有限射影平面
1、
有限射影平面 2、
我们先看一个有趣的问题：有一位好客的女主人打算邀请7位朋友来家里聚会,每次聚会她只想邀请3位宾客,但是她希望其中的任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面,那么她应该怎样安排呢？这样的安排是否存在?
我们简单试一下就会发现,任何两次聚会中必须有一位相同的朋友被邀请到.换句话说,如果第一次邀请A 、B 、C,第二次邀请D 、E 、F,这样安排是行不通的.下面我们给出一种可行的安排方案：
第一次邀请A 、B 、C ；第二次,邀请A 、D 、E ；第三次,邀请A 、F 、G ；第四次,邀请B 、D 、F ；第五次,邀请B 、E 、G ；第六次,邀请C 、D 、G ；第七次,邀请C 、E 、F.我们可以用下面的一个图形来表示这个邀请方案:
上面的图形是非常有名的！它是由数学家G.Fano 在1892年提出的,实际上,它就是定义在二元域上的二阶射影平面PG （2,2）.
射影几何的研究始自法国数学家G.Desargues 的1639年的著作,但是在当时并没有引起人们的重视.一直到两个世纪后,由于法国著名数学家J.V.Poncelet 著作(1822)的发表,射影几何才开始受到数学界的重视,更使其成为19世纪几何学研究的重点.射影几何学在古典几何学中是最基础的、最广泛的而且是最自由的.它是公理化数学的典型之一例,也可以说它是现代数学的先驱.
定义 射影平面（P,L ）是由点集合P 和线集合L 构成的,它是满足下面条件的平面
1、任意两个点决定一条直线,每条直线上至少有两个点；
2、任意两条直线都相交；
3、存在4点集,使其中的任意三个点不在一条直线上.
注意,定义中的条件3是为了排除射影平面只有一条直线的平凡情形的.
定理4.1 设（P,L ）为射影平面,其中点集合P 含v 个点,线集合L 有b 条线,则存在
一整数2≥k ,使12++==k k b v ,而且每条直线上有1+k 个点,过每个点有1+k 条线.
我们称上述定理中的k 为射影平面（P,L ）的阶数.在有限射影几何中一个非常重要的核心问题是：对给定的自然数k ,k 阶射影平面是否存在？如果存在,则有几种类型？ 定理4.2 2阶射影平面是唯一的.
证明 由于是2阶射影平面,所以只能有7个点,不妨设点集合为{0,1,2,3,4,5,6}.因为过点1有三条直线,不妨设它们为{1,2,4},{1,3,0},{1,6,5}.又过点2也有三条直线,而其中的一条已为{1,2,4},所以另外的两条直线可设为{2,3,5}和{2,0,6}.由射影平面的定义,点4和点0应该决定一条直线,而且其上的另外一点为点5.同理,点3和点4也决定一条直线,其上的另外一点为点6.则其决定的射影平面如图示：
我们很容易验证,上图与前面的Fano 图形是一致的,即2阶射影平面唯一.
下面我们再给出3阶射影平面的图示:
其中13条直线分别为{1,2,3,11},{4,5,6,11},{7,8,9,11},{1,4,7,13},{2,5, 8,13},{3,6,9,13},{1,5,9,12},{2,6,7,12},{3,4,8,12},{1,6,8,10},{2,4,9, 10},{3,5,7,10}, {10,11,12,13}.
定理4.3 如果给定的自然数n p k ，p 为素数,则k 阶射影平面存在.
证明的方法是利用有限域上的线性空间去构造k 阶射影平面.我们在后面的章节会给出详细的证明.
通过上述的定理,我们知道2,3,4,5,7,8,9阶射影平面是存在的,而且进一步知道,2,3,4,5,7,8阶射影平面是唯一的,9阶射影平面至少有4种.6阶射影平面不存在.1991年加拿大的林永康（Clement Lam ）教授研究小组,利用计算机证明了不存在
10阶射影平面,但是严格的数学逻辑证明目前还没有.至于其它阶数的射影平面是否存在,目前还不知到.
