基于FFT的电力系统谐波分析
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在这几种窗函数里，矩形窗具有最窄的主瓣．但 具有最大的旁瓣幅值，所以矩形窗的频率分辨率最 好，而幅值分辨率最差；布莱克曼窗的旁瓣幅值最小。 主瓣宽度最大，所以布莱克曼窗的幅值分辨率最好． 而频率分辨率最差。因此。在对信号进行处理时。要根 据信号处理的目的来选择窗函数。
汉宁窗是一种典型的余弦二项窗。其时域表达式
漏问题，提出了加窗算法。通过选取合适的窗函数和 对加窗ＦＦＴ算法与不加窗ＦＦＴ算法进行对比．验证 了加窗算法减小频谱泄漏的有效性及提高谐波分析 的准确性。
参考文献 【ｌ】李红伟，李在玉．Ｆｆ．ｒ分析电力系统谐波的加窗插值算法【Ｊ】．电工技术杂志，２００４（１０）：６１－－６４． 【２】雷美艳．电力网的谐波防护与治理【Ｊ】．电机技术，２００５（２）：３４－３５． 【３】庞浩．李东霞，俎云霄，等．应用订叩进行电力系统谐波分析的改进算法【Ｊ】．中国电机工程学报，２００３（６）：５０－５４． 【４】胡广书．数字信号处理【Ｍ１．ｊ匕京：清华大学出版社，１９９７． 【５】丁玉美，高西全．数字信号处理【Ｍ】．西安：西安电子科技大学出版社，２０００．
算法与直接用Ｆ盯算法所得到的频谱图进行比较。
可以看到：直接进行ＦＦ－Ｉ＇变换得到的频谱图在本应 为零的频段上出现了一些参差不起的小谱包，频谱泄
漏很严重；而采用加汉宁窗的Ｆ丌算法可以有效抑
制谐波之间的泄漏和干扰。从而可以精确测量各次谐 波的幅值和相位。 ４结论
本研究针对快速傅立叶变换ｆＦ网存在的频谱泄
环境下采用基于汉宁窗的ＦＦｆ算法，提高了谐波频率和幅值测量的准确度。仿真算例表明：运用基于汉宁窗的ｎ叩方法检测电网 谐波．可获得较理想的结果。 关键字：电力系统；谐波分析；快速傅立叶变换；窗函数；频谱泄漏 中圈分类号：ＴＭ７ｌｌ；ＴＭ７４ 文献标志码：Ａ 文章编号：ｌ酊４－１１６１（２００９）０１－００５７－０３
Ａ．为ｎ次谐波的幅值。谐波频率与基波频率的比值
』
ｒ、
ｌｎ：争ｌ称为谐波次数。
’
ＪＩ’
模拟信号的连续时间频谱可以表示为：
ｕ（∞）＝』Ⅱ（ｆ）ｅ呦
ｕ（１）经采样后变为ｕ（ｎＴ），Ｔ为采样周期。离散信 号ｕ（ｎＴ）的傅立叶变换可以表示为：
万方数据
５８
农业科技与装备
２００９年２月
￡，（蠡）：Ｎ∑－Ｉ￡‘（ｎ），争‘（其中Ｊ｜｝＝０，ｌ，２，…，Ⅳ－１）
ａｎａｌｙｓｉｓ；肿：ｗｉｎｄｏｗ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ；ｈａｒｍｏｎｉｃ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｅａｋａｇｅ
近年来。随着电子技术的飞速发展．电力电子元 件及其他非线性设备在电力系统中的应用越来越广 泛．导致电网中的谐波分量大大增加，电网波形畸变 日趋严重。对电能质量和电力系统的安全、经济运行 造成极大影响。因此，必须及时准确地掌握电网中谐 波的实际情况，才能为谐波治理提供良好的依据，进 而维护电网的安全运行。
Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ凹田，ｔｈｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｅａｋａｇｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｈｅｎ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｒｍｏｎｉｃ ａｄｏｐｔｉｎｇ Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ
ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｌｅａｋａｇｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｄｄ ｗｉｎｄｏｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｗａｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ。ｔｈｅ ＦＦｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｈａｒｍｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗ
ａｌ－－０．５、ａｚ－－０．０８为布莱克曼窗。上述各窗口的频谱图
’
形见图ｌ。
、圈１■函数频谱圈形 Ｆｉｇｕｒｅ ｌ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｗ自ｌｌｄｏｗ ｎｌ埘嚏．ｏｎｓ
由图ｌ可以看出：随ｋ值增大，旁瓣的幅值变小。 衰减速度变大；同时，主瓣宽度随ｋ值增大而增大。
形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗等。这些函数统称
为余弦窗。余弦窗的时域表达式为：
ｗｋ
Ｉ
Ｃｎ）＝∑乞（－１
ｐａｋｃｏｓ｛…ｆ．等 盟ｋｎｌ１
Ｏ
’
（其中ｎ＝Ｏ。ｌ，２，…，＾ｋ１） 式中：ｋ为余弦窗的项数。为方便进行插值计算．
其中系数ａｔ有如下限制：
简要分析一下工的取值：根据采样定理，为避免 信号在采样后各次谐波频谱彼此重叠，必须使采样频 率Ｚ至少是原模拟信号频谱中最高频率五的２倍五 也称为奈奎斯特频率。
舻务＝面１
它是频域显示的相邻谱线之间的频率间隔。也称 为分辨率。
２窗函数
在非同步采样情况下。Ｆ丌算法应用于谐波分析
时存在频谱泄漏现象和栅栏效应。泄漏现象的产生主
要是由于窗函数的频域响应中旁瓣的幅值以及主瓣
具有一定宽度。要减小泄漏，就要寻找在频域中表现
最接近冲击函数的窗函数。即旁瓣小且主瓣窄的窗函
数。为此，已经有很多窗函数被提出，比较常用的有矩
Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＦＦＴ
ＣＨＥＮ Ｃｈｕｎｌｉｎｇ，ＳＨＡＯ Ｙａｎｊｉｅ，ＣＡ０ Ｙｉｎｇｌｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０１６１，Ｃｈｉｎａ）
由图２一图４可以直观地查看基波和各次谐波的
频谱信息。将对信号进行基于汉宁窗的高精度肿
田２时域波形围 Ｆｉｇｕｒｅ ２ Ｔｉｍｅ－－ｄｏｍａｉｎ ｗａｖｅｆｏｒｍ
图４加窗傅立叶变换的频谱图 Ｔａｂｌｅ ４ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｇｒａｐｈ ｏｆ ａｄｄ ｗｉｎｄｏｗ ＦＦｒ
圈３傅Baidu Nhomakorabea叶变换的频谱图 Ｆｉｇｕｒｅ ３ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｇｒａｐｈ ｏｆ ＦＦＴ
ｉｎ Ｍａｔｌａｂ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｔｈｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ：ｔｈｅ ＦＦＩ＂ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ
ｂａｎｎｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗ ｃｏｕｌｄ ｇｅｔ ｉｄｅａｌ ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ｎｅｔｗｏｒｋ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｗａｖｅ．
