可靠度分析

可靠性分析的基本原理
可靠性分析的基本原理
当 R、S 均为对数正态随机变量时，失效概率 p f 的计算公式为：
p f P{Z 0} P{R S 0} P{R S}
R R P 1 P1n ln1 P{1nR 1nS 0} S S
Z g ( R, S ) R S
结构从开始承受荷载直至破坏要经历不同的阶段，处于不同的 状态。从不同的角度出发，可以有不同的划分方法。 若从安全可靠的角度出发，可以区分为有效状态和失效状态两类。 其分界，称为极限状态。结构的极限状态是结构由有效状态转变 为失效的临界状态。超过了这一状态，结构就不能再有效工作， 极限状态是结构失效的标志。如果整个结构或结构的一部分超过 某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，则此特定状 态称为该功能的极限状态。

uz
Y
Z uz
结构可靠度指标β的物理意义是：从均值到原点以标准差σz为度 量单位的距离（标准差的倍数，即βσz）。
可靠度指标值β与pf是对应的 ：当β变小时，阴影部分的面积增 大，亦即失效概率pf增大；而当β变大时，阴影部分的面积减小， 亦即pf失效概率减小。 β可以作为衡量结构可靠性的一个指标，一般称β为结构可靠性 指标 u R uS 2 2 R S
可靠性分析的基本原理
《建筑结构可靠度设计统一标准》将建筑结构可靠性定义为建筑结构 在规定时间内，规定的条件下，完成预定功能能力；
地下建筑结构的可靠度就可以定义为在规定的时间内、规定的条件下， 完成预定功能的概率大小。 概率来度量可靠安全的程度比较符合人们的习惯。具体的可靠度尺度 有三种：可靠概率 p s 、失效概率 p f 、可靠度指标β
5.4 可靠度分析近似方法
1 中心点法 2 验算点法 3 JC法
4 结构体系的可靠度分析 5 蒙特卡罗法
1. 概述
结构可靠指标的定义是以结构功能函数服从正态分布 或对数正态分布为基础的，利用正态分布概率函数或对数 正态分布函数,可以建立结构可靠指标与结构失效概率间
的一一对应关系。
实际工程中，结构功能函数可能是非线性函数，而且 大多数基本随机变量并不服从正态分布或对数正态分布。 结构功能函数一般也不服从正态分布或对数正态分布，实 际上确定其概率分布非常困难，因而不能直接计算结构的
地下建筑结构可靠性分析的特点
周围岩土介质特性的变异性
地下建筑结构周围的岩土介质是自然界的产物，具有高度的地 域差异性；此外，同一地区，岩土体的物理力学性质也变化复杂， 具有场的效应，是空间和时间的函数。
地下建筑结构规模和尺寸的影响
所研究的范围一般均较大，仅仅靠一点或几点的岩土体的性质， 不能完全代表整个岩土工程研究范围内的土的性质，而是要考虑空 间平均特性，即一定范围内的岩土平均特性。另外，室内试验多为 小尺寸的试件，而研究范围的体积与试样尺寸相比非常大。
可靠性分析的基本原理
R
可靠区
失效区
S 图5-1 结构的工作状态
可靠性分析的基本原理
由于影响荷载效应 S 和结构抗力 R 的变量很多，这些变量也都服从一 定形式的随机分布（如截面几何特性、结构尺寸、材料性能等），设它们 为 X 1 , X 2 X n ，则结构功能函数的一般形式可表示为：
Z g( X1 , X 2 X n )
f Z (Z ) f Z ( R, S ) f s (S ) f R ( R)
结构失效概率：
（5-6）
p f pZ 0 PR S 0
R S 0
f
R
( R ) f s ( S )dRdS （5-7）
通过积分，可求得 p f ，若先对 R 积分后对 S 积分，则：
u1nX 1nu X
1 2 1n(1 X ) 2
(5-18) (5-19)
1nX
2 1n(1 X )
式中 X ——X 的变异系数。 可得结构抗力 R 和荷载效应 S 均为对数正态随机变量时，可靠指标的 计算式为：
1n
2 uR 1 S