射影平面
射影平面 ３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念 影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念． 仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念． 平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点． 在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点． 解题指导（习题选解） 练习３－１ １． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法． 假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比． ４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在 2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平 行直线？ 解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行． 同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行． ５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．
证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析 透视对应、中心透视的概念 透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞ 'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '． 中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞ 'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '． 定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质； 平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面 π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两 条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面 π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交 于l 的直线． 利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２ １． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点 证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点． ２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线． 证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2 l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1 l '和2l ' 的交点，即无穷远点，也就） （图1
关于平面的射影点
关于平面的射影点 射影几何是几何学的一个分支，它研究的是在平面上的点、线、面在投影变换下的性质与关系。在射影几何中，我们常常会遇到一个重要的概念——射影点。 什么是射影点呢？简单来说，射影点是指在平面上的一个点在投影变换下的像点。在实际应用中，我们常常需要通过射影点来解决一些几何问题，比如计算图形的面积、求解几何体的位置关系等。 让我们来了解一下射影变换的基本概念。射影变换是指从一个平面到另一个平面的一种特殊的映射关系。在射影变换中，平行线不再保持平行，而是相交于无穷远点。这也就意味着，在射影变换下，平面上的点与无穷远点之间的距离会趋于无穷大，而无穷远点则成为了平面上的一个特殊点，称为“射影点”。 射影点在几何学中有着重要的应用。例如，在计算图形的面积时，我们可以通过选择适当的射影点来简化计算过程。通过将图形投影到一个平面上，我们可以在这个平面上计算图形的面积，然后再通过射影点的变换将结果转换回原始平面。这样，我们就可以利用射影点来简化面积计算过程，提高计算效率。 射影点还可以用于求解几何体的位置关系。在判断两个几何体是否相交时，我们可以通过选择适当的射影点来判断它们的相对位置。
通过将两个几何体投影到同一个平面上，并选择一个合适的射影点，我们可以在这个平面上判断它们是否相交。如果相交，则它们在原始平面上也相交；如果不相交，则它们在原始平面上也不相交。这样，我们可以利用射影点来简化判断过程，提高求解效率。 射影点是射影几何中的一个重要概念，它可以帮助我们解决一些几何问题。通过选择适当的射影点，我们可以简化计算过程，提高求解效率。射影点在计算机图形学、计算机视觉等领域有着广泛的应用，对于研究和应用射影几何具有重要意义。 希望通过本文的介绍，读者能够对射影点有一个更深入的理解，并能够灵活运用射影点解决实际问题。同时也希望读者能够进一步探索射影几何的其他相关概念和应用，拓宽自己的数学知识和视野。
射影平面.
射影平面 图形的射影性质 在引进无穷远元素之后，将直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应. 如上图3-1所示，通过中心投影，把l 上影消点q 投影到'l 上无穷远点∞P ，将l 上无穷远点∞P 投影到'l 上影消点'q .于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这个中心投影为透视对应.同理可以建立平面之间的透视对应. 中心投影把π上影消线l 投影到'π上无穷远直线'∞l ，同时把π上无穷远直线∞l 投影到' π上影消线'l .于是中心投影建立了平面之间的一一对应，称为平面π与'π之间的中心透视. 思考题：中心投影与平行投影之间的关系如何？ 事实上，平行投影是特殊的中心投影，投影中心为一无穷远点. 定义3.1 图形在中心投影下不变的性质(不变的量)，叫做图形的射影性质（射影不变量）. 比如同素性、结合性都是射影不变性质，另外平行性质与单比不是射影性质，他们在中心投影下改变. ` 图3-5 如果中心射影把平面π上直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，见图3-5，那么平面π上两条相交直线，若交点在影消线l 上，它们的象是π'上的两条平行线，反过来平面π'上两条平行线，它们的原象是π上两条相交于l 上的直线．利用中心射影把一直线投影成无穷远直线，可以证明一些几何问题． B A N 1N Q P l 1Q 1P M 1M 图3-6 例1 如图3-6所示, 设B ,A 是直线l 外两点. 在直线l 上任取两点P 与Q ,AP 交BQ 于N ,BP 交AQ 于M .则MN 通过AB 上一定点.
证明 设B ,A 与l 所在的平面为π,选取平面π',做到的中心射影,把B ,A 投到无穷远.设11Q ,P 是直线l 上的另外任意两点,11N ,M 是相应的交点.目的是证明MN 与11N M 相交与AB 上. 设l 的象为l '，1111 Q ,P ,N ,M ,Q ,P ,N ,M ''''''''是相应点的象.由于直线PM ,QN ，1111M P ,N Q 的公共交点B 投到无穷远，所以它们的象,M P ,N Q ''''1111 M P ,N Q ''''是相互平行的直线.同样的道理1111 N P ,M Q ,N P ,M Q ''''''''也是相互平行的直线.所以直线N M ''平行于直线11N M '',由中心射影的性质知道,原象MN 与11N M 是两条相交直线,交点在AB 上.证毕. 练习3－2 1． 求证： 一直线与和它平行的平面交与一个无穷远点. 2． 证明: 相交于影消线上的二直线,象为二平行直线. 3． 设OZ ,OY ,OX 为三条定直线,B ,A 为二定点,其连线过O ,点R 为OZ 上的动点,且直线 RB ,RA 分别交OY ,OX 与点Q ,P .求证:PQ 通过AB 上一定点. 4． 在一平面内的影消线上取定两点B ,A .C 为该平面内的任何一点,求证:角度 ∠ACB 投影后是一个常量. 5.证明:对任意四边形可选择中心射影,将其投影为平行四边形.
