二倍角的正弦、余弦、正切公式【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品系列PPT
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2sin100°
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例2
(1)若
cos(π4－α)＝45，则
7 sin2α＝__2_5___.
(2)已知 α 是第二象限角，tan(π＋2α)＝－43，则 tanα＝__－__12____.
[解析] (1)方法一：由 cos(π4－α)＝54，得 22(sinα＋cosα)＝45.两边同时 平方，得12(sinα＋cosα)2＝1265.故 1＋sin2α＝3225.所以 sin2α＝275.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
(4)降幂扩角变换． cos2α＝21(1＋cos2α)，sin2α＝12(1－cos2α)， sinαcosα＝12sin2α.
• 提示：因为sin2α＋cos2α＝1， • 所以cos2α＝cos2α－sin2α • ＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； • cos2α＝cos2α－sin2α • ＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
④对于任意角 α，都有 sinα2＝2sinα4cosα4.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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(2)对于公式 S2α，C2α 中的角 α 是任意角，但是 T2α 中的角 α 要保证 tanα 有意义且分母 1－tan2α≠0.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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• [归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式 将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；
(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及 cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．
【对点练习】❷ 若 sinα＋3sin(π2＋α)＝0，则 cos2α 的值为( C )
2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
Fra Baidu bibliotek
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
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• 思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
基础自测
1．下列说法正确的个数是( A ) ①对任意的角总有 sin2θ＝2sinθ. ②不存在角 α，使得 cos2θ＝2cosθ.
③公式 tan2α＝1－2tatannα2α成立的条件是 α≠kπ＋π2，k∈Z.
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提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
3．已知 cosα＝31，则 cos2α 等于( C )
A．31
B．32
C．－97
D．79
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
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A．－35
B．53
C．－54
D．45
[解析] 由 sinα＋3sin(π2＋α)＝0，得 sinα＋3cosα＝0，所以 tanα＝csoinsαα
＝－3，则 cos2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα＝11＋－99＝－45，故选 C．
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【对点练习】❶ 求下列各三角函数式的值： (1)cos72°cos36°； (2)sin150°＋cos530°. [解析] (1)原式＝cos36°·cos72°
1 ＝2sin36°2·csoins3366°°·cos72°＝22ssiinn13464°°＝41. (2)原式＝coss5in05°0＋°·co3ss5in05°0°＝2sin150°＋30°＝4sisnin18000°°＝4.
3 2.
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5．设 sinα＝2cosα，则 tan2α 的值为__－__43____. [解析] tanα＝csoinsαα＝2， 所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34.
基础知识 •知识点1 二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)． (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)． (3)tan2α＝1－2tatannα2α(T2α)． 思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系， 对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？
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题型探究 题型一 利用二倍角公式给角求值问题
例 1 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatann125105°0°； (4)sin110°－cos130°；(5)cos20°cos40°cos80°. [分析] 观察角的特点 → 寻求角的联系 → 选择公式 → 化简求值
方法二：由二倍角公式，得 cos2(π4－α)＝1＋cos2π2－2α＝1＋s2in2α＝ 1265，所以 sin2α＝275.
方法三：因为 cos(π4－α)＝54，所以 sin2α＝cos(π2－2α)＝cos2(π4－α)＝ 2cos2(π4－α)－1＝2×1265－1＝275.
(2)由题设得 tan(π＋2α)＝tan2α＝－43.由二倍角公式，得 tan2α＝ 1－2tatannα2α＝－43，整理得 2tan2α－3tanα－2＝0，解得 tanα＝2 或 tanα＝－21. 因为 α 是第二象限的角，所以 tanα＝－12.
ππ π [解析] (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°) ＝－tan60°＝－ 3.
(4)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn2200°°＝4. (5)原式＝2sin20°·cos22s0in°·2c0o°s40°·cos80° ＝2sin40°4·csoins4200°°·cos80°＝2sin88s0in°·2s0in°80° ＝s8isni1n6200°°＝81.
题型三 利用二倍角公式给值求角 例 3 已知 tan(α－β)＝21，tanβ＝－71，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β
的值． [分析] 本题根据 tanβ＝－17<0 且 β∈(0，π)，确定π2<β<π，可求得 tanα
＝13且 α∈(0，π)，确定 0<α<π4，这是求角的范围的关键．
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第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
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4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
[解析]
原式＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
• [归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
• (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
• (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正 弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
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关键能力·攻重难
•知识点2 二倍角公式的转换 • (1)因式分解变换．
• cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
• (2)配方变换：
• 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
• (3)升幂缩角变换．
• 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例2
(1)若
cos(π4－α)＝45，则
7 sin2α＝__2_5___.