1n 1

地下建筑结构可靠性分析的特点
极限状态及失效模式的含义不同
结构设计的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极 限状态，而地基基础设计中的承载能力极限状态，既包括整体 失稳所引起的狭义的承载能力极限状态，也包含由于岩土体的 局部破坏或者变形过大而导致的上部结构的破坏，即变形的极 限状态也会引起承载的极限状态，二者不是完全独立的，这可 以理解为广义的承载能力极限状态。
可靠指标。
1. 概述
但确定随机变量的特征参数（如均值、方差等）较 为容易，如果仅依据基本随机变量的特征参数，以及它
们各自的概率分布函数进行结构可靠度分析，则在工程
上较为实用，这就是可靠指标的近似计算方法。 本节介绍随机变量相互独立时的几种近似方法，即 中心点法、验算点法、JC法、随机变量相关时的可靠度 的分析方法以及蒙特卡罗模拟。
（5-2）
由结构功能函数的定义（5-1）可得， Z g ( R, S ) R S 成为结构极限 状态方程。结构的极限状态是结构由可靠转变为失效的临界状态。根据结 构功能要求的不同，极限状态又可分为两类：承载能力极限状态和正常使 用极限状态。承载能力极限状态就是超过这一极限状态，结构或构件就不 能满足预定的安全性要求，而正常使用极限状态是指超过这一极限状态， 结构或构件就不能完成对其所提出的适用性或耐久性的要求。
0
（5-4） （5-5）
f z (Z )dZ
由结构失效概率 p f 确定结构可靠度 p s 。由于结构失效一般为小概率 事件，失效概率对结构可靠度的把握更为直观，一般计算结构失效概率。
可靠性分析的基本原理
若已知结构荷载效应 S 和抗力 R 的概率分布密度函数分别为 f s (S ) 及
f R ( R) ），由于 S 与 R 相互独立，
(5-16) 因 1nR 、 1nS 均为正态随机变量，故可靠指标为：

u1nR u1nS

2 1nR

2 1nS
(5-17)
可靠性分析的基本原理
其中， 1nR 、 1nS 分别为 1nR 、1nS 的均值， 1nR 、 1nS 分别为 1nR 、
1nS 的标准差.
可以证明，对于对数正态随即变量 X，其对数 1nX 的统计参数与其本 身的统计参数之间的关系为：
pf
f ( S )dS f ( R )dR R s R