有限射影平面
1、 2、有限射影平面 我们先看一个有趣的问题： 有一位好客的女主人打算邀请7位朋友来家里聚会,每次聚会她只想邀请3位宾客,但是她希望其中的任何两位朋友都恰好在一次聚会上见面,那么她应该怎样安排呢？这样的安排是否存在? 我们简单试一下就会发现,任何两次聚会中必须有一位相同的朋友被邀请到.换句话说,如果第一次邀请 A、B、C,第二次邀请 D、E、F,这样安排是行不通的.下面我们给出一种可行的安排方案： 第一次邀请 A、B、C；第二次,邀请 A、D、E；第三次,邀请 A、F、G；第四次,邀请 B、D、F；第五次,邀请 B、E、G；第六次,邀请 C、D、G；第七次,邀请 C、E、 F.我们可以用下面的一个图形来表示这个邀请方案: 上面的图形是非常有名的！它是由数学家G.Fano在1892年提出的,实际上,它就是定义在二元域上的二阶射影平面PG（2,2）.
射影几何的研究始自法国数学家G.Desargues的1639年的著作,但是在当时并没有引起人们的重视.一直到两个世纪后,由于法国著名数学家J.V.Poncelet著作 (1822)的发表,射影几何才开始受到数学界的重视,更使其成为19世纪几何学研究的重点.射影几何学在古典几何学中是最基础的、最广泛的而且是最自由的.它是公理化数学的典型之一例,也可以说它是现代数学的先驱. 定义射影平面（P,L）是由点集合P和线集合L构成的,它是满足下面条件的平面 1、任意两个点决定一条直线,每条直线上至少有两个点； 2、任意两条直线都相交； 3、存在4点集,使其中的任意三个点不在一条直线上. 注意,定义中的条件3是为了排除射影平面只有一条直线的平凡情形的. 定理 4.1设（P,L）为射影平面,其中点集合P含v 个点,线集合L有b 条线,则存在2 一整数k 2 ,使v b k k 1 ,而且每条直线上有k 1 个点,过每个点有k 1 条线.我们称上述定理中的k 为射影平面（P,L）的阶数.在有限射影几何中一个非常重要的核心问题是：
关于平面的射影点
关于平面的射影点 射影几何学是研究空间中点、直线和平面的投影关系的一门学科。在平面几何中，射影点是指一个点在另一个平面上的投影点。本文将介绍平面的射影点及其相关性质和应用。 一、射影点的定义 在平面几何中，射影点是指一个点在另一个平面上的投影点。具体而言，给定一个平面A和一个点P，如果从P点向平面A作垂线，垂足为点P'，那么P'就是点P在平面A上的射影点。 二、射影点的性质 1. 垂线性质：对于一个给定的点P和平面A，点P在平面A上的射影点P'是由点P到平面A的垂线与平面A的交点确定的。 2. 唯一性质：对于一个给定的点P和平面A，点P在平面A上的射影点P'是唯一确定的。 3. 距离性质：点P到平面A的距离等于点P到其在平面A上的射影点P'的距离。 4. 反射性质：点P在平面A上的射影点P'在平面A上的射影点也是点P。 三、射影点的应用 1. 透视投影：射影点在透视投影中起着重要的作用。在透视投影中，物体上的点通过射影点在投影面上形成投影图像。透视投影广泛应
用于建筑、艺术和摄影等领域。 2. 计算机图形学：射影点在计算机图形学中也有重要的应用。在三维计算机图形学中，通过计算点的射影点可以实现三维物体的投影和渲染。 四、射影点的计算方法 计算点P在平面A上的射影点P'的方法有多种，下面介绍一种基于向量的计算方法： 1. 将点P表示为向量p，平面A表示为法向量n和平面上的任意一点Q。 2. 计算点P到平面A的距离d，即点P到平面A的垂线的长度。 3. 根据向量计算公式，点P在平面A上的射影点P'可以表示为P' = P - d * n。 五、总结 射影点是平面几何中一个重要的概念，它描述了一个点在另一个平面上的投影点。射影点具有垂线性质、唯一性质、距离性质和反射性质等性质。射影点在透视投影和计算机图形学等领域有广泛的应用。计算点在平面上的射影点可以使用向量计算方法。通过深入理解和应用射影点的概念，我们可以更好地理解和分析平面几何中的问题。
怎样确定点在平面上的射影位置
怎样确定点在平面上的射影位置 在立体几何的不少问题中，常需要确定某点在某平面上的射影位置，从而合理地添作辅助线，使问题获解。 一、根据定理“斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上”来确定点在平面上的射影位置。 例1(在单位正方体AC内有两个相外切的等球，其中球O和过顶上D的三个面相切，球111O和过顶点B的三个面相切，求此球的半径。 2 简析:由题设知球心O，O都在正方体的一条对角线DB上(图2)，而两球分别与上下121 底面的切点即为球心O，O在上下底面的射影F、F，依据一可断定F、F分别位于DB在上1212121下面内的射影(面对角线)DB，DB上。这样，就可将两球的大圆置于对角面BBDD中去揭1111示其半径与有关线段的关系，实现立几到平面的转化，不难求得两球半径各为。具体计算略。 二、根据定理“过一个角的顶点引该角所在平面的斜线，若斜线和该角两边的夹角相等，则斜线在平面上的射影是该角的平分线所在直线”，并结合应用“一”来确定点在平面上的射影。