第１期总第１８１期
至塑竺±呈旦
农业科技与装备
娅型坐堂墅兰些竺堡！皇！丛坐碰型匣里９垡Ｐ婴！
Ｎｏ．１ Ｔｏｔａｌ Ｎｏ．１８１
呈生：兰业
基于ＦＦＴ的电力系统谐波分析
陈春玲，邵艳杰，曹英丽
（沈阳农业大学信息与电气工程学院。沈阳１１０１６１）
擅耍：针对快速傅立叶变换ｍ在分析电力系统谐波时存在的频谱泄漏问题，分析了加窗算法减小频谱泄漏的有效性。在Ｍａｆｌａｂ
万方数据
詈８ｉｎ（１３ｗｏｔ一３９０。）
其中，基波频率＾为５０ Ｈｚ，最高频率＾为６５０ Ｈｚ。由Ｎｙｑｕｉａｔ抽样定理可知：为避免混叠现象，采样 频率．正≥蕊，所以取采样频率．ｆ＝ｌ ５００ Ｈｚ，角频率ｔｏｏ＝
２研，截断信号的数据长度Ⅳ取５１２点。图２为编写
程序所得原始信号的时域图，图３为原始信号的傅立 叶变换频谱图，图４为加窗傅立叶变换频谱图。
电力系统的谐波分析通常是通过快速傅立叶变 换（Ｆ兀）实现的，但在应用快速傅立叶变换时存在影 响测量准确性的频谱泄漏问题。减少频谱泄漏的方法 有加窗法、同步采样法、插值修正法等，其中经常使用 的是加窗法。理想的傅立叶变换是实现对整个时域信 号的变换．但实际工程中应用的ＦＦｒ算法只能对有 限的信号进行变换。有限长度的信号在时域上相当于 无限长信号与矩形窗信号的乘积．而时域的乘积运算 对应的是频域的卷积运算。因此，利用ＦＦＴ算法得到 的傅立叶变换结果相当于实际信号的傅立叶变换与 矩形窗傅立叶变换的卷积．而不等于实际信号的傅立 叶变换。这样，利用Ｆ兀’算法分析非整数次谐波时就
快速傅立叶变换（ＦＦｒ）是离散傅立叶变换（ＤＦｒ） 的一种快速算法。Ⅳ点序列髫（ｎ）的Ⅳ点ＤＦＴ可表示 成：
ｘ（｜｜｝）＝∑石（厅）形：
一；２￡
式中：Ｏ≤后≤（Ⅳ－１）；ｗｓ卢－ｌ一；输出的结果Ｘ（后） 就是ｘ（ｎ）的频域显示。
与时域中相邻点之间的时间间隔厶类似．在频 域中相邻采样点间也存在频率间隔：
当序列长度＾ｒ－２姬为整数）时，称为基２ Ｆ兀’。在
Ｍａｔｌａｂ中可以直接利用内部函数ｍ进行计算。速度 非常快。
不同ｋ和系数ａｋ决定了不同的窗函数。当ｋ－－Ｏ
时，上式就是矩形窗的表达式；晟＝ｌ时，ａｏ－－－０．５、ａ，－－－０．５
为汉宁窗；ａｏ－－－Ｏ．５４、ａｊ－－－０．４６为海明窗；ｋ－－２时，ａｏ－＂Ｏ．４２、
万方数据
２００９年第１期
陈春玲等：基于ＦＦＴ的电力系统谐波分析
５９
３仿真试验
应用Ｍａｔｌａｂ软件．分别采用加窗ｍ和不加窗
ＦＦＴ算法对下面的信号进行谐波分析的仿真试验。
茗＝３１ １ｓｉｎ（蚶一３０。）一孚ｓｉｎ（５ｗｏｔ一１５０。）一 半８ｉｎ（７ｗｏｔ－２ｌｏ。）＋昔８ｉｎ（１１ｗｏｔ一３３０。）＋
收稿日期：２∞８一ｌｏ－２６ 基金项目：辽宁省教育厅高枝科研Ａ类项目（２００８６３５） 作者简介：陈春玲０９７１－－）。女。剐教授，博士。从事农同电能质 量分析技术研究工作。
会存在频谱泄漏和栅栏效应。选用不同的窗函数对分 析谐波具有不同的功能。通常对窗函数的要求是主瓣 窄、旁瓣低、旁瓣跌落速度快。本研究选择电力系统中 常用的汉宁窗来提高谐波分析的精确度。 １ 电力系统电压的傅立叶分析及快速傅立叶
为：
ｗ（ｎ）－－Ｏ．５（Ｊ－－ＣＯＳ鲁ｌ（其中ｎ＝０，ｌ’２，…，Ｎ－Ｉ）
采用汉宁窗可以有效减少频谱泄漏。该窗口在边 界处平滑衰减到０。汉宁窗可看成是３个不同幅值及 相移的矩形窗的叠加，这使得旁瓣相互抵消．将能量 有效地集中在主瓣内。从而消去高频干扰和泄漏．其 代价是使主瓣的宽度加宽了ｌ倍。在谐波分析仪中， 汉宁窗是使用较为广泛的窗函数。本研究即采用汉宁 窗来提高谐波分析的精确度。
变换（ＦＦＴ）
在县力系统中。对于周期为如竺Ｌ的非正弦波
ｔｏｏ
电量进行傅立叶级数分解．除了得到与电网基波频率
相同的分量外．还得到一系列大于电网基波频率的分
