理想点法

则: bij
aij
a max j
此时,经过变换的最差属性值不一定为0,最优属性值为1.
若 x j 为成本型属性,则:
bij
1 aij
a max j
此时,经过变换的最优属性值不一定为1,最差属性值为0.
(b)标准0-1变换
• 为了使每个属性变换后的最优值为1 ,且最 差值为0,可以进行标准0-1变换.
若 x j 为效益型属性,则: 若 x j 为成本型属性,则:
bij

aij a j min
a max j
a j min
bij

a max j
aij
a max j
a j min
(c)区间型属性的变换
有些属性既非效益型又非成本型,如生师比.
设给定的最优属性区间为[a0j , a*j ]
5
xi2j
i1
如： Z11
95.0
0.4327
95.02 100.02 97.42 98.42 100.02
年份 1997 1998 1999 2000 2001
转换指标值的Z矩阵
监督率% （x1） 0.4327 0.4555 0.4437 0.4482 0.4555
体检率%（x2） 0.4452 0.4205 0.4555 0.4588 0.4550
常用的属性同趋势化方法
• (a)线性变化 • (b)标准0-1变换 • (c)区间型属性的变换
(a)线性变化
原始的决策矩阵为 A aij mn 变换后的决策
矩阵记为 B bij mn .
设
amax j
是决策矩阵第j列中的最大值,
a min j
是
决策矩阵第j列中的最小值.若 x j 为效益型属性,
n
j 1
m
Si
(Vij

V
j
)2
,
i
1,2,
n
j 1
S
i
S
i
，供应商的评价与正理想解和负理想解的距离
（5）计算相对接近度并做出判断
Ci

Si Si Si
,i
1,2,
n
相对接近度越大的供应商为优选供应商
2. TOPSIS的数学模型
• （1）某防疫站拟对当地1997~2001年公共 场所卫生监督工作质量进行评价
0.4142 0.4496 0.4634 0.3408 0.4511 0.4473 0.3871
0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4482 0.3118
例如：Z12
3.计算Z+、Z-
x12
5
xi22
i 1
76.7
0.4081*
76.72 86.32 81.82 84.52 90.32
变换后的属性值bij 与原属性值aij 之间的函数图形为一般 梯形。当属性值最优区间上的上下限相等时,最优区间退化 为一个点时,函数图形退化为三角形。
设数据的最优区间为[5,6], a ' 2, a '' 12, 则:
处理前数据
1
5
2
6
3
7
4
10
5
2
处理后数据 1 1
0.8333 0.3333
(V1 ,V2 , ,Vm ),
V (minVIJ | j J ),(maxVij | j J )
(V1 ,V2 , ,Vm )
其中 J 为效益型指标， J 为成本型指标。
（4） 计算距离
m
Si
(Vij

V
j
)
2
,
i
1,2,
Z+ =（ 0.4833，0.4805，0.4634，0.8178，0.4776，0.4487，0.5612 ） Z- =（ 0.4142，0.4081，0.4321，0.2024，0.3916，0.4455，0.3118 ）
4.计算距离D+和D-
例如1998年度： D （0.4833 0.4833）2 （0.4805 0.4805）2 ...（0.4487 0.4482）2 （0.5612 0.3118）2 0.2492 D （0.4142 0.4833）2 （0.4081 0.4805）2 ...（0.4455 0.4482）2 （0.3118 0.3118）2 0.6302 余类推...
转换指标值
年份
1994 1995 1996 1997 1998
出院人 数
病床使 用率%
平均住 院日
病死率 %
抢救成 功率%
好转率 %
感染率%
215.84 76.7 13.70 99.01 78.3 97.5 50.00
243.72 86.3 13.51 125.00 91.1 98.0 50.00
220.41 81.8 13.70 161.29 91.1 97.3 31.25
• 目前除了理想点法外，还有许多解决多属性决 策的排序法，如简单线性加权法、可能满意度 法等。
2. TOPSIS的数学模型
• （1）构造初始矩阵（n个待评价对象，m个 评价指标）
• （2） 构造加权标准化矩阵 • （3） 确定正、负理想解 • （4） 计算距离 • （5）计算相对接近度并做出判断
（1）构造初始矩阵（n个待评价对象，m个评价指标）
m y1m

