【公开课课件】复合函数的单调性

又u x 22 1在2,上是减函数，在 ,2上是增函数。
y x2 4x 5在5,上是减函数，在 ,1上是增函数。
练习2.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
增函数 增函数 减函数 减函数
令t 6 x x2,则y log2t
y log2t在定义域内是增函数，
又t
x
1 2
2
13 2
在
3,
1 2
上是增函数。
函数y
log 2
6
x
x2
的单调递增区间为
3，
1 2
。
八.小结：
（1）求复合函数的单调区间；
注意：求函数的单调性首先要求函数的定义域。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
2
义域内某区间上的减函数，则
1
2
3 a1
3 a0
1
a
1
3
2
解之得：2 2 3 a 2。
a的取值范围为 a | 2 2 3 a 2 。
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是减函数，在
b 2a
,
上是增函数；
当a
0时，函数在
,
b 2a
上是增函数，在
b 2a
,
上是减函数。
y
y a x (0 a 1)
y ax (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)。此函数是指数函数。
当a 1时，函数在 ,上是增函数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
五.练习：
练习1：求y x2 4x 5函数的单调区间。
练习2.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
练习3：求Fra Baidu bibliotek数 y log 2 6 x x2 的单调递增区间。
练习1：求y x2 4x 5函数的单调区间。
解： x2 4x 5 0 函数的定义域为 ,15,。
令u x2 4x 5,则y u , y u在定义域内是增函数。
u g(x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
四.函数单调区间的求解
例1.求函数y x2 4x 3的单调区间。
解：函数的定义域为R。
y x 22 1在 ,2上是增函数， 在2,上是减函数。
例5.已知函数y log 1 x2 ax a 在 ,1 3 上是增函数， 2
求a实数的取值范围。
解：令u x2 ax a,则y log 1 u
2
0
1 2
1,
y
log
1 u在定义域内是减函数，根据复合函数的单调
2
性可知：y log 1 x2 ax a 是增函数时，u x2 ax a应是其定
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范
围内求函数的单调性。
例4.求f (x) log x2 4x 3 的单调区间。 0.4 解： x2 4x 3 0
1 x 3,即定义域为1,3 令u x2 4x 3 x 22 1,
故单调递增区间为1,2， 单调递减区间为2,3
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
x 6的单调递减区间为
，1 2
。
练习3：求函数 y log 2 6 x x2 的单调递增区间。
解：6 x x2 0
即x2 x 6 0
3 x 2，即函数的定义域为 3,2
故函数y x2 4x 3的单调递增区间为, 2, 单调递减区间为2,
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
1 x 3，即函数的定义域为 1,3。
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数。
的单调递减区间。
解： x2 4x 3 0,
即x2 4x 3 0,
1 x 3
即函数的定义域为1,3
令u
x2
4x
3, 则y
1 2
u
,
y
1 2
u
在定义域内是减函数。
又u x2 4x 3 x 22 1在1, 2上是增函数， 在2，3上是减函数。
y
1 2
x2 4x3
的单调递减区间为1, 2。
二.常用函数的单调性
y
y kx b(k 0)
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数，
当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为, ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为, 。
y k (k 0) x
y O
y log a x(a 1)
x
y logax(0 a 1)
图象的解析式是：y logax(a 0且a 1)。此函数是对数函数。
当a 1时，函数在0， 上是增函数； 当0 a 1时，函数在0， 上是减函数。
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
三、复合函数的单调性
0 0.4 1 y log0.4 t是减区间。
f (x) log x2 4x 3 的单调递增区间为2,3, 0.4
单调递减区间为1, 2。
拓展1：判断函数f (x) log x2 4x 3 的单调性。 2
拓展2：判断函数f (x) log x2 4x 3 的单调性。 a
复合函数的单调性
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 I：
1增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两
个自变量的值x1, x2,当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就 说在这个区间上是增函数。
2减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两
个自变量的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么 就说在这个区间上是减函数。
y
y k k 0
x
O
x
图象的函数解析式是：y k k 0。此函数是反比例函数。
x
当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在0,上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在0,上也是增函数。
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x b
x
2a
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax2 bx c(a 0)。此函数是二次函数。