量。下面以电压ｕ（ｔ）为例，在满足狄里赫利条件下，可
分解为：
●
扯（ｔ）＝嘞＋艺Ａ≯ｉｎ（，ｌ撕Ｉ＋哦）（其中ｎ＝ｌ，２，３，…，ｋ）
＾ｔ ｌ
式中：毗为频率，频率为，妣的项即为谐波项；
汉宁窗是一种典型的余弦二项窗。其时域表达式
漏问题，提出了加窗算法。通过选取合适的窗函数和 对加窗ＦＦＴ算法与不加窗ＦＦＴ算法进行对比．验证 了加窗算法减小频谱泄漏的有效性及提高谐波分析 的准确性。
参考文献 【ｌ】李红伟，李在玉．Ｆｆ．ｒ分析电力系统谐波的加窗插值算法【Ｊ】．电工技术杂志，２００４（１０）：６１－－６４． 【２】雷美艳．电力网的谐波防护与治理【Ｊ】．电机技术，２００５（２）：３４－３５． 【３】庞浩．李东霞，俎云霄，等．应用订叩进行电力系统谐波分析的改进算法【Ｊ】．中国电机工程学报，２００３（６）：５０－５４． 【４】胡广书．数字信号处理【Ｍ１．ｊ匕京：清华大学出版社，１９９７． 【５】丁玉美，高西全．数字信号处理【Ｍ】．西安：西安电子科技大学出版社，２０００．
算法与直接用Ｆ盯算法所得到的频谱图进行比较。
可以看到：直接进行ＦＦ－Ｉ＇变换得到的频谱图在本应 为零的频段上出现了一些参差不起的小谱包，频谱泄
漏很严重；而采用加汉宁窗的Ｆ丌算法可以有效抑
制谐波之间的泄漏和干扰。从而可以精确测量各次谐 波的幅值和相位。 ４结论
本研究针对快速傅立叶变换ｆＦ网存在的频谱泄
环境下采用基于汉宁窗的ＦＦｆ算法，提高了谐波频率和幅值测量的准确度。仿真算例表明：运用基于汉宁窗的ｎ叩方法检测电网 谐波．可获得较理想的结果。 关键字：电力系统；谐波分析；快速傅立叶变换；窗函数；频谱泄漏 中圈分类号：ＴＭ７ｌｌ；ＴＭ７４ 文献标志码：Ａ 文章编号：ｌ酊４－１１６１（２００９）０１－００５７－０３
Ａ．为ｎ次谐波的幅值。谐波频率与基波频率的比值
』
ｒ、
ｌｎ：争ｌ称为谐波次数。
’
ＪＩ’
模拟信号的连续时间频谱可以表示为：
ｕ（∞）＝』Ⅱ（ｆ）ｅ呦
ｕ（１）经采样后变为ｕ（ｎＴ），Ｔ为采样周期。离散信 号ｕ（ｎＴ）的傅立叶变换可以表示为：
万方数据
５８
农业科技与装备
２００９年２月
￡，（蠡）：Ｎ∑－Ｉ￡‘（ｎ），争‘（其中Ｊ｜｝＝０，ｌ，２，…，Ⅳ－１）
ａｎａｌｙｓｉｓ；肿：ｗｉｎｄｏｗ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ；ｈａｒｍｏｎｉｃ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｅａｋａｇｅ
近年来。随着电子技术的飞速发展．电力电子元 件及其他非线性设备在电力系统中的应用越来越广 泛．导致电网中的谐波分量大大增加，电网波形畸变 日趋严重。对电能质量和电力系统的安全、经济运行 造成极大影响。因此，必须及时准确地掌握电网中谐 波的实际情况，才能为谐波治理提供良好的依据，进 而维护电网的安全运行。
Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ凹田，ｔｈｅ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｅａｋａｇｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｈｅｎ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｒｍｏｎｉｃ ａｄｏｐｔｉｎｇ Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ
ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｌｅａｋａｇｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｄｄ ｗｉｎｄｏｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｗａｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ。ｔｈｅ ＦＦｒ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｈａｒｍｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗ
ａｌ－－０．５、ａｚ－－０．０８为布莱克曼窗。上述各窗口的频谱图
’
形见图ｌ。
、圈１■函数频谱圈形 Ｆｉｇｕｒｅ ｌ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｗ自ｌｌｄｏｗ ｎｌ埘嚏．ｏｎｓ
由图ｌ可以看出：随ｋ值增大，旁瓣的幅值变小。 衰减速度变大；同时，主瓣宽度随ｋ值增大而增大。
形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗等。这些函数统称
为余弦窗。余弦窗的时域表达式为：
ｗｋ
Ｉ
Ｃｎ）＝∑乞（－１
ｐａｋｃｏｓ｛…ｆ．等 盟ｋｎｌ１
Ｏ
’
（其中ｎ＝Ｏ。ｌ，２，…，＾ｋ１） 式中：ｋ为余弦窗的项数。为方便进行插值计算．
其中系数ａｔ有如下限制：
简要分析一下工的取值：根据采样定理，为避免 信号在采样后各次谐波频谱彼此重叠，必须使采样频 率Ｚ至少是原模拟信号频谱中最高频率五的２倍五 也称为奈奎斯特频率。
舻务＝面１
它是频域显示的相邻谱线之间的频率间隔。也称 为分辨率。
２窗函数
在非同步采样情况下。Ｆ丌算法应用于谐波分析
时存在频谱泄漏现象和栅栏效应。泄漏现象的产生主
要是由于窗函数的频域响应中旁瓣的幅值以及主瓣
具有一定宽度。要减小泄漏，就要寻找在频域中表现
最接近冲击函数的窗函数。即旁瓣小且主瓣窄的窗函
数。为此，已经有很多窗函数被提出，比较常用的有矩
Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＦＦＴ
ＣＨＥＮ Ｃｈｕｎｌｉｎｇ，ＳＨＡＯ Ｙａｎｊｉｅ，ＣＡ０ Ｙｉｎｇｌｉ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ １ １０１６１，Ｃｈｉｎａ）
由图２一图４可以直观地查看基波和各次谐波的
频谱信息。将对信号进行基于汉宁窗的高精度肿
田２时域波形围 Ｆｉｇｕｒｅ ２ Ｔｉｍｅ－－ｄｏｍａｉｎ ｗａｖｅｆｏｒｍ
图４加窗傅立叶变换的频谱图 Ｔａｂｌｅ ４ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｇｒａｐｈ ｏｆ ａｄｄ ｗｉｎｄｏｗ ＦＦｒ
圈３傅Baidu Nhomakorabea叶变换的频谱图 Ｆｉｇｕｒｅ ３ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｇｒａｐｈ ｏｆ ＦＦＴ
ｉｎ Ｍａｔｌａｂ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｔｈｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ：ｔｈｅ ＦＦＩ＂ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ
ｂａｎｎｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗ ｃｏｕｌｄ ｇｅｔ ｉｄｅａｌ ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ ｎｅｔｗｏｒｋ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｗａｖｅ．
第１期总第１８１期
至塑竺±呈旦
农业科技与装备
