2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测文科数学试卷Word版含答案

2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测
文科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
0)3(<-=x x x A ，{}32101，，，，-=B ，则B A 等于 （ ）
A ．{}1-
B ．{}21，
C ．{}30，
D ．{}3211，，，- 2.已知i 是虚数单位，复数i
i
z 21-=
，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.已知平面向量(,3)a k = ，(1,4)b =
，若a b ⊥
，则实数k 为 （ ） A ． -12 B ．12
C ．43
D ．3
4
4.抛物线y x 42=的焦点到准线的距离为 （ ） A ．1 B ．2 C. 4 D ．8
5.已知ABC ∆中，6π=
A ，4
π
=B ，1=a ，则b 等于 （ ） A ．2 B ．1 C. 3 D ．2
6.在区间）（4,0上任取一实数x ，则22<x 的概率是 （ ） A ．
43 B ．21 C. 31 D ．4
1
7.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为3，则此球的表面积为 （ ） A ．π4 B ．π8 C. π16
D ．π32
8.函数)1n(1)(2+=x x f 的图象大致是 （ ）
9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A ．10636+
B ． 10336+ C. 54 D ．27
10.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)mod (m n N ≡，例如112(mod3)≡.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 为 （ ）
A ．21
B ．22 C.23 D ．24
11.已知x x x x f cos sin 2sin 2)(2+=，则)(x f 的最小正周期和一个单调减区间分别为 （ ）
A ．π2，⎥⎦⎤⎢
⎣⎡8π78π3， B ．π，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡8π78π3， C.π2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
8π3,8π D ．π⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-8π3,8π 12.已知定义域为{}
0≠x x 的偶函数()x f ，其导函数为()x f '，对任意正实数x 满足()()x f x xf 2'->，若()()x f x x g 2=，
则不等式()()1g x g <的解集是 （ ） A ．)1,(-∞ B ．()()1,00, ∞- C.()1,1-
D ．(1,0)(0,1)-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13.双曲线15
42
2=-y x 的离心率为 ．
14.已知变量x ，y 满足约束任务⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤+-≤-+010120
5x y x y x ，则y x z 2+=的最小值是 ．
15.函数()()ϕω+=x A x f sin ，(0,0,0)A ωϕπ>><<的图象如图所示，则⎪⎭
⎫
⎝⎛4πf 的值为 ．
16.已知函数()x x f 3log =，实数n m 、满足n m <<0，且()()n f m f =，若()x f 在[]
n m ,2的最大值为2，
则
=m
n
． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，满足21=a ，84=a ，数列{}n b 是等比数列，满足42=b ，325=b . （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n b a +的前n 项和n S .
18. （本小题满分12分）
全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2016年8月某日起连续x 天监测空气质量指数
()AQI ，数据统计如下：
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x 、y 的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.
19. （本小题满分12分）
在三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，211=====BC AB AC C A AA ，且点O 为AC
中点.
（Ⅰ）证明：⊥O A 1平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥ABC C -1的体积.
20. （本小题满分12分）
函数()x x ax x f n 1+=在1=x 处取得极值. （Ⅰ）求()x f 的单调区间；
（Ⅱ）若()1--=m x f y 在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点21F F 、，离心率2
2
=e ，短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的
延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系xOy 中，直线x y l =:，圆⎩⎨⎧+-=+-=ϕ
ϕ
sin 2cos 1:y x C （ϕ为参数），以坐标原点为为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与圆C 的交点为N M 、，求CMN ∆的面积.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()x a x x f 2
1
-
-=，()0>a . （Ⅰ）若3=a ，解关于x 的不等式()0<x f ；
（Ⅱ）若对于任意的实数x ，不等式()()2
2
a
a a x f x f +
<+-恒成立，求实数a 的取值范围.
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测
文科数学试卷参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1-5: BCABD 6-10: DCAAC 11、12：BD
二、填空题
13.