m
y2
m


V11 V21
V12 V22



m
ynm

Vn1 Vn2

V1m
V2
m


Vnm

i各个指标的权重
权重确定方法有Delphi法、对数最小二乘 法、层次分析法、熵
（3） 确定正、负理想解
V (maxVij | j J ),(minVij | j J )
211.15 84.5 14.49 166.67 90.2 97.7 34.48
246.33 90.3 14.49 400.00 95.5 97.9 27.78
2.归一化处理
归一化转换矩阵
年份
1994 1995 1996 1997 1998
出院人 数
病床使 用率%
平均住 院日
病死率 %
抢救成 功率%
2.0
22041 81.8
7.3
0.62 91.1 97.3
3.2
21115 84.5
6.9
0.60 90.2 97.7
2.9
24633 90.3
6.9
0.25 95.5 97.9
3.6
分析
1.对平均住院日、病死率、院内感染率三个低优指标做倒数变换后扩大100倍，出院 人数压缩100倍。转换后的数据如下：
0.2200
5
1997
0.5141
0.1762
0.2552
4
1998
0.2494
0.6302
0.7164
1
1998年度最优，1996年度最差
监督率% （x1） 95.0 100.0 97.4 98.4 100.0
体检率%（x2） 95.3 90.0 97.5 98.2 97.4
培训率%（x3） 95.0 90.2 94.6 90.3 92.5
对5年的公共场所卫生监督质量进行综合评价。
1.归一化处理 归一化处理原始数据：
Zij
xij
4. D表和排序
年份 1997 1998 1999 2000 2001
D+ 0.02650 0.04478 0.01244 0.02385 0.01265
D0.03393 0.02278 0.04242 0.04132 0.04287
Ci 0.56146 0.33712 0.77327 0.63402 0.77219
据如下：
某儿童医院1994~1998年7项医疗质量指标
年份
1994 1995 1996 1997 1998
出院人 病床使 平均住 病死率 抢救成 好转率 感染率
数 用率% 院日
% 功率% %
%
↑
↑
↓
↓
↑
↑
↓
21584 76.7
7.3
1.01 78.3 97.5
2.0
24372 86.3
7.4
0.80 91.1 98.0
5.计算接近程度Ci
例如1994年C1

Di Di Di

0.2497 0.2842 0.2497 0.6289
...余类推
6.排序
年份 1994
D+ 0.6289
D0.2497
Ci 0.2842
排序结果 3
1995
0.5640
0.2754
0.3281
2
1996
0.5369
0.1514
1. TOPSIS 的基本原理
• 理想点法是根据有限个评价对象与理想化目标 的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象 中进行相对优劣的评价。
• 理想化目标包括最优目标和最劣目标。最优目 标是设想的最优的解（方案），它的各个属性 值都达到各备选评价对象中的最好的值 。
• 评价最好的对象应该是与最优目标的距离最近， 而与最劣目标最远 。
,
a
' j
为无法容忍
下界,
a
'' j
为无法容忍上限,则:
1
(a j0

aij
)
/
(a j0

aj
'),
1,
bij

1 (aij

a
* j
)
/
(a
j
''
a
* j
),
0,
a j ' aij a j 0
aj0Leabharlann aija* j
,
a j* aij a j ''
其他
排序结果 4 5 1 3 2
例如1997年C1

D1 D1 D1

0.03393
0.56146
0.02650 0.03393
...余类推
1999年度最优，1998年度最差
例 2 1 -
5 （2）按出院人数、病床使用率、平均住院日、病死率、危重病人抢救成功率、治愈好转率和
院内感染率等7个指标对儿童医院1994~1998年5个年度的医疗质量进行纵向综合评价。原始数
• （2）儿童医院1994~1998年5个年度的医疗 质量综合评价
例 2 1 -
4 （1）某防疫站拟对当地1997~2001年公共场所卫生监督工作质量进行评价，选择的评价指标
包含监督率%（x1）、体检率%（x2）、培训率%（x3）原始数据如下：
1997~2001年公共场所卫生监督工作质量
年份 1997 1998 1999 2000 2001
培训率%（x3） 0.4591 0.4359 0.4572 0.4364 0.4470
2.计算Z+、Z-
Z+ =（ 0.4555，0.4588，0.4591 ） Z- =（ 0.4327，0.4205，0.4359 ）
3.计算距离D+和D-
例如2000年度： D4 （0.4555 0.4482）2 （0.4588 0.4588）2 （0.4591 0.4364）2 0.02385 D4 （0.4327 0.4482）2 （0.4205 0.4588）2 （0.4395 0.4364）2 0.04132 余类推...
• 效益型属性越大越好，成本型属性越小越 好，区间型属性在某个区间最佳。
①评价指标同趋势化
• 所谓高优指标就是相对于评价目标高效优 质的对象指标。
• Topsis法进行评价时，要求所有指标变化方 向一致（即所谓同趋势化），将高优指标 转化为低优指标，或将低优指标转化为高 优指标，通常采用后一种方式。转化方法 常用倒数法，即令原始数据中低优指标通 过倒数变换而转化成高优指标。
• ①评价指标同趋势化（使得规范化后表中 任一属性下性能越优的方案变换后的属性 值越大）
• ②非量纲化（排除量纲的选用对决策或评 估结果的影响）
• ③对同趋势化后的原始数据矩阵进行归一 化处理，并建立相应矩阵。（把表中的数 值均变换到[0,1]区间上）
属性值
• 属性值具有多种类型,包括效益型、成本型 和区间型等。
0
②对同趋势化后的原始数据矩阵进行归一化处理，并建立相 应矩阵。
原始数据标准化处理
yij
aij , j 1,2, , m
n
ai2j
i 1
（2） 构造加权标准化矩阵
1 y11 2 y12
V 1 y21 2 y22


1 yn1 2 yn2
好转率 %
感染率%
0.4234 0.4081* 0.4380 0.2024 0.3916 0.4464 0.5612
0.4781 0.4592 0.4321 0.2556 0.4556 0.4487 0.5612
0.4324 0.4353 0.4380 0.3298 0.4556 0.4455 0.3508