北航有限元第4讲等参元和高斯积分

当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法 确定点的运动规律、速度、加速度。
在自然坐标系中表示质点速度，是非常简 单的，因为无论质点处在什么位置上速度 都只有切向分量，而没有法向分量。
新途径：建立局部自然坐标系进行单元分析
xi
xj
局部自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系 x x( )
坐标插值函数： x()a0a1
对于本例
自然坐标系下的分 析结果与整体直角 坐标系下的分析结 果完全相同。
P(1)
e NT ( )bxdV
Sep NT ( ) pxdA
S
e p
NT
(1)
pxdA
Sep
px
dA
1 0
R1
1 0
0R1
P(2)
e NT ( )bxdV
Sep NT ( ) pxdA
S
e p
NT
(1)
pxdA
Sep
px
dA
0
1
F
0
1
0 F
忽略 单元 间作 用力
等参单元定义的给出
等参单元：用同样的节点和相同的形状函 数通过插值的方式表示出单元的几何坐标 与位移的单元，称为等参单元。
如果坐标变换节点数多于位移插值的节点 数，称为超参变换。反之，如果坐标变换 节点数少于位移插值的节点数，则称为亚 参变换。
u(x())N()qe
N () [ ( 1 )/2( 1 )/2 ]
观察： 单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的 形状函数通过插值的方式表示。 形状函数是用自然坐标给出的，表达式很简单
x()N()xe
u(x())N()qe
N () [(1 )/2 (1 )/2 ]
N () [ ( 1 )/2( 1 )/2 ]
N () [(1 )/2 (1 )/2 ]
单元内坐标由节点坐标插值表示
单元位移函数： u(x())a0a1
节点条件： u(x(1)) a0 a1 ui u(x(1)) a0 a1 uj
a0 (ui u j ) / 2
a1
(u
Leabharlann Baidu
j
ui
)
/
2
u (x ()) (u i u j)/2 (u j u i)/2 [( 1 )/2( 1 )/2 ] u u ij
x1 1 2 3 4
x
2
1
2
3
4
x
3
1
2
3
4
x 4 1 2 3 4
1 1 1
32 4
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 x1
1 1 1
1
1 1
xx32 x4
1 1 1
U e 1 σ T ( x ( ))ε ( x ( ))d V 1 x2 E e ( x ( )) ( x ( )) A e d x
2 e
2 x1
U e 1 1 E e [B ( )q e ] B ( )q e A e (l e / 2 ) d 2 1
U e 1 q e T [ 1 (l e / 2 )B T ( ) E e A e B ( ) d ]q e
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
等参单元的插值函数用自然坐标给出。
平面问题四边形等参单元的推导
坐标映射
(x4, y4)
(x3, y3)
P(x, y)
( x1, y1)
(x2, y2)
P ( , )
整体直角坐标
（一般四边形）
P(x, y)
单元局部自然坐标
（规格化的矩形）
映射
P ( , )
映射
P(x, y)
P ( , )
x x( , )
(x () ) d u (x () ) d (N () q e ) d N ()q e B () q e
d x
d x d x
B() [l1e
1 le ]
( x () ) E e( x () ) E e B () q e S () q e
S() [Elee
Ee le ]
单元应变能：
2
1
U e 1 qeT K eqe 2
单元刚度矩阵
K e
1 (le
1
/ 2)B T ( ) E e AeB ( )d
E e Ae le
1
1
1 1
单元外力功 W e qeT Pe
等效节点力
P e eN T()b xd V S e pN T()p xd A
N () [ ( 1 )/2( 1 )/2 ]
节点条件： x(1) a0 a1 xi x(1) a0 a1 xj
a0 (xi x j ) / 2 a1 (x j xi ) / 2
x () (x i x j)/2 (x j x i)/2
x()[(1)/2 (1)/2] xxij
x()N()xe 局部坐标到物理坐标的变换
y
y (
, )
构造插值函数
xy11223344
节点条件： xi x ( i , i )
y
i
y (i , i )
x1 1 21 31 411 x2 1 22 32 422 x3 1 23 33 433 x4 1 24 34 444
(1,1)(1,1) (3,3)(1,1) (2,2)(1,1) (4,4)(1,1)
实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整 的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单 元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位 移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度 矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实 上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩 形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关 系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标 系中的局部坐标一一对应。
等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际 领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的 一步。
4.1 等参单元
简单杆系问题分析的新途径 等参单元定义的给出 平面问题四边形等参单元计算公式 三维问题六面体等参单元计算公式 采用等参单元的优点
简单杆系问题分析之新途径
F
途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容） 途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析