例2(设正方体AC的棱长为a，求异面直线AC和BC的距离。 1111 略解:?AC//平面ABC， 111 ?AC上任何点到平面ABC的距离就是AC和BC的距离， 111111 ??OBC=?OBA， 1111 ?点O到平面ABC所引垂线的垂足H必在?ABC的平分线BO上。 1111 在RtΔOOB中由OH?OB=OO?OB，易算得OH=a，即为所求。 11111111 三、运用两平面垂直的性质来确定点在平面上的射影位置 根据面面垂直的性质可知，如果两平面互相垂直，那么自一个平面内的一点向另一平面所引垂线的垂足，必在两平面的交线上。如例2中也可通过证平面ABC?平面DB来确定点O在111面ABC上的射影必在交线OB上。 11 例3(已知P为球O的球面上任意一点，PA、PB、PC是球内两两垂直的三条弦，求证222PA+PB+PC为一定值。 证明:过PC和球心O作平面截球得一大圆O，过PA，PB作平面截 球得一小圆O，设两圆面的交线为PD。由题设易知PC?平面PAB，因1 此平面PCO?平面PAB，球心O为在平面PAB上的射影(即小圆圆心)
求空间直线在平面上的射影方程
为了解决这个问题，我们需要首先定义一些基本概念。首先，空间直线可以由其两个点表示，即直线的起点和终点。同样，平面也可以由其两个点表示，即平面的两个相交的直线。其次，射影是指一个几何图形在另一个图形上的投影。在我们的情况下，空间直线在平面上的射影就是直线在平面上的投影。 现在，我们假设已知空间直线L和它与平面的交点P。为了找到射影的方程，我们需要找到直线L上所有点到平面上的点的最短距离。这个距离就是直线L上一点到平面上的点的射影。 首先，我们需要找到直线L上所有点到平面的最短距离。由于直线L和P点是已知的，我们可以使用两点间的距离公式来找到这个最短距离。 然后，我们可以通过将直线L上的所有点到这个最短距离的点的集合投影到平面上来得到射影的方程。为了做到这一点，我们需要找到空间直线L的方向向量n和平面法向量m的点积在平面上的投影。这个投影就是射影。 具体来说，假设空间直线L的方向向量是n = (n1, n2, n3)，平面的法向量是m = (m1, m2, m3)，那么射影的方程就是： (n1*x + n2*y + n3)2 + (m1*x + m2*y + m3)2 = D2 其中D2是L上所有点到平面的最短距离的平方，通常需要用求根公式求解D2的值。 在实际应用中，需要根据具体情况来确定参数的值，并选择适当的求解方法。通常，空间直线和平面的交点坐标是已知的，可以用于求解上述方程中的参数和D2的值。求解这个方程组可能需要一些高级数学方法，例如使用优化算法和数值方法。 在实际操作中，这种方法需要一些几何知识和数学基础，因此需要仔细考虑参数的选择和求解方法的选择。此外，这种方法可能不适用于所有情况，需要根据具体情况进行调整和改进。 总之，空间直线在平面上的射影方程是一个复杂的数学问题，需要仔细考虑参数的选择和求解方法的选择。在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和改进，以确保结果的准确性和有效性。
射影平面的拓扑性质
射影平面的拓扑性质 射影平面是指一个拓扑空间，它可以从一个剖面中投影到另一个平面上。射影平面的拓扑性是什么？这一概念使什么特别？尽管这一概念有很多复杂的数学特性，文字来描述射影平面拓扑也不难。 射影平面是一种拓扑空间，意味着它实现了“连接”和“分离”的概念，这一概念被称为拓扑关系。这意味着，射影平面上的每个点都可以有一种直接的联系，而不受任何其他点的阻碍，把这些点看作一个整体，这是一种拓扑关系。但是，同样的射影平面也可以实现“分离”的概念，即两个点之间没有直接的联系，因此他们被认为是分离的。 尽管射影平面拓扑有这样一个独特的结构，但与平面上的其他空间不同，它没有被体现出来，而是通过一种抽象的概念来表示。例如，一个实物的平面上的空间可以用直线，弧线和椭圆等等，来表示，而射影平面的拓扑关系只能通过一种抽象的概念来表示。 此外，射影平面的拓扑中没有固定的空间大小，这种空间是不断变化的：它可以是很小的，也可以是很大的，它可以包含几乎任何数量的点，以及不同数量和形状的多边形。因此，射影平面拓扑有几种特殊性，这使得它与平面上的其他空间有很大的不同。 另一方面，射影平面拓扑也非常有趣，因为它不仅可以用来解决现实中的问题，也可以为我们提供一些新的抽象概念，来解释和探索宇宙中的事物。例如，射影平面拓扑可以用来模拟天文学的结构，以及宇宙中的运动，例如太阳系的运动，从而了解宇宙的结构和运动等
等。 总之，射影平面拓扑有其独特的拓扑性质，它的特殊性使它与平面上的其他空间有很大的不同，同时它也可以为我们提供一些新的抽象概念，让我们更深入地了解宇宙中的事物。尽管它有复杂的数学特性，但用文字来描述它的拓扑也不难，因为它可以帮助我们理解宇宙的结构和运动，并进一步探索宇宙的奥秘。
射影几何定理