娅型坐堂墅兰些竺堡！皇！丛坐碰型匣里９垡Ｐ婴！
Ｎｏ．１ Ｔｏｔａｌ Ｎｏ．１８１
呈生：兰业
基于ＦＦＴ的电力系统谐波分析
陈春玲，邵艳杰，曹英丽
（沈阳农业大学信息与电气工程学院。沈阳１１０１６１）
擅耍：针对快速傅立叶变换ｍ在分析电力系统谐波时存在的频谱泄漏问题，分析了加窗算法减小频谱泄漏的有效性。在Ｍａｆｌａｂ
万方数据
詈８ｉｎ（１３ｗｏｔ一３９０。）
其中，基波频率＾为５０ Ｈｚ，最高频率＾为６５０ Ｈｚ。由Ｎｙｑｕｉａｔ抽样定理可知：为避免混叠现象，采样 频率．正≥蕊，所以取采样频率．ｆ＝ｌ ５００ Ｈｚ，角频率ｔｏｏ＝
２研，截断信号的数据长度Ⅳ取５１２点。图２为编写
程序所得原始信号的时域图，图３为原始信号的傅立 叶变换频谱图，图４为加窗傅立叶变换频谱图。
电力系统的谐波分析通常是通过快速傅立叶变 换（Ｆ兀）实现的，但在应用快速傅立叶变换时存在影 响测量准确性的频谱泄漏问题。减少频谱泄漏的方法 有加窗法、同步采样法、插值修正法等，其中经常使用 的是加窗法。理想的傅立叶变换是实现对整个时域信 号的变换．但实际工程中应用的ＦＦｒ算法只能对有 限的信号进行变换。有限长度的信号在时域上相当于 无限长信号与矩形窗信号的乘积．而时域的乘积运算 对应的是频域的卷积运算。因此，利用ＦＦＴ算法得到 的傅立叶变换结果相当于实际信号的傅立叶变换与 矩形窗傅立叶变换的卷积．而不等于实际信号的傅立 叶变换。这样，利用Ｆ兀’算法分析非整数次谐波时就
快速傅立叶变换（ＦＦｒ）是离散傅立叶变换（ＤＦｒ） 的一种快速算法。Ⅳ点序列髫（ｎ）的Ⅳ点ＤＦＴ可表示 成：
ｘ（｜｜｝）＝∑石（厅）形：
一；２￡
式中：Ｏ≤后≤（Ⅳ－１）；ｗｓ卢－ｌ一；输出的结果Ｘ（后） 就是ｘ（ｎ）的频域显示。
与时域中相邻点之间的时间间隔厶类似．在频 域中相邻采样点间也存在频率间隔：
当序列长度＾ｒ－２姬为整数）时，称为基２ Ｆ兀’。在
Ｍａｔｌａｂ中可以直接利用内部函数ｍ进行计算。速度 非常快。
不同ｋ和系数ａｋ决定了不同的窗函数。当ｋ－－Ｏ
时，上式就是矩形窗的表达式；晟＝ｌ时，ａｏ－－－０．５、ａ，－－－０．５
为汉宁窗；ａｏ－－－Ｏ．５４、ａｊ－－－０．４６为海明窗；ｋ－－２时，ａｏ－＂Ｏ．４２、
万方数据
２００９年第１期
陈春玲等：基于ＦＦＴ的电力系统谐波分析
５９
３仿真试验
应用Ｍａｔｌａｂ软件．分别采用加窗ｍ和不加窗
ＦＦＴ算法对下面的信号进行谐波分析的仿真试验。
茗＝３１ １ｓｉｎ（蚶一３０。）一孚ｓｉｎ（５ｗｏｔ一１５０。）一 半８ｉｎ（７ｗｏｔ－２ｌｏ。）＋昔８ｉｎ（１１ｗｏｔ一３３０。）＋
收稿日期：２∞８一ｌｏ－２６ 基金项目：辽宁省教育厅高枝科研Ａ类项目（２００８６３５） 作者简介：陈春玲０９７１－－）。女。剐教授，博士。从事农同电能质 量分析技术研究工作。
会存在频谱泄漏和栅栏效应。选用不同的窗函数对分 析谐波具有不同的功能。通常对窗函数的要求是主瓣 窄、旁瓣低、旁瓣跌落速度快。本研究选择电力系统中 常用的汉宁窗来提高谐波分析的精确度。 １ 电力系统电压的傅立叶分析及快速傅立叶
为：
ｗ（ｎ）－－Ｏ．５（Ｊ－－ＣＯＳ鲁ｌ（其中ｎ＝０，ｌ’２，…，Ｎ－Ｉ）
采用汉宁窗可以有效减少频谱泄漏。该窗口在边 界处平滑衰减到０。汉宁窗可看成是３个不同幅值及 相移的矩形窗的叠加，这使得旁瓣相互抵消．将能量 有效地集中在主瓣内。从而消去高频干扰和泄漏．其 代价是使主瓣的宽度加宽了ｌ倍。在谐波分析仪中， 汉宁窗是使用较为广泛的窗函数。本研究即采用汉宁 窗来提高谐波分析的精确度。
变换（ＦＦＴ）
在县力系统中。对于周期为如竺Ｌ的非正弦波
ｔｏｏ
电量进行傅立叶级数分解．除了得到与电网基波频率
相同的分量外．还得到一系列大于电网基波频率的分
量。下面以电压ｕ（ｔ）为例，在满足狄里赫利条件下，可
分解为：
●
扯（ｔ）＝嘞＋艺Ａ≯ｉｎ（，ｌ撕Ｉ＋哦）（其中ｎ＝ｌ，２，３，…，ｋ）
＾ｔ ｌ
式中：毗为频率，频率为，妣的项即为谐波项；