2
3
14. 3 15. 3 16. 9 三、解答题
17.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得23
1
4=-=
a a d ， ................1分 所以n n d n a a 22)1(2)1(1n =⨯-+=⋅-+=． ............................2分 设等比数列}{n
b 的公比为q ，由题意得82
5
3
==
b b q ，解得2=q ． ................3分 因为22
1==
q
b b ，所以n n n n q b b 222111=⋅=⋅=--． ...........................6分 （Ⅱ）2
1)
21(22)22(--⋅++⋅=n n n n S 2212-++=+n n n ． ................12分
（分别求和每步给2分） 18.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）x
20
50004.0=
⨯ ，∴100=x . ...........................1分 ∵1005104020=++++y ，∴25=y . ...........................2分
008.05010040=⨯，005.05010025=⨯，002.05010010=⨯，001.050
1005
=⨯
)
/(3m g μ (5)
分
（Ⅱ）在空气质量指数为10051-和200151-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为10051-的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为200151-的1天记为
e ， ...........................6分
从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，),(e a ，(,)b c ，(,)b d ，),(e b ，(,)c d ，),(e c ，
),(e d 共10种， ...........................8分
其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共6种， ...........................10分 所以事件A “两天都为良”发生的概率是63
()105
P A ==. ...................12分 19.(本小题满分12分)
解: （Ⅰ）证明：因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1， ...............2分 又 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面 C C AA 11平面ABC AC = .................4分 且⊂O A 1平面C C AA 11，⊥∴O A 1平面ABC . ..................6分
（Ⅱ）AC C A //11 ,⊄11C A 平面ABC ,⊂AC 平面ABC ，
//11C A ∴平面ABC ，即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离. ............8分
由（1）知⊥O A 1平面ABC 且322
11=-=
AO AA O A ， ..................9分
13322
1
3131111=⨯⨯⨯⨯=⋅=
=∴∆--O A S V V ABC ABC A ABC C . ..................12分 20.(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）1ln )(++='x a x f ， ..................1分
01)1(=+='a f ，解得1-=a ，当1-=a 时， x x x x f ln )(+-=， ..................2分
即x x f ln )(='，令0)(>'x f ，解得1>x ； ..................3分 令0)(<'x f ，解得10<<x ； ..................4分
)(x f ∴在1=x 处取得极小值，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(. ................6分
（Ⅱ）1)(--=m x f y 在),0(+∞内有两个不同的零点，可转化为1)(+=m x f 在),0(+∞内有两个不同的根，也可转化为)(x f y =与1+=m y 图像上有两个不同的交点， ..................7分 由（Ⅰ）知，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(min -==f x f ， … 8分 由题意得，11->+m 即2->m ① ................10分 当10<<x 时，0)ln 1()(<+-=x x x f ；
当0>x 且0→x 时，0)(→x f ；
当+∞→x 时，显然+∞→)(x f （或者举例：当2e x =，0)(22>=e e f ）；
由图像可知，01<+m ，即1-<m ② ..................11分 由①② 可得 12-<<-m ..................12分
21.(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）由题意得22=b ，解得1=b ， ................................1分
2
2==a c e ，222c b a +=，∴2=a ，1=c ，故椭圆的标准方程为1222=+y x .
......................................3分 （Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取)22,1(A ，)22,1(-B ，)2
2
,1(--C ， 故2222
1
=⨯⨯=
∆ABC S ： ......................................4分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)1(2
2
y x x k y 化简得0224)12(2222=-+-+k x k x k ， ........................5分 设),(11y x A ，),(22y x B ，1242221+=+k k x x ，122
22
221+-=⋅k k x x ， ............6分]4)[()1(||212
212
x x x x k AB ⋅-+⋅+=]1
22
24)124[()1(222222
+-⋅-+⋅+=k k k k k 121222
2++=k k ， ...............................8分 点O 到直线0=--k y kx 的距离1
||2
+-=
k k d 1
||2
+=
k k
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为d 21
||22+=
k k ， .............9分
2222222)12()1(221
||2)12122(212||21++=+⋅++⋅⋅=⋅=∴∆k k k k k k k d AB S ABC 2
2)12(414122+-=k 2< .............11分 综上，ABC ∆面积的最大值为2. .............12分
22.(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， .............1分 cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4π
θ=（∈ρR ）， .............3分
圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. .............5分 （Ⅱ）将=4π
θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ
解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ， .............8分
因为圆C 的半径为1，则CMN ∆的面积
o 11sin 452⨯=12. .............10分 （用直角坐标求解酌情给分）
23.(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(-
-=，即021|3|<--x x ， .............1分 原不等式等价于x x x 2
132<-<-， .............3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . .............5分 （Ⅱ）2
||||)()(a x a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， .............6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- ....................8分 原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . ....................10分。