射影几何定理 （原创实用版） 目录 1.射影几何定理的概述 2.射影几何定理的证明方法 3.射影几何定理的应用领域 4.射影几何定理的意义和影响 正文 射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究。射影几何定理的内容主要包括以下几个方面： 首先，射影几何定理对射影空间中的直线与直线的位置关系进行了详细的描述。在射影空间中，一条直线可以看作是一个二维子空间，两条直线的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。射影几何定理通过引入射影矩阵的概念，给出了判断两条直线位置关系的方法。 其次，射影几何定理对射影空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系进行了探讨。在射影空间中，一条直线与一个平面的位置关系可以分为直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行和直线在平面内四种情况；两个平面的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。射影几何定理通过射影矩阵的运算，给出了判断这些位置关系的方法。 射影几何定理在实际应用中具有广泛的应用领域。在计算机图形学中，射影几何定理可以用来判断物体之间的遮挡关系；在计算机视觉中，射影几何定理可以用来检测图像中的特征点；在机器学习中，射影几何定理可以用来解决线性分类问题。 射影几何定理在射影几何中具有重要的意义和影响。它不仅丰富了射
影几何的研究内容，而且为射影几何在实际应用中提供了有力的理论支持。射影几何定理的研究还推动了射影代数和射影几何其他领域的发展，为数学和工程学科的交叉融合做出了贡献。 总之，射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究，并在实际应用中具有广泛的应用领域。
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理 1. 定理一：射影平面的基本性质 射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。 1.1 射影平面的定义 在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件： •任意两条直线有且只有一个交点； •任意两个不同的点确定一条直线。 1.2 定理一的表述 定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质： •任意两个不同的直线交于唯一一点； •任意两个不同的点确定唯一一条直线。 1.3 定理一的证明 第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点 假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。 根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。 假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。 第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线 假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
有限射影几何_组合数学_概述说明以及解释
有限射影几何组合数学概述说明以及解释 1. 引言 1.1 概述 有限射影几何和组合数学是数学领域中两个重要的分支，它们在解决离散数学问题、组合问题以及几何问题上具有广泛的应用。有限射影几何研究的对象是有限维向量空间上的子空间以及它们之间的关系，而组合数学则研究了排列和组合等离散结构。 1.2 文章结构 本文将首先介绍有限射影几何的定义和基本概念，包括射影空间、线、平面等重要概念。然后探讨有限射影几何在密码学、编码理论等领域的应用。接下来，文章将对组合数学进行概述，包括排列与组合的基本概念以及常用的计数方法。随后，探讨了组合数学在实际问题中的应用案例，并给出具体示例。最后，本文将重点讲解有限射影几何与组合数学之间的联系，并通过一些案例来展示二者相互关系的深入理解。 1.3 目的 本文旨在介绍和阐释有限射影几何和组合数学这两个数学分支的基本概念、应用领域以及相互关系。通过对有限射影几何和组合数学的研究，我们可以更好地理解几何与组合问题之间的联系，并且为未来的相关研究提供一定的指导和展望。
希望读者通过本文能够深入了解有限射影几何和组合数学，并对其重要性和研究方向有更清晰的认识。 2. 有限射影几何 2.1 定义和基本概念 有限射影几何是关于有限维射影空间的研究，射影空间是包含了线、平面以及更高维度的对象的数学空间。在有限射影几何中，我们研究的对象是由一个有限数量点所确定的射影空间。这些点被称为射影几何中的基本元素，它们由坐标表示。 2.2 射影空间和射影几何研究对象 射影几何的主要研究对象是射影空间，它是通过对传统欧氏空间进行投影变换得到的。在二维情况下，我们可以将射影平面看作是无穷远点处添加到欧氏平面上形成的平面。类似地，在三维情况下，我们可以将射影空间视为将无穷远点添加到三维欧氏空间上形成的空间。这种构造方式确保了在该空间中也存在着直线和平面等基本图形。而与传统欧氏几何不同之处在于，在射影几何中也包含了退化图形，如两直线重合或多个点共线。 2.3 有限射影几何的应用领域 有限射影几何与许多实际领域密切相关。在密码学中，有限射影几何的概念被广泛应用于设计密码系统和构建加密算法。此外，在通信技术中，有限射影几何被用于设计调制和编码方案等以提高信号传输的效率和可靠性。此外，有限射影几
