对于常系数线形二阶齐次方程： y ′′ + k 2 y = 0
其通解为： y = A sin kx + B cos kx
引入边界条件： x = 0，y = 0，得 B = 0，从而：
y = A sin kx
σ-ε曲线为非线 σ
dσ
性,σcr难以确定。 σcr
dε
l
历史上有两种 fp
Et
=
dσ dε
理论来解决该问题，
即：
x
E
dσ2
形心轴 中和轴
dσ1
σcr
(1)双模量理论 0 1
ε
y
Ncr,r
该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应
力(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模 量Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小
dx GA GA dx
Ncr
M=Ncr·y
A、I − 杆件截面积和惯性矩；
x
E、G − 材料弹性模量和剪变模 量；
β − 与截面形状有关的系数 。
Ncr
Ncr
因为：
d 2 y2 = β ⋅ d 2M
dx 2 GA dx 2
所以：
d 2 y = d 2 y1 + d 2 y2 = − M + β ⋅ d 2 M
均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形 式；
（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆
件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
6.3.2 无缺陷轴心受压构件的屈曲
1、弹性弯曲屈曲（理想的轴心压杆的临界屈曲力）
理想的轴心受压构件(理想无限弹性，杆件挺直、 无初弯曲，荷载无偏心、无初始应力、无初偏心、截 面均匀等）
dx 2 dx 2 dx 2
EI GA dx 2
由于 M = N cr ⋅ y，得：
d 2 y = − N cr ⋅ y + βN cr ⋅ d 2 y
dx 2
EI
GA dx 2
即：
y ′′⎜⎜⎝⎛ 1 −
β N cr
GA
⎟⎟⎠⎞ +
N cr EI
⋅
y
=
0
令k 2 =
N cr
，则：
γ
=
ddyxE2 I=⎜⎝⎛
Ncr
再引入边界条件： x = l，y = 0，得：
A sin kl = 0
解上式，得： A = 0 → 不符合杆件微弯的前提
y y1 y2
Ncr
M=Ncr·y
l
条件，舍去。
x
sin kl = 0 → kl = nπ（n = 1，2，3L）
取n = 1，得：kl = π 即：k 2 = π 2 l 2
力 构
强度 （承载能力极限状态）
件 轴心受压构件 稳定
刚度 （正常使用极限状态）
6.2.1 强度计算（承载能力极限状态）
σ= N ≤f
An N—轴心拉力或压力设计值；
(6.2.2)
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
6.2.2 刚度计算（正常使用极限状态）
保证构件在运输、安装、使用时不会产生过 大变形。
N cr
= π 2 EI
l2
= π 2 EA λ2
σ cr
=
π 2E λ2
上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定 律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：
σ cr
= π 2E λ2
≤
fp
或长细比 :
λ ≥ λp = π
E fP
2.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲
当σcr大于fp后
Ncr,r
Ncr Ncr
因： k 2 =
N cr
= π2
EI ⎜⎛ 1 − β N cr ⎟⎞ l 2
⎝ GA ⎠
故，临界力 N cr：
N cr
=
π
2 EI l2
⋅ 1+
π
1 2 EI l2
⋅β
GA
临界应力 σ cr：
σ cr
=
N cr A
= π 2E ⋅
1
λ2
1
+
π
2 EA
λ2
⋅
β
GA
通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧 拉临界力和临界应力：