《应用概率统计》期末模拟试题及答案

试卷代号： 座位号

中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试

数学与应用数学应用概率统计试题A 卷

年 月

一、填空题（每空格3分，共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 、B 、C 都不发生”，用C B A 、、表示为 ；

2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则

=EX

DX

； 3．设随机变量X 的分布律为() ,2,1,0!

)(=?==k k a k X P k

λ，其中0>λ为已知常数，

则常数a 为 ；

4．若事件C

B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=

C P ，则

)(C B A P = ；

5．设随机变量X 在()1,0服从均匀分布，则X e Y =的概率密度为 ； 6．设随机变量X 的分布律为

则12+X 的分布律为 ；

7．随机变量X 、Y 的相关系数XY ρ定义为 ；

8．若b a ,为常数，X 的方差为)(X D ，则=+)(b aX D ； 9．设n X X X ,,,21 是来自正态总体()2

,~σμN

X 的样本，2S 为样本方差，则()

2S E

为 ；

10．设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，且2σ未知，用样本检验假设0H ：

0μμ=时，采用统计量是 。

二、判断题：若对回答“对”；若错回答“错”。（每小题2分，共20分）

1．设C B A 、、表示3个事件，则_

_______

C B A ABC =； （ ） 2．n X X X ,,,21 是来自于总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X

n

X 1

1~),(2σμn n N 分布；

（ ） 3．若()2

,~σμN

X ，则()()σμ==X D X E ,；

（ ） 4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； （ ）

5．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立；（ ） 6．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；（ ） 7．在5次独立重复试验中，事件A 发生了2次，则()5

2

=

A P ；（ ） 8．设随机变量ξ的方差1=ξD ，且βαξη+=（α、β为非零常数），则ηD 为βα+2； （ ）

9.两个相互独立的随机变量Y X ,的方差分别为4与2；则()2823=-Y X D （ ）

10．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321?X X X ++=μ

是μ的 无偏估计量。（ ）

三、计算题（共35分）

1．一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时任取3只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律。（7分） 2．设)4,2(~N X ，试求X 的概率密度)(x f 。（5分）

3．已知在10个晶体管中有2个次品，在其中取两次，每次随机地取一只，作不放回地抽样。求下列事件的概率：（1）二只都是正品；（2）二只都是次品。（6分）

4．已知随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量

72+-=Y X Z ，试求Z 的密度函数。（7分）

5．从正态总体()

264.3，N 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 。如果要求其样本均值

∑==n

i i X n X 1

__

1位于区间()4.5,4.1内的概率不小于95.0，问样本容量n 至少应取多大？。

（10分）

附标准正态分布表：

()?

∞

--=

Φz

t dt e z 2

221π

四、证明题（15分）

若三个事件C B A 、、相互独立，则B A 与C 独立。

参考答案：

一、填空题（每空格3分，共30分）

1．_

__C B A ； 2. p -1 3.λ-=e a 4. 0.775

5.()??

???<<=，其他，

011

e y y y

f Y

6． 7.()()()

Y D X D Y X Cov xy ,=

ρ；

8.)(2

X D a

9.2σ 10.

S

X n )

(0μ-

二、判断题（每小题2分，共20分） 1．错 2. 错 3. 错 4. 对 5. 错 6. 对 7. 错 8. 错 9. 错 10.错

三、计算题（共35分）

1．解：

{}10

1

335

22=

=

=C C X P ---------------------------------------------------2分 {}10

3

435

23=

=

=C C X P ---------------------------------------------------2分

{}10

6

535

24=

=

=C C X P ---------------------------------------------------2分

故X 的分布律为

----------------------------------------------1分

2. 解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：

)(21)(2

22)(+∞<<-∞=

--

x e

x f x σμσ

π； （3分）

进而，将2,2==σμ代入上述表达式可得所求的密度函数为：

),(221)(8

)2(2

+∞-∞∈=

--

x e

x f x π

。 （2分）

3.解：（1）设两次都是正品的事件为21A A ，，

()()()45

28

9710812121=?=

=A A P A P A A P ---------------------------------------------------------3分 （2）设两次都是次品的事件为21B B ，，

()()()45

19110212121=?=

=B B P B P B B P --------------------------------------------------------3分

4. 解：因为随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，所以利用正态随机变量的可加性（或再生性）可知72+-=Y X Z 仍服从正态分布；-----------------（3分） 又因为

5141)(4)()(,072237)(2)()(=?+=+==+?--=+-=Y D X D Z D Y E X E Z E

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------（2分）

由此可知所求的概率密度为)10exp(101

)(2z z f Z -=π

。--------------------------------- （2分）

5.解：以__

X 表示该样本均值，则 ()1,0~6

4

.3__

N n X -----------------------------------------------------------------------------------1分 从而有

???

???

????????<-=??

?

???????<-=??????????<-<-=??????????<<6264

.324.324.324.54.1__

______n n X P X P X P X P

95.0132≥-??

?

?

??Φ=n -----------------------------------------------------------5分 故975.03≥???

?

??Φn ---------------------------------------------------------------------------------------1分 由此得

96.13

≥n

-----------------------------------------------------------------------------------------1分 即()57.34396.12≈?≥n ---------------------------------------------------------------------------1分 所以n 至少应取35。-----------------------------------------------------------------------------------1分

四、证明题（15分）

证明：因为C B A 、、相互独立，所以

)()()(C P A P AC P =； （2分） )()()(C P B P BC P =； （2分） )()()()(C P B P A P ABC P =； （2分）

从而，我们可得

)

()()]()()()()[()()()()()()()()

()()()())((B A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P =-+=-+=-+==

由独立性的定义可知：B A 与C 独立。 （9分）