有限域上的射影平面
有限域上的射影平面 史逸 (南京师范大学数学与计算机科学学院2004级1班) 摘要：定义有限射影平面，利用射影几何与群论的方法推导有限射影平面上的一系列性质, 并由此证明存在任意阶的多项式方程在Z p上无解。 关键词：有限域；射影平面；射影变换；群 在定义射影平面时，我们约定点与直线为一对无定义的基本元素，在点的集合与直线的集合之间有一个关系称为关联关系。对所谓的关联关系，给出如下约定：约定1. 1.当点P与直线l 有关联关系时，下列说法等价： 点P与直线l 相关联；直线l 与点P相关联； 点P在直线l 上。直线l 通过点P。 2. 当点P与直线l 没有关联关系时，下列说法等价： 点P与直线l 不关联；直线l 与点P不关联； 点P不在直线l 上。直线l 不通过点P。 定义1.设集合π为两个不交的非空集合P与L的并集。 P的元素称为π的点。L的元素称为π的直线。 而且，在点与直线之间有一个关系称为关联关系，满足下述公理： 公理P 存在一对双射 φ：P →FP²，ψ：L →（FP²）* ， 对于任意的P∈P和任意的l ∈L，若 φ（P）= x ，ψ（l ）= u ， 则点P与直线l 相关联←→u1x1 + u2x2 + u3x3= 0 ，这里F为Z p。 称π为一以P为点集，L为直线集的一个有限域F上的射影平面或称为有限域F上的二维射影空间，简称有限射影平面，记作π=（P ，L）。满足公理P的一对双射（φ，ψ）称为有限域F上的射影平面上的一个射影坐标映射，并分别称φ和ψ为点坐标映射和线坐标映射，点和直线的坐标映射像分别称为点和直线的坐标。 对于固定的有限域F，任意有限射影平面都同构与有限域F上的射影平面的算术模型，即πF =（FP²，（FP²）*），则任意两有限域F上的射影平面都相互同构，下面我们就以πF =（FP²，（FP²）*）为具体模型阐述有限域F上的射影平面的性质。 我们约定F为整数集Z模p（p为素数）同余类所生成的有限域Z p ，射影平面为πF =（FP²，（FP²）*）。在这一射影平面中，P = FP²，L =（FP²）* ，点x与直线u相关联当且仅当u1x1 + u2x2 + u3x3= 0 。在πF上有一个自然的射影坐标映射（α，β），其中α：FP²→FP²；β：（FP²）* →（FP²）* 均为恒同映射。 很明显有限射影平面可以视为将RP²中的实数域R改为有限域F，得到域F上的三元非零向量类的集合FP²，由于仅仅是数域的变化，实射影平面上的一系列性质都可以移植到有限射影平面上。
射影平面教学辅导
射影平面教学辅导 一、教学要求 1.知道无穷远元素，平面几何、射影几何的基本特征。 2.了解平面射影坐标系，熟练掌握齐次坐标与非齐次坐标之间的变换、线坐标的计算。 3.理解并熟练掌握笛沙格透视定理 4.理解平面对偶原理。 重点：坐标变换、笛沙格定理。 难点：建立无穷远元素的概念。 二、典型例题讲解 1．填空选择题 １）射影对应把平行四边形变成（）． ２）射影对应把矩形变成（）． ３）射影对应把梯形变成（）． ４）射影对应把三角形中位线变成（）． ５）射影对应把三角形中线变成（）． 解［理论］１）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变． ２）单比不是射影性质，在中心投影下会改变． ３）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变． ４）角度不是射影性质，在中心投影下会改变． 答：１）任意四边形． ２）任意四边形． ３）任意四边形． ４）相交于两腰的任意一条直线． ５）过这个顶点和对边上任意一点的直线． 2．设OX，OY，OZ为三条定直线，A，B为二定点，其连线过O，点R为OZ上的动点，且直线RA，RB分别交OX，OY于点P，Q，求证：PQ通过AB上一定点．证明[关键]这个题目是要证明PQ的连线通过AB上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．
[理论] 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线． 取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图2所示， 则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形． 于是 2121//R R P P ，2121 //Q Q R R ， 所以 2121//Q Q P P 因此，1 1Q P 与22Q P 的象交于无穷远点， 所以，11Q P 与22Q P 相交于AB 上一定点． 3．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 如图所示，若三点形ABC 与C B A '''的对应边BC 与C B ''的交点X ，AC 与C A ''的交点Y ，AB 与B A '' 的交点Z 共线， 考虑三点形B XB '，A YA '， 由于XY 与AB ，B A ''都交于点Z ， 由笛沙格定理， 三组对应边的交点C ，C ' ，O 共线， 于是A A '，B A '，C C '共线． 