1 f ( S ) dS f ( R ) dR s R

1 F ( R) f
s
R
( R)dR
若先对 S 积分后对 R 积分，则：
可靠性分析的基本原理
若已知结构功能函数 Z 的概率分布函数 FZ ( Z ) ，则结构的可靠度 p s ：
p s PZ 0 f z (Z )dZ
0

（5-3）
结构可靠度 p s 与结构失效概率 p f 有下列关系 ：
p f ps 1或ps 1 p f
p f PZ 0
可靠性分析的基本原理
（三）“全概率法” 其特点为运用概率统计理论，得出极限状态方程中所有不确 定性参数的联合概率分布模型，可以此求解出真实失效概率。可 靠度分析中采用的蒙特卡罗法（Monte Carlo）模拟法、多重降维 解法。 比较理想条件下的简单问题时，真正属于该层次的可靠性计 算才能实现。 （四）“广义可靠性分析” 即不仅分析设计阶段的安全性与失效概率，还应同时考虑经 济效益和社会效益，吸收建筑经济学中有关费用与效益分析的理 论和成果，分析竣工后地下建筑结构工程体系破坏引起的经济损 失的期望。
uS
2 1 R 2 R
1
2 S
(5-20)
可靠性分析的基本原理
以上定义的可靠指标是以功能函数 Z 服从正态分布或对数正态分布为 前提的。 在实际工程问题，结构的功能函数不一定服从正态分布。 当结构功能函数的基本变量不为正态分布或对数正态分布时，或者结 构功能函数为非线性函数时，结构可靠指标可能很难用基本变量的统计参 数表达。此时失效概率与可靠指标之间已不再具有式表示的精确关系，只 是一种近似关系。这时要利用式（5-13），由失效概率 p f 计算可靠指标
Z R S
2 2 Z R S
Z Z uz uz p f PZ 0 P 0 P z z z
可靠性分析的基本原理
z z p f P{Z u z z }
其中，Y为标准正态随机变量，Φ（· ）为标准正态分布函数。
中心点法
（一）中心点法的基本原理
中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法， 其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均 值（也称为中心点）处作泰勒级数展开并保留至一次项， 然后近似计算功能函数的平均值和标准差，再根据可靠 指标的概念直接用功能函数的平均值（一阶矩）和标准 差（二阶矩）进行计算，因此该方法也 p f )
1 () ——表示标准正态分布函数的反函数 其中
（5-22）
但当结构的失效概率小于等于 10-3 时， 结构的失效概率对功能函数 Z 的概 率分布不再敏感，这时可以直接假定功能函数 Z 服从正态分布，进而直接 计算可靠指标。
可靠性分析的基本原理
地下建筑结构工程可靠度分析划分为四个层次： （一）“半经验半概率法” 运用数理统计方法考虑不确定性的影响，通过引入一些经 验参数修正系数对设计表达式进行修正。目前使用的《建筑地基 基础设计规范》（GBJ7-89）《岩土工程勘察规范》（GB5002194）等都处于这一层次。 （二）“近似概率设计法”，可近似给出破坏机制的失效概率。 一次二阶矩法中的中心点法、验算点法以及实用设计法中 的中心安全系数法和分项系数法等都属于该层次。
中心点法
设 X1 , X 2 X n 是 n 个相互独立的随机变量，其平均值为：
X , X X
1 2
pf
s f ( R ) dR f ( S ) dS F ( S ) f ( S )dS s R R s
可靠性分析的基本原理
对于可靠度指标，由于考虑直接应用数值积分方法计算 地下结构的失效概率比较困难，因此实际中多采用近似方法， 为此引入结构可靠指标的概念。 假设R 和S均服从正态分布，则功能函数Z也服从正态分 布，其均值和方差为：
本讲内容—地下建筑结构可靠度分析
1 概述
2 3 4 5
地下建筑结构的不确定因素及特点
地下建筑结构可靠性分析的特点 可靠性分析的基本原理 应用举例
概述：
1、可靠度分析的必要性
地下建筑结构由于其赋存的地层条件、施工环境和运 营的特殊性，在很大程度上存在着随机性、离散性和不确 定性，因而对地下建筑结构的计算分析依靠传统的确定性 力学、数学分析方法就难以准确地反映其真实的力学性态 行为。
极限状态方程呈非线性特征 土性指标的相关性 概率与数理统计的理论与方法的应用
可靠性分析的基本原理
结构极限状态和极限状态方程 （一）结构的功能要求 1.安全性要求 2.适用性要求 3.耐久性要求 （二）结构的功能函数与极限状态函数
可靠性分析的基本原理
影响可靠性的因素归纳为两个综合量，即结构或结构构 件的荷载效应和抗力，定义结构的功能函数为：
2、国内外可靠度分析现状
地下建筑结构的不确定因素及特点
地层介质特性参数的不确定性 岩土体分类的不确定性 各种岩土体分类法根据工程服务部门都有相应的一套规 范或标准，而这些标准规范本身通常是根据大量的经验确定， 因而存在一定的不确定性；有时由于不同工程师对标准的理 解和处理都不尽相同，因而也可能引起岩土体分类的随机性， 进而导致地下建筑结构设计上的不确定。 分析模型的不确定性 载荷与抗力的不确定性 地下结构施工中的不确定因素 自然条件的不确定性