(2)已知 α 是第二象限角，tan(π＋2α)＝－43，则 tanα＝__－__12____.
[解析] (1)方法一：由 cos(π4－α)＝54，得 22(sinα＋cosα)＝45.两边同时 平方，得12(sinα＋cosα)2＝1265.故 1＋sin2α＝3225.所以 sin2α＝275.
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(4)降幂扩角变换． cos2α＝21(1＋cos2α)，sin2α＝12(1－cos2α)， sinαcosα＝12sin2α.
• 提示：因为sin2α＋cos2α＝1， • 所以cos2α＝cos2α－sin2α • ＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； • cos2α＝cos2α－sin2α • ＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
④对于任意角 α，都有 sinα2＝2sinα4cosα4.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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(2)对于公式 S2α，C2α 中的角 α 是任意角，但是 T2α 中的角 α 要保证 tanα 有意义且分母 1－tan2α≠0.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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• [归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式 将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；
(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及 cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．
【对点练习】❷ 若 sinα＋3sin(π2＋α)＝0，则 cos2α 的值为( C )
2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
Fra Baidu bibliotek
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
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• 思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
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基础自测
1．下列说法正确的个数是( A ) ①对任意的角总有 sin2θ＝2sinθ. ②不存在角 α，使得 cos2θ＝2cosθ.
③公式 tan2α＝1－2tatannα2α成立的条件是 α≠kπ＋π2，k∈Z.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
3．已知 cosα＝31，则 cos2α 等于( C )
A．31
B．32
C．－97
D．79
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
A．－35
B．53
C．－54
D．45
[解析] 由 sinα＋3sin(π2＋α)＝0，得 sinα＋3cosα＝0，所以 tanα＝csoinsαα
＝－3，则 cos2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα＝11＋－99＝－45，故选 C．
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【对点练习】❶ 求下列各三角函数式的值： (1)cos72°cos36°； (2)sin150°＋cos530°. [解析] (1)原式＝cos36°·cos72°
1 ＝2sin36°2·csoins3366°°·cos72°＝22ssiinn13464°°＝41. (2)原式＝coss5in05°0＋°·co3ss5in05°0°＝2sin150°＋30°＝4sisnin18000°°＝4.
3 2.
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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5．设 sinα＝2cosα，则 tan2α 的值为__－__43____. [解析] tanα＝csoinsαα＝2， 所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34.
基础知识 •知识点1 二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)． (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)． (3)tan2α＝1－2tatannα2α(T2α)． 思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系， 对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？
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题型探究 题型一 利用二倍角公式给角求值问题
例 1 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatann125105°0°； (4)sin110°－cos130°；(5)cos20°cos40°cos80°. [分析] 观察角的特点 → 寻求角的联系 → 选择公式 → 化简求值
方法二：由二倍角公式，得 cos2(π4－α)＝1＋cos2π2－2α＝1＋s2in2α＝ 1265，所以 sin2α＝275.
方法三：因为 cos(π4－α)＝54，所以 sin2α＝cos(π2－2α)＝cos2(π4－α)＝ 2cos2(π4－α)－1＝2×1265－1＝275.
(2)由题设得 tan(π＋2α)＝tan2α＝－43.由二倍角公式，得 tan2α＝ 1－2tatannα2α＝－43，整理得 2tan2α－3tanα－2＝0，解得 tanα＝2 或 tanα＝－21. 因为 α 是第二象限的角，所以 tanα＝－12.
ππ π [解析] (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°) ＝－tan60°＝－ 3.
(4)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn2200°°＝4. (5)原式＝2sin20°·cos22s0in°·2c0o°s40°·cos80° ＝2sin40°4·csoins4200°°·cos80°＝2sin88s0in°·2s0in°80° ＝s8isni1n6200°°＝81.
题型三 利用二倍角公式给值求角 例 3 已知 tan(α－β)＝21，tanβ＝－71，且 α，β∈(0，π)，求 2α－β
的值． [分析] 本题根据 tanβ＝－17<0 且 β∈(0，π)，确定π2<β<π，可求得 tanα
＝13且 α∈(0，π)，确定 0<α<π4，这是求角的范围的关键．
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第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
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4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
[解析]
原式＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
• [归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
• (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
• (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正 弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公 式-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共4 5张PPT )
关键能力·攻重难
•知识点2 二倍角公式的转换 • (1)因式分解变换．
• cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
• (2)配方变换：
• 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
• (3)升幂缩角变换．
• 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.