4．设P ，Q ，R ，S 为完全四点形的顶点，A QR PS =⨯（PS 与QR 的交点为A ）， B QS PR =⨯， C RS PQ =⨯，1A QR BC =⨯，1B RP CA =⨯，1C PQ AB =⨯，试证： 1A ，1B ，1C 共线． 证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 如图所示．在三角形ABC 和PQR 中， 对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ， 由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C O M Y 2 R 1P 1 R B A Z 2 Q 1Q 2 P X 题图 第2题图 第31
一种基于射影平面的高维等角紧框架
一种基于射影平面的高维等角紧框架 朱皓;唐川雁 【摘要】框架是一组继承了正交基的良好性质并具有一定冗余度的线性序列.等角紧框架是最小互相关度达到韦尔奇界的格拉斯曼框架,在SCMA通信系统的码本设计中具有应用价值.SCMA系统需要为接入的海量用户提供便利,为此需要研究高维度的SCMA码本.如今高维度等角紧框架构造困难且多为实数框架,具有一定的局限性.为此,提出了一种基于有限射影平面的构造方法,对先前的平衡不完全区组设计方法进行改进,构造出了较高维度的复数等角紧框架. 【期刊名称】《通信技术》 【年(卷),期】2018(051)005 【总页数】5页(P1016-1020) 【关键词】框架理论;高维等角紧框架;有限射影平面;复数框架 【作者】朱皓;唐川雁 【作者单位】杭州电子科技大学通信工程学院,浙江杭州 310018;杭州电子科技大学通信工程学院,浙江杭州 310018 【正文语种】中文 【中图分类】TN911.7 0 引言 在稀疏码分多址技术（SCMA）中，发送端稀疏码本的设计直接决定了可获得的系
统性能增益，同时也决定了接收机设计的复杂程度。框架是一种类似正交基的序列集合，但是其元素之间是线性相关的，具有一定的冗余性。相比正交基对于元素表示的唯一性，框架的使用更为灵活。近年来，随着框架理论的研究与发展，它在量子信息理论、压缩感知和代数编码理论等领域得到了广泛应用[1-4]。框架理论中，等角紧框架（Equiangular Tight Frame，ETF）是一种具有良好相关特性的框架，每个框架元素都有很低的峰均功率比（Peakto-Average Ration，PAR），使框 架元素间的互相关度达到了最小，十分适用于SCMA。但是，现有的ETF构造方 法十分有限[5]，无法得到满足SCMA要求的高维码本。因此，本文阐述等角紧框架的基本概念，介绍了射影和仿射平面的相关知识，提出了一种基于仿射平面的高维等角紧框架构造方法，并用此方法构造了一个19维空间中包含76个向量的复 数等角紧框架，解决了实数框架无法实现的难题。 1 框架及等角紧框架 对于 Hilbert空间的一组序列{φj}j∈J，如果存在常数A和B满足0＜A,B＜∞， 使对于所有f∈H，满足不等式： 则称{φj}j∈J为空间H的一个框架，A和B为其上下界。设F是实数或者虚数域，H是F中d维实数或者复数希尔伯特内积空间，{φj}j∈J是H中任意非零单位范 数框架，它的合成算子Φ为F n→H d，n≥d。若存在a＞0满足ΦΦ*=aI，则该 框架为紧框架。若对于框架中所有向量有||φi||2=r，r＞0，说明这是单位范数框架。若单位范数框架中任意向量间存在|〈φi,φj〉|=w，i≠j，则该框架为等角框架。如果{φj}j∈J即是等角框架又是紧框架，那么该框架为等角紧框架。 {φj}j∈J的最大互相关度可定义为： 当{φj}j∈J为等角紧框架时，框架的最大互相关度满足Welch界[6]，即式（2）中
关于无穷远元素与射影平面
引言 在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。 1.中心射影 1.1.直线与直线间的中心射影 设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。若o 与l 上任一点A 之连线OA 交'l 于'A 。 则我们定义： 定义1 'A 叫做 A 点从o 投影到'l 上 的中心射影下的对应点。 OA 叫做投射线，o 叫做 投射中心，简称射心。 图（1） 显然A 也是'A 在l 上以o 为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到不同的中心射影。 如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图（1） 在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果l 上的一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。同样在'l 上也有一点'Q ，使'OQ 平行于l ，所以'Q 在l 上的对应点也不存在。我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。 1.2.平面与平面之间的中心射影 设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交 'π与'A 。则我们定义：图（2） 定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。OA 叫做 O A ' A B ' B C ' Q l ' l P
