第二章“解析几何初步”教材分析与教学建议

第二章：“解析几何初步”教材分析与教学建议

房山区教师进修学校中学数学教研室张吉

一、内容与要求

（1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

（2）圆与方程

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（4）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

二、高考说明要求

三、本章说明

本章主要是较系统地学习坐标几何的基本概念和方法。编写的基本理念是，以直线上的坐标几何为基础，一步步地把一维坐标几何推广到二维和三维坐标几何。在讲二维和三维坐标几何时，把二维转化为一维，把三维转化为二维来处理。通过学习，让学生体会用坐标法研究几何的优点。

解析几何的思想方法，就是代数和几何联姻，用代数方法研究几何，把对几何图形的研究代数化。这一章实质上就是代数在几何中的应用。解决问题的基本思路都是：在坐标系中，设动点的坐标，把图形的特征性质转化为代数表示。设未知数列方程或方程组解几何问题。

要注意到同学们的代数基础，如果不太好，要在这一章，通过用代数方法解几何问题，复习代数学的基本方法和技能。打好学生的代数基础。

四、地位与作用

解析几何是数学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科，它是数学的两个基本对象——数与形的统一。通过数形结合，使坐标方法成为一个双面的工具。一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何解释。使代数语言更直观、更形象地表达出来。其中蕴涵了数形结合思想。

五、解析几何内容的整体安排

必修二：平面解析几何初步（约18课时）

必选1-1：圆锥曲线与方程（约12课时,文科选) 2-1: 圆锥曲线与方程（约16课时,理科选) 任选4-4：坐标系与参数方程（理科选）

六、教学内容安排

1．解析几何的本质: 是用代数方法研究图形的几何性质.它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。

2．《课程标准》要求：要求学生在解析几何初步的学习中，经历将几何问题代数化，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题的过程。即,这部分内容的学习有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想，形成正确的数学观；解析几何的内容强调几何，突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义；对解析几何内容采用的处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何学习的兴趣，克服几何学习可能会造成学生两极分化的弊端。

八、解析几何的基本思想

1．几何→代数

（1）将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系；

（2）将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义；

（3）解决几何问题。

2．代数→几何：强调借助几何直观理解代数关系的意义，即对代数关系的几何意义的解释，个在这过程中，让学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

九、本章重点、难点

1．重点：（1）直线的点斜式方程、一般式方程；（2）圆的标准方程和一般方程的两种形式。

2．难点：（1）坐标法的应用。

十、教材的编写特色

充分体现解析几何基本思想——通过建立坐标系，将几何问题代数化，进而用代数方法解决几何问题。让学生掌握一种学习与研究的方法。

1．特色之一：突出解析法基本思想——代数方法解决几何问题

重视“数形结合”思想的运用——以形助数、依数识形

2．特色之二:过程彰现新理念：在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。

3．特色之三：《初步》内容更显丰富：两条平行直线之间的距离；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系。由幕后跳到前台，让《初步》内容变得丰满起来。

4．特色之四：将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解析几何的研究程序。

Ｈ.伊夫斯：“解析几何是数学家应用变换－－求解－－反演法的一个最精彩、最深入、最富有成果的例子”，“解析几何与其说是一个几何学分支，不如说是一种几何方法”。

十一、教学建议

１.要让学生感受到方程形式与曲线分类的关系－－解析几何的价值之一；

２.要让学生感受用解析法处理几何问题的优越性：不在乎繁简，而在于其方法论的价值－－解析几何的又一重要价值；

3．让学生体验解析几何研究问题的方法和特点；

4．突出数形结合的数学思想：形的直观数的一般数与形的对立统一；不能“得意忘形”；

5．在知识与概念形成过程中，培养学生的合情推理能力、数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力

十二、分节分析

2．1 平面直角坐标系中的基本公式（2课时）

2．1．1 数轴上的基本公式（1课时）

1．教学目标

（1）能通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系、实数与位移的对应关系；

（2）理解实数运算在娄数轴上的几何意义；

（3）掌握数轴上两点距离公式；

（4）掌握数轴上向量加法的坐标运算。

2．内容分析

3．本节重点、难点

4．教学建议

（1）这一小节，在教学上往往被忽视。但一维坐标几何是二维、三维坐标几何的基础。教师一定要下些功夫，让学生牢固掌握。

（2）首先复习数轴，建立数轴上的点与实数的一一对应关系。然后引入位移向量的概念，建立直线上的向量与实数的一一对应。以往在平面解析几何中，不引入向量的概念，由有向线段代替。对有向线段，也没有引入运算的概念，这样数轴上的基本计算公式，证明起来比较麻烦。现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何基本公式的推导。也为今后进一步的学习坐标几何打下坚实的基础。

（3）在初中，学习正负数时，就用正负数表示位移的大小和方向，并用位移的合成学习正负数的加法。这里把直线上相等的位移定义为一个向量，并与实数建立一一对应关系，学生理解起来应该不会有困难。建议教学时，进行探索。建立起实数与直线上的位移向量间的一一对应关系，使数与形更准确地结合起来。

（4）数轴上的向量的加法运算及用向量表示点的位置，是整个解析几何的基础。教学时，一定要给予足够的重视。一定要让学生彻底地理解，熟练地掌握。教材仍采用传统的习惯，把加法运算表示为公式： AB+BC=AC，由此导出解析几何中两个最基本的公式： AB=x2-x1，d(A，B)=|x2– x1|。对这两个公式，一定要多做练习，让学生熟练掌握。在这两个公式的基础上，最好引导学生导出中点公式。

（5）本节的练习A，B要求大多数学生都能熟练地做出。不仅是要求学生记住上述两个公式，而且要求学生完全理解它的几何意义和代数意义，为数形结合打下牢固的基础。练习中出现的不等式，要求学生完全由不等式表示的几何意义求解。这里不需要补充代数解法。

5．例题分析

2．1．2 平面直角坐标系中的基本公式

1．教学目标

（1）掌握直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式；

（2）推导直角坐标系中两点的距离公式与线段中点的坐标公式。

2．内容分析

（1）直角坐标系中两点的距离公式；

（2）直角坐标系中线段中点的坐标公式。

3．本节重点、难点

（1）重点：利用勾股定理与数轴上位移数量的计算公式推导平面上两点的距离公式。

（2）难点：应用坐标法研讨几何问题。

4．教法分析

（1）首先把数轴上的基本公式距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，把二维的事物转化为一维来处理。等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题。这样做是不是更符合学生的认识规律？（2）关于距离公式有两点提醒老师注意：

第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；

第二，贯彻算法思想（机械化计算）。这一点，大家一定要注意：按步骤计算（一点都马虎不得），是学好数学的基本功。（3）中点公式：应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示。应多做练习，让学生掌握中点公式的应用。

（4）这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题。通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程。只要学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出。而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义。不妨在学习椭