第6章：杆件横截面上的应力分析
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取决于物体所受外力合力的大小，而很少考虑外力的分布 方式。事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近区 域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大， 可由圣维南原理加以说明。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
2 .圣维南原理
当杆端承受集中载荷 或其他非均匀分布的载荷 时，杆件并非所有的横截 面都保持平面，从而产生 均匀的轴向变形，这种情 况下， 公式：
s FN A
并不对杆件所有横截面都适用。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代， 除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外， 在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。
F
F
F
F
有限元分析的圣维南原理
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1.2 应力集中
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在 离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。 但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟 槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增 大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于 均匀。
A
A s max 应力集中处的最大应力。由解析理论、
实验或数值方法确定。
s 削弱以后横截面上的平均应力。不考虑
F
应力集中条件下求得的应力值。
实验结果表明：截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。 应力集中能促使疲劳裂纹的形成和扩展，因而对构件的疲劳 强度影响极大。
集度（即单位杆长的重量）为：
q Ag
(a)
2.求轴力函数并画轴力图，确定危险截面。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
在距离柱顶端任意位置x处， 用截面法将柱体沿该处截 开，取上半段为研究对象， 其受力图如图(b)所示。 由平衡方程可得轴力函数: l
F N (x ) gA (0 x l)
画轴力图如图(c)所示。
【例题6-2】一等截面的柱体，横截面面积为A，高度为l，材料
密度为ρ，如图所示。试求其由于自重引起的最大正应力。
分析：在需要考虑力的内效应时，杆件的 自重不能作为集中力而须作为分布载荷看 待，因此需先求出轴力函数。
解：1.求重力集度q。
在需要考虑力的内效应时，杆件
l
的自重不能作为集中力而须作为
q
分布载荷看待（如图(a)），重力
10kN
+
O
+
x
-
FNmax30kN
30kN
2.求最大正应力。
sm ax F N A ma x 4 F π N d 2 ma x 3 .1 4 4 3 2 2 1 0 0 1 3N -0 6m 02 9.5 5 1 46P 0 a 95.5
BC段轴力是压力，故得到的应力是压应力。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
由轴力图可知，底端截面 为危险截面，且
xq
FN O
q
FN(x)
(a)
x gAl
(b)
(c)
FN max= ρgAl
3.求最大正应力。
σmax=FNAmax=ρgAA=l ρgl（压应力） .
第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-3】 起重吊环的尺寸如图所示，若起吊重量F38kN，
1 .拉（压）杆横截面上的应力 ➢轴向拉伸实验
F
F
➢实验现象 (1) 各横向线仍保持直线，任意两相邻横向线沿轴线发生相对平移；
(2) 横向线仍然垂直于纵向线，纵向线仍然保持与杆件的轴线平行。 原来的矩形网格仍为矩形。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
➢假设与推理 平面假设 : 变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面
第六章 杆件横截面上的应力分析
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
主要内容
• 6.1 拉（压）杆横截面上的应力 • 6.2 受扭圆轴横截面上的应力 • 6.3 弯曲梁横截面上的应力
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
引
言
➢ 问题提出
F
F
两根拉杆：
材料相同，粗细不同，
F
F
拉力相同并同步增大。
两杆横截面上的轴力始终相同，细杆先被拉断。
完成了杆件的内力分析，还不足以解决杆件的强度问题。
解决杆件的强度问题，还须对杆件进行应力分析。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
➢ 杆件横截面上应力分析的方法
分析截面上的应力，首先必须了解应力在截面上的分布规律。
由于应力是不可见的，杆件受力后产生的应变却是可见的， 而应力和应变之间存在着一定的关系。
且仍垂直于杆件的轴线。
横截面上各点处仅有正应力s，
F
FN
并沿截面均匀分布。
s
拉（压）杆横截面上正应力的计算公式
设横截面的面积为A，由静力学关系：
s•AFN
s FN A
（此即为拉(压)杆横截面上正应力的计算公式）
其中：σ 为拉（压）杆横截面上的正应力（符号规定：拉为正、压为负）；
FN为杆件横截面上的轴力； A 为杆件横截面面积。
对杆件进行应力分析时，通常须借助相应的变形实验，根据 实验中所观察到的杆件表面的变形现象，据此建立一些关于 变形的假设，并作出由表及里的推测，以获得应力在截面上 的分布规律，从而推导出相应的应力计算公式。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1 拉（压）杆横截面上的应力
6.1.1 拉（压）杆横截面上的应力
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-1】等截面直杆的直径d20mm，受载如图所示，其中：
F1 10kN，F2 40kN，F3 50kN，F4 20kN。试求杆的最大正应力。
解：1.画轴力图，确定杆件内各
F1
F2
F3
F4
截面的轴力。
A
B
C
D
画出杆件的轴力图如图所示。
FN
20kN
由轴力图可知，杆件的BC 段的轴力最大，且
由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为 应力集中。
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
F
F
F
m
nm
nm
n
F
smax
m
n
F
s max
mn
F
smax
mn
F
F
F
有圆孔或切口或倒角的受拉板条
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
smax
理论应力集中系数α s max s
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
备注:
（1）公式也适用于FN为压力时的应力计算。但要注意对于细 长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题（这一内容 将在后面专门研究），这里所指的是受压杆未被压弯的 情况。
（2）对于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：
s(x) FN(x)
A(x) （3） 用公式计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅
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第六章 杆件横截面上的应力分析
2 .圣维南原理
当杆端承受集中载荷 或其他非均匀分布的载荷 时，杆件并非所有的横截 面都保持平面，从而产生 均匀的轴向变形，这种情 况下， 公式：
s FN A
并不对杆件所有横截面都适用。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代， 除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外， 在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。
F
F
F
F
有限元分析的圣维南原理
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第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1.2 应力集中
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在 离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。 但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟 槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增 大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于 均匀。
A
A s max 应力集中处的最大应力。由解析理论、
实验或数值方法确定。
s 削弱以后横截面上的平均应力。不考虑
F
应力集中条件下求得的应力值。
实验结果表明：截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。 应力集中能促使疲劳裂纹的形成和扩展，因而对构件的疲劳 强度影响极大。
集度（即单位杆长的重量）为：
q Ag
(a)
2.求轴力函数并画轴力图，确定危险截面。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
在距离柱顶端任意位置x处， 用截面法将柱体沿该处截 开，取上半段为研究对象， 其受力图如图(b)所示。 由平衡方程可得轴力函数: l
F N (x ) gA (0 x l)
画轴力图如图(c)所示。
【例题6-2】一等截面的柱体，横截面面积为A，高度为l，材料
密度为ρ，如图所示。试求其由于自重引起的最大正应力。
分析：在需要考虑力的内效应时，杆件的 自重不能作为集中力而须作为分布载荷看 待，因此需先求出轴力函数。
解：1.求重力集度q。
在需要考虑力的内效应时，杆件
l
的自重不能作为集中力而须作为
q
分布载荷看待（如图(a)），重力
10kN
+
O
+
x
-
FNmax30kN
30kN
2.求最大正应力。
sm ax F N A ma x 4 F π N d 2 ma x 3 .1 4 4 3 2 2 1 0 0 1 3N -0 6m 02 9.5 5 1 46P 0 a 95.5
BC段轴力是压力，故得到的应力是压应力。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
由轴力图可知，底端截面 为危险截面，且
xq
FN O
q
FN(x)
(a)
x gAl
(b)
(c)
FN max= ρgAl
3.求最大正应力。
σmax=FNAmax=ρgAA=l ρgl（压应力） .
第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-3】 起重吊环的尺寸如图所示，若起吊重量F38kN，
1 .拉（压）杆横截面上的应力 ➢轴向拉伸实验
F
F
➢实验现象 (1) 各横向线仍保持直线，任意两相邻横向线沿轴线发生相对平移；
(2) 横向线仍然垂直于纵向线，纵向线仍然保持与杆件的轴线平行。 原来的矩形网格仍为矩形。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
➢假设与推理 平面假设 : 变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面
第六章 杆件横截面上的应力分析
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第六章 杆件横截面上的应力分析
主要内容
• 6.1 拉（压）杆横截面上的应力 • 6.2 受扭圆轴横截面上的应力 • 6.3 弯曲梁横截面上的应力
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第六章 杆件横截面上的应力分析
引
言
➢ 问题提出
F
F
两根拉杆：
材料相同，粗细不同，
F
F
拉力相同并同步增大。
两杆横截面上的轴力始终相同，细杆先被拉断。
完成了杆件的内力分析，还不足以解决杆件的强度问题。
解决杆件的强度问题，还须对杆件进行应力分析。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
➢ 杆件横截面上应力分析的方法
分析截面上的应力，首先必须了解应力在截面上的分布规律。
由于应力是不可见的，杆件受力后产生的应变却是可见的， 而应力和应变之间存在着一定的关系。
且仍垂直于杆件的轴线。
横截面上各点处仅有正应力s，
F
FN
并沿截面均匀分布。
s
拉（压）杆横截面上正应力的计算公式
设横截面的面积为A，由静力学关系：
s•AFN
s FN A
（此即为拉(压)杆横截面上正应力的计算公式）
其中：σ 为拉（压）杆横截面上的正应力（符号规定：拉为正、压为负）；
FN为杆件横截面上的轴力； A 为杆件横截面面积。
对杆件进行应力分析时，通常须借助相应的变形实验，根据 实验中所观察到的杆件表面的变形现象，据此建立一些关于 变形的假设，并作出由表及里的推测，以获得应力在截面上 的分布规律，从而推导出相应的应力计算公式。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1 拉（压）杆横截面上的应力
6.1.1 拉（压）杆横截面上的应力
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第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-1】等截面直杆的直径d20mm，受载如图所示，其中：
F1 10kN，F2 40kN，F3 50kN，F4 20kN。试求杆的最大正应力。
解：1.画轴力图，确定杆件内各
F1
F2
F3
F4
截面的轴力。
A
B
C
D
画出杆件的轴力图如图所示。
FN
20kN
由轴力图可知，杆件的BC 段的轴力最大，且
由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为 应力集中。
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第六章 杆件横截面上的应力分析
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第六章 杆件横截面上的应力分析
F
F
F
m
nm
nm
n
F
smax
m
n
F
s max
mn
F
smax
mn
F
F
F
有圆孔或切口或倒角的受拉板条
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第六章 杆件横截面上的应力分析
smax
理论应力集中系数α s max s
.
第六章 杆件横截面上的应力分析
备注:
（1）公式也适用于FN为压力时的应力计算。但要注意对于细 长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题（这一内容 将在后面专门研究），这里所指的是受压杆未被压弯的 情况。
（2）对于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：
s(x) FN(x)
A(x) （3） 用公式计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