投射线，o 叫做投射中心，简称射心。显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射影下的对应点。 可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。 图（2） 当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。 同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图（2），如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。类似的可以定义平面'π上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。 2.无穷远元素 为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。 约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点 在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以P ∞，为区别起 O π A B C ' A ' B ' πc Q α m p
第二章射影平面
第二章射影平面 本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。 §1 射影直线与射影平面 1.1 中心射影与无穷远元素 定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。A′叫做A从O投射到a′上的对应点。OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。 显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。选取射心不同，就会得到不同的中心射影。 如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。 在欧氏平面上，中心射影不是一一的。如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。点P和Q′叫影消点。 类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。 １
为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。于是，我们约定： 约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P ∞ 。平面上原有的点称为有穷远点。 由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。 另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。 约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l ∞ 。平面内原有的直线称为有穷远直线。 可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。 约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞ 。空间中原有平面叫有穷远平面。 定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。 平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。 例1证明一组平行平面相交于一条无穷远直线。 证在组中的一个平面内任取一条直线l，设l上的无穷远点为P∞，过l作一平面与组中其它平面必相交于一组平行直线，此组 平行直线有公共的无穷远点P ∞，于是P ∞ 必在此组平行平面的每 一个平面上。由于所取直线l的任意性，所以此组平行平面必有无数多个公共无穷远点，其轨迹为一条无穷远直线，即一组平行平面必相交于一条无穷远直线。 例2在一个中心射影中，O为射影中心，在一平面α的影消线上取定两点P，Q，在α平面上，任取一点R。求证∠PRQ经 中心射影后等于常量。 证明因为P，Q为影消线上两点，O为射心，所以OP∥β，OQ∥β。若∠PRQ在平面β内的射影为∠P′R′Q′，则 OP∥R′P′，OQ∥R′Q′ 于是 ∠P O Q=∠P′R′Q′ 而∠P O Q为定值，所以∠PRQ经射影后为一定值。 ２