基于奇异值分解的图像压缩处理

矩阵奇异值分解在图像压缩中的应用

电子科技大学 微固学院 贾旺旺

[摘要]本文首先介绍了矩阵的奇异值分解(SVD)定理，然后讨论了基于矩阵奇异值分解的图像压缩编码原理，最后文中给出了实例，并用matlab 编程实现了图像的压缩和重构，发现随着图像压缩比的减小，图像传输时间增大，但重构后得到的图像失真度减小了。

[关键词]奇异值分解 图像压缩 压缩比 一.引言

随着网络的快速发展，数据量的增长也十分迅速，这使人们必须想办法如何能以最少的存储空间，最大的传输效率来进行数据的存储和传输。如在宇航中，拍摄得到的图像文件一般都比较大且数量也很多，它的存储，传输和处理会受到一定的限制，因此图像压缩就显得格外重要。图像压缩技术就是要减少图像数据中的冗余信息从而以更加高效的格式存储和传输数据。

图像压缩的基本方法包括无损压缩的行程长度编码，熵编码法；有损压缩的色度抽样法，变换编码，分形压缩等。近几年，基于矩阵奇异值分解的图像压缩方法也得到了很多学者的关注[1]

。因为图像的像素点具有矩阵的结构，我们可以利用奇异值分解来对任意阶数的矩阵操作。本文就是利用了矩阵的奇异值分解，达到了图像压缩的目的。 二. 矩阵奇异值分解原理[2] 引理 1

的非零特征值相同

的特征值均为非负实数，则有

设H H H H H H n

m r

AA A A AA A A AA rank A A rank A rank C A ,)3(,)2()()()()1(==∈⨯ )

()()()(00)(0

0)()1(:1111111A A rank A rank A A rank A rank Ax Ax Ax Ax A x Ax A x X k n Ax A k A A rank H H H H H

H H

H H =⇒≤⇒=⇒==⇒=⇒-=⇒=维，记为的解空间为设证明0

),(),(),(),(0)2(≥⇒===≤⇒=λααλλααααααλααA A A A A A H H

.

...,,,...,,0...0)...(0

...0...,...,..

)()()(0

......0......)3(2121221122112211221111k 21121复度相同的非零特征值的代数重与所以的维数的特征子空间的维数不大于的特征子空间同理可证：的维数特征子空间的维数不大于的特征子空间线性无关，全为零一组基底

的特征子空间是设下面考虑其代数重数：

的非零特征值的非零特征值也是同理可证：的非零特征值也是的特征值为的特征值是是A A AA V A A V AA V AA V A A Ay Ay Ay k k k y k y k y k y k y k y k Ay A k Ay A k Ay A k Ay k Ay k Ay k V A A y y A A AA AA A A AA A A A A AA A A AA A A H H H H H H p p p p p p p H p H H p p H p H H H i i i i H i H i H i i i H m k H n r r H λλλλλλλαλααααλαμμμμμλλλλλ⇒⇒⇒=+++⇒=+++⇒=+++⇒=+++⇒

=⇒=⇒====>≥≥≥====>≥≥≥++定义 1

的正奇异值。

为的奇异值为则称的特征值为设A r i A n i A A C A i i i i n r r H n

m r

),...,2,1(,),...,2,1(.

0......,121=======>≥≥≥∈+⨯λσλσλλλλλ 定理 1

.),...,2,1),,...,,(000n ,...,,,i i i 2121n

m r

的复数（是满足而，其中得，使

阶酉矩阵及阶酉矩阵个正奇异值，则存在的是设r i diag D V D U A V U m r A C A r r ===⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∈⨯σ

δδδδδσσσ)

2()()()

1(00)(00)(0,000,,)0,...0,,...,,(000n 1111111211212211112222222112212

2111)(212122221D D D D AV A V D AV U AV U D AV U U U U U U U A V D U AV AV AV AV A V AV A V D D AV A V D D AV A V AV A V AV A V AV A V C V C V V V V diag D D AV VA A A H H H

H H H

H

H

H

H

H H H H H

m

r r H H H

H

H

H H H H H H H H H H H H H H H H

H H n r n r n n r r r H H

H

H

====⇒==⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⇒∈=⇒=⇒==⇒==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⇒---⨯-⨯--⨯σσσ阶正规矩阵为证明：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛===⇒=000)3(0,0022212D AV

U AV U AV U AV H

H

H

H

H

H

H

所以

三．基于奇异值分解的图像压缩编码 1.图像的压缩

奇异值分解算法的一个重要的特征是可以降维。设A 是n m ⨯型矩阵，表明A 是n 个m 维向量，若A 的秩为r 我们可以通过奇异值分解，将A 表示为r 个m 维向量和r 个n 维向量。若A 的秩小于或远小于m 和n ，那么就可以通过奇异值分解达到降维的目的。

以一幅有n n ⨯个像素点的图画为例，当n 很大时，如果将这2

n 个像素点全

部传送，虽然得到的图像失真度很低，但是传输的效率也会很低。而我们希望在误差允许范围内，尽可能快的传送数据，且在数据接收端能够根据得到的数据重构图像。另外，大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r 个正奇异值中选取前k )(r k <个较大的特征值，再结合这k 个奇异值对应的左右酉矩阵向量，来近似表示图像。那么需要传送的像素点就变成了

)12(+n k 个，如果2)12(n n k <+,就会提高传输效率。定义图像压缩比为:

)

12(2

+=n k n ρ (3-1)

显然，如果k 值越小，则压缩比越大，需要传送的像素点也越小，因而传输速度越快，但是得到的图像失真度将越大，反之亦然。 2. 图像的重构

为

’和’，’’可以写为那么的特征值为列向量均为二维

和其中以二维数组为例，如21222111212121212121,,,,,),,(00),(βββαλβαλλλββααββλλαα+=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=A A A A 转置向量，同理，若A 为n m ⨯型矩阵，那么在图像的数据接收端，接收到的是k 个奇异值和k 个m 维列向量，k 个n 维列向